2024年初中升学考试九年级数学专题复习三角形综合题

三角形综合题38．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．（1）求证：△BAE≌△CAE；（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．求证：①AF•MH＝AM•AE；②GF＝GD．【答案】（1）证明见解答过程；（2）①②证明见解答过程．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，利用SSS公理证明△BAE≌△CAE；（2）①连接AH，证明△AFD∽△MAH，根据相似三角形的性质证明；②证明△AMH∽△DAC，再根据三角形中位线定理证明即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，又∵E在AD上，∴EB＝EC，在△BAE和△CAE中，AB=ACEB=EC∴△BAE≌△CAE（SSS）；（2）①连接AH，∵A，H分别是ED和EC的中点，∴AH为△EDC的中位线，∴AH∥DC，∴∠EAH＝∠EDC＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°，又∵HG∥AB，∴∠FAD＝∠AMH，∴△AFD∽△MAH，∴AFAM∴AF⋅MH＝AM⋅AD，∵AE＝AD，∴AF⋅MH＝AM⋅AE；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，∴∠AHM＝∠ACB，∴△AMH∽△DAC，∵A、H分别为ED和EC中点，∴AH为△EDC的中位线，∴AMAD∴AM=12AD，即M为∵AF∥GH，∴G为FD中点，∴GF＝GD．【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．三角形综合题33．（2023•广西）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．（1）求证：△ADF≌△BED；（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．【答案】（1）见详解（2）y=334x2−33x+43（3）当2＜x＜4时，△DEF【分析】（1）由题意易得AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，然后根据SAS可进行求证；（2）分别过点C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，根据题意可得S△ABC＝43，AF＝4﹣x，然后可得FG=32（4﹣x），由（1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，则有S△ADF＝S△BED＝S△CFE=34（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，∵AD＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，AD=BE∠A=∠B∴△ADF≌△BED（SAS）；（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∴CH＝AC•sin60°＝23，S△ABC=12AB•CH＝4∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，∴FG＝AF•sin60°=32（4﹣∴S△ADF=12AD•FG=34由（1）可知△ADF≌△△BED，同理可证，△BED≌△CFE，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE=34x（4﹣∵△DEF的面积为y，∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝43−334x（4﹣x）=334x（3）由（2）可知：y=334x2﹣33x∵a=334＞∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，即当2＜x＜4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0＜x＜2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用二次函数的性质解决问题．三角形综合题27．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．【考点】三角形综合题．【分析】（1）由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得CE＝BF，即可求解；（2）①先证△ADN和△BDH是等腰直角三角形，可得AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，可求AD=2x，BD＝22x，通过证明△EDN∽△FDH，可求FH②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）由题意可得点M在线段CD的垂直平分线上运动，由相似三角形的性质可求M'R＝1，由勾股定理和相似三角形的性质可求RM″＝n，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：连接CD，∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，∴AB=2AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF，∴AE+BF＝AE+CE＝AC=22（2）①AE+12BF=过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠∴△ADN∽△BDH，∴ADDB设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，∴AD=2x，BD＝22x∴AB＝32x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ENFH∴FH＝2NE，∴AE+12BF＝x+NE+12（2x﹣FH）＝2②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠∴△ADN∽△BDH，∴ADDB设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD=2x，BD=2∴AB=2（n+1）x∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ENFH∴FH＝nNE，∴AE+1nBF＝x+NE+1n（nx﹣FH）＝2当点F在CB的延长线上时，如图5，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠∴△ADN∽△BDH，∴ADDB设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD=2x，BD=2∴AB=2（n+1）x∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ENFH∴FH＝nNE，∴AE−1nBF＝x+NE−1n（FH﹣nx）＝2综上所述：当点F在射线BC上时，AE+1nBF=2n+1AB，当点（3）如图，连接CD，CM，DM，∵EF的中点为M，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CM＝DM=12∴点M在线段CD的垂直平分线上运动，如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上，当点E'与点C重合时，点F″在CB的延长线上，过点M'作M'H⊥F'C于R，∴M'R∥AC，∴M'RAC∴M'R＝1，F'R＝CR，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD=2x，BD=2∴AB=2（n+1）x＝22∴x=2∵F'D＝BD=2nx∴F'B＝2nx，∴CF'＝2nx﹣2，∴CR＝nx﹣1=2n1+n−由（2）可得：CD=DN2+NE2=x•1+n2，DF″＝∴CF″＝（1+n2）x，∴CM″=(1+n∴RM″＝n，∴M″M'=1+n∴点M运动的路径长为1+n2【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．28．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0＜t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为y=t(0＜t≤4)y=−2t+12(4＜t≤6)（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0＜t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．【点评】本题是一道三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．29．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为y=t(0≤t≤4)y=−2t+12(4＜