福建省安溪县二级达标高中校际教学联盟2024年高三六校第一次联考数学试卷含解析

福建省安溪县二级达标高中校际教学联盟2024年高三六校第一次联考数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足（是虚数单位），则=（）A． B． C． D．2．已知等差数列的前13项和为52，则（）A．256 B．-256 C．32 D．-323．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（）．A． B．C． D．4．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（）A． B． C． D．5．已知复数，若，则的值为（）A．1 B． C． D．6．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．7．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．8．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A．3 B．2 C． D．19．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．10．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则A． B． C． D．11．设为自然对数的底数，函数，若，则()A． B． C． D．12．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等比数列的前n项和，已知，，则_______.14．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______15．“”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．18．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.20．（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：组组组假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙．（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明）21．（12分）已知函数.（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．22．（10分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由，得，．故选．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2、A【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由，，得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.3、B【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可.【详解】A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误；B：定义域关于原点对称，且满足奇函数，又，所以在上，正确；C：定义域关于原点对称，且满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误；D：定义域关于原点对称，且，满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误；故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.4、A【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5、D【解析】由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.6、A【解析】

求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，因为，所以圆心到的距离为：，即，因为，所以解得．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.7、A【解析】

根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.【详解】函数，，由题意得，即，令，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，而，当且仅当，即当时，等号成立，∴，∴.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.8、A【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.【详解】解：由于，根据导数的几何意义得：，即切线斜率，当且仅当等号成立，所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.9、A【解析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.10、B【解析】

由题意知，，由，知，由此能求出．【详解】由题意知，，，解得，，．故选：B．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．11、D【解析】

利用与的关系，求得的值.【详解】依题意，所以故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.12、B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.14、【解析】

由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．【详解】解：如图，在四面体中，底面，，，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故答案为：．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．15、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.【详解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.16、【解析】三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，，填。【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，，设平面的法向量为，则由得，令，则，，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，，从而，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.18、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）的中点，连接，，证明四边形是平行四边形可得，故而平面；（2）以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算与的夹角的余弦值得出答案．【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，分别是，的中点，，，又，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）解：，，又，故，以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，是的中点，是的三等分点，，1，，，，，，，，，0，，，2，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，，，直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．【详解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因为所以，由得，又因为，故，所以，所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．20、（1）；（2）；（3）．【解析】

设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、，可得出.（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果；（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（3）根据题意直接判断和的大小即可.【详解】设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、．由题意可知，、、、．（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，由题意知，又与互斥，所以事件的概率；（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知．所以事件的概率；（3）.【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．21、（1）；（2）见解析【解析】

将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值【详解】（Ⅰ）由题意得原式的最小正周期为.（Ⅱ），.当，即时，；当，即时，.综上，得时，取得最小值为0；当时，取得最大值为.【点睛】本