高考数学易错题专项突破-易错点12函数的单调性极值和最值问题含解析

PAGE13PAGE易错点12函数的单调性、极值和最值问题一、单选题函数f(x)=ln(2x+3)+xA.−32,−1和−12,+∞

B.−32,−3−54f(x)=x(x−c)2在x=2处有极小值,A.2 B.6 C.2或6 D.1函数f(x)=ln x+ax有小于1的极值点,则实数a的取值范围是A.0,1 B.−∞,−1

C.−1,0 D.(−∞,−1)∪(0,+∞)设函数f(x)=ex(x−1),函数g(x)=mx−m(m>0),若对任意的xA.[1e2,13] B.下列说法正确的是A.若p：∀x≥0,sinx≤1,则¬p:∃x0<0,sinx0>1．

B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题．

C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(二、单空题已知f(x)=13x3+m2x2已知函数f(x)=(2x+1)ex+1+ax(a∈R,e是自然对数的底数).若有且仅有3个负整数x1,x2,x3,使得f(x1)≤0,已知函数f(x)=lnx+ax2−4在x=12处取得极值,若已知函数f(x)的定义域为[−1,5],部分对应值如下表,f(x)

的导函数y=f'(x)

的图象如图所示.下列关于

f(x)

的命题：

x−1045f(x)1221①函数f(x)的极大值点为0,4；

②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[−1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4；④函数y=f(x)与y=a的交点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是____________________．三、解答题已知函数fx=13x3+mx2+nx+3(Ⅰ)求实数m,n的值；(Ⅱ)若函数y=fx−λ的图象与x轴有三个不同的交点,求实数λ已知函数f(x)=13x3+2ax2+bx(1)求曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程；(2)求f(x)在[−3,6]上的最大值和最小值．如图,在四棱锥S−ABCD中,底面菱形ABCD的两对角线的交点为O,AC=4,BD=2,且SB=SD,SA=SO=2,E为AO的中点．

(1)证明：SE⊥AB；

(2)设P为截面SAC上的动点,满足AP=2tπAC−tsint⋅AS(0≤t≤π2).设F,G分别为已知函数f(x)=ln(ax)−x−a(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−12x−m有两个零点x1,x一、单选题函数f(x)=lnA.−32,−1和−12,+∞

B.−32,−3−54【答案】A【解析】解：函数fx的定义域为−32,+∞,

又f'x=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3,

令f'x>0,即4x2+6x+2>0,

化简得2x2+3x+1>0,f(x)=x(x−c)2在x=2处有极小值A.2 B.6 C.2或6 D.1【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=x(x−c)2,

∴f'(x)=3x2−4cx+c2,

又f(x)=x(x−c)2在x=2处有极值,

∴f'(2)=12−8c+c2=0,

解得c=2或6,

又由函数在x=2处有极小值,故c=2,

c=6函数f(x)=ln x+ax有小于1的极值点,则实数A.0,1 B.−∞,−1

C.−1,0 D.(−∞,−1)∪(0,+∞)【答案】B【解析】解：因为f(x)=ln x+ax,

所以函数定义域为{x|x>0},

由f'(x)=1x+a=0得,a≠0,x=−1a,

又函数f(x)=ln x+ax有小于1的极值点,

所以−1设函数f(x)=ex(x−1),函数g(x)=mx−m(m>0),A.[1e2,13] B.【答案】D【解析】解：要对任意的x1∈[−2,2],总存在x2∈[−2,2],使得f(x1)=g(x2),

则f(x)的值域是g(x)的值域的子集,

,

所以fx在−∞,0上单调递减,在0,+∞上单调递增,

即fx在[−2,0)上单调递减,在(0,2]上单调递增,

,f2=e2,f(0)=−1,

所以fx∈−1,e2,

因为函数gx下列说法正确的是A.若p：∀x≥0,sinx≤1,则¬p:∃x0<0,sinx0>1．

B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题．

C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(【答案】B【解析】解：对于选项A,若：,sinx≤1,则：,.所以该选项不正确；对于选项B,命题“已知,若,则或”的逆否命题为“若且,则”,由于逆否命题是真命题,所以原命题是真命题,所以该选项正确；对于选项C,“在上恒成立”不等价于“在上恒成立”,因为不等式两边的自变量都是“”,它只表示两边函数取相同的自变量时,左边的函数值不小于右边的函数值,所以不等价于“在上恒成立”.所以该命题不正确；对于选项D,函数的最小值不是2.设,所以因为,所以函数在单调递增,所以函数的最小值为,所以该选项错误．故选：B．二、单空题已知f(x)=13x3+m2【答案】−5,5【解析】解：由题可得f'(x)=x2+mx−6,

而f(x)在−1,1上单调递减,

则f'(x)=x2+mx−6≤0对x∈−1,1恒成立,

因此有f'(−1)=−m−5⩽0f'(1)=m−5⩽0,

解得m≥−5m≤5已知函数f(x)=(2x+1)ex+1+ax(a∈R,e是自然对数的底数).若有且仅有3个负整数x1,x2,x3,使得f(x1【答案】−【解析】解：由f(x)≤0可得(2x+1)ex+1≤−ax．

令g(x)=(2x+1)ex+1,ℎ(x)=−ax,

则g'(x)=(2x+3)ex+1,

当x<−32,g'(x)<0,当x>−32,g'(x)>0,故x=−32是极小值点,

且g(−12)=0,故g(x)的图象如图所示．

显然,当a≥0时满足f(x)≤0的负整数x有无数个,

因此a<0．

此时必须满足g(−3)≤ℎ(−3)g(−4)>ℎ(−4)已知函数f(x)=lnx+ax2−4在x=12处取得极值【答案】【解析】解：f(x)=lnx+ax2−4,则f'(x)=1x+2ax．

依题意可得f'(12)=2+a=0,可得a=−2．

所以f(x)=lnx−2x2−4,f'(x)=1x−4x．

当m∈[14,12)f'(m)=已知函数f(x)的定义域为[−1,5],部分对应值如下表,f(x)

的导函数y=f'(x)

的图象如图所示.下列关于

f(x)

的命题：

x−1045f(x)1221①函数f(x)的极大值点为0,4；

②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[−1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4；④函数y=f(x)与y=a的交点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是____________________．【答案】①②④．【解析】解：∵由导函数的图象知,函数f(x)的最大值点为0与4,故①正确；

由已知中y=f'(x)的图象可得在[0,2]上f'(x)<0,

即f(x)在[0,2]是减函数,即②正确；

由已知中y=f'(x)的图象,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,

若x∈[−1,t]时,f(x)的最大值是2,那么0≤t≤5,故t的最大值为5,即③错误；∵函数f(x)在定义域为[−1,5]共有两个单调增区间,两个单调减区间,故函数y=f(x)−a的零点个数可能为0、1、2、3、4个,即函数y=fx与y=a的交点个数可能为0、1、2、3、4个,因④正确,综上可得正确命题的序号是①②④．

故答案是①②④三、解答题已知函数fx=13x3+mx2+nx+3(Ⅰ)求实数m,n的值；(Ⅱ)若函数y=fx−λ的图象与x轴有三个不同的交点,求实数【答案】解：(Ⅰ)f'(x)=x2+2mx+n.∵函数f'(x)的图象关于y轴对称,∴m=0．

又f(1)=13+n+3=−23,解得n=−4.∴m=0,n=−4．

(Ⅱ)问题等价于方程f(x)=λ有三个不相等的实根时,求λ的取值范围．

由(Ⅰ),得f(x)=13x3−4x+3.∴f'(x)=x2−4.令f'(x)=0,解得x=±2．

∵当x<−2或x>2时,f'(x)>0,∴f(x)在(−∞,−2),(2,+∞)上分别单调递增．

又当−2<x<2时,f'(x)<0已知函数f(x)=13x3+2ax2+bx(1)求曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程；(2)求f(x)在[−3,6]上的最大值和最小值．【答案】解：(1)f'(x)=x2+4ax+b得a=1,b=−21,所以f'(x)=因为f'(0)=−21,所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为21x+y=0．(2)由(1)知f'(x)=x2+4x−21=(x+7)(x−3)令f'(x)<0,得−3≤x<3；令f'(x)>0,得3<x≤6．所以f(x)在[−3,3)上单调递减,在(3,6]上单调递增,

故f(x)因为f(−3)=72,f(6)=18,所以f(x)如图,在四棱锥S−ABCD中,底面菱形ABCD的两对角线的交点为O,AC=4,BD=2,且SB=SD,SA=SO=2,E为AO的中点．

(1)证明：SE⊥AB；

(2)设P为截面SAC上的动点,满足AP=2tπAC−tsint⋅AS(0≤t≤π2).设F,【答案】解：(1)证明：在菱形ABCD中,BD⊥AC.又SB=SG,所以,BD⊥SO,

又因为AC,SO⊂平面SAC,AC∩SO=O,

所以,BD⊥平面SAC,因为SE⊂平面SAC,

从而,BD⊥SE．

因E为AO的中点,且SA=SO,所以,SE⊥AC,

因为BD,AC⊂平面ABCD,BD∩AC=O,

所以,SE⊥平面ABCD,

因为AB⊂平面ABCD,

所以SE⊥AB．

(2)A为坐标原点,过A平行BD的直线为x轴,AC所在直线为y轴,过A垂直平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系．AE=1,SA=2,

故则A(0,0,0),E(0,1,0)C(0,4,0),S(0,1,1),F(12,1,0),G(12,3,0)．

设平面SFG的法向量为m=(x,y,z),FG=(0,2,0),FS=(−12,0,1),

由m·FG=0m·FS=0得2y=0−12x+z=0令x=2,则m