初中数学勾股定理 作业设计二

沪科版数学八年级下册

第18章《勾股定理》

作,

业

设

计

目录

一、单元信息......................................1

二、单元分析.....................................1

(-)课标要求....................................1

(-)教材分析...................................2

(三)学情分析...................................3

三、单元学习与作业目标...........................4

(-)单元学习目标...............................4

(-)单元作业目标...............................4

四、单元作业整体设计思路.........................4

五、作业设计.....................................6

(1)18.1勾股定理(1)课时作业及评价分析.........6

(2)18.2勾股定理(2)课时作业及评价分析.........18

(3)18.2勾股定理的逆定理(1)课时作业及评价分析.35

(4)18.2勾股定理的逆定理(2)课时作业及评价分析.53

(5)勾股定理复习课时作业及评价分析.............69

(6)单元检测作业及评价分析.....................85

一、单元信息

基本信息学科年级学期教材版本单元名称

数学八年级第二学期沪科版勾股定理

单元组织方自然单元重组单元

式

序号课时名称对应教材内容

1勾股定理（1）第18.1(P52-54)

2勾股定理（2）第18.1(P54-56)

课时信息3勾股定理的逆定理（1）第18.2(P58-58)

4勾股定理的逆定理（2）第18.2(P58-59)

5勾股定理复习第18章(P52-68)

二、单元分析

（-）课标要求（2022版）

勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数

量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。

学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认

识和理解。

在2022版数学课程标准中对勾股定理的要求是：探索勾股定理及其逆定理.

并能运用它们解决一些简单的实际问题。

内容要求部分，在“图形的性质”中强调通过实验探究、直观发现、推理

论证来研究图形，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发

推导图形的几何性质和定理；在这一部分还涉及到：理解直角三角形的概念，

探索并掌握直角三角形的性质定理；直角三角形的两个锐角互余，直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。在

“图形的变化”中要求能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一

些简单的实际问题。在“图形与坐标”中强调数形结合，用代数方法研究图形，

在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问

题。

学业要求部分，在“图形的性质”中要求：在直观理解和掌握图形与几何

基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学

逻辑，形成几何直观和推理能力；在“图形的变化”中要求：理解几何图形的

对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学的语言表达对称；知道直

1

角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三角函数解决简单的实际

问题；在“图形与坐标”中要求：感悟通过几何建立直观、通过代数得到数学

表达的过程。在这样的过程中，感悟数形结合的思想，会用数形结合的方法分

析和解决问题。

教学提示部分，在“图形的性质”中提到：要通过生活中的或者数学中的

现实情境，引导学生感悟基本事实的意义，经历几何命题发现和证明的过程，

感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性，增强推理能力，会用数学的思维

思考现实世界；在“图形的变化”中提到：引导学生发现自然界中的对称之美，

感悟图形有规律变化产生的美，会用几何知识表达物体简单的运动规律，增强

对数学学习的兴趣。在“图形与坐标”中提到：要强调数形结合，引导学生经

历用坐标表达图形的轴对称、旋转、平移变化的过程，体会用代数方法表达图

形变化的意义，发展几何直观；引导学生经历借助平面直角坐标系解决现实问

题的过程，感悟数形结合的意义，发展推理能力和运算能力，增强应用意识和

创新意识。

（二）教材分析

1、知识网络

震第三角形西直南边的平方和等于

斜边的平方.如果用a,b和1c分熨

表示直角三角形的沟■角边和斜达

2、内容分析

直角三角形是一种特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三边的关

系它是平面几何中的一个重要定理。本章主要内容有两个部分:勾股定理的发现

与证明，运用勾股定理解决简单的实际问题；勾股定理的逆定理，利用勾股定

理的逆定理判定直角三角形。

在本章之前学生已学习了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性

质和一个三角形是直角三角形的条件。在此基础上，本章学习的主要内容是关

2

于直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用。本章的第一部分利用

学生熟悉的方格网为背景通过观察、分析、一般化等思维活动，引导学生得到

猜想一一勾股定理，再利用面积计算、数形结合的方法证明勾股定理。教科书

利用史实进行了爱国主义教育，培养学生爱国主义情感。课本应用勾股定理解

决了两个简单的实际问题。本章的第二部分利用两个情景提出了逆命题（逆定理）

的概念，提出了一个定理的逆命题是否成立的问题;应用实例展现利用勾股定理

的逆定理判定三角形是直角三角形。

勾股定理反映了一个直角三角形三边之间的数量关系，也是直角三角形的

一条重要性质，勾股定理的发现过程体现了一般化的数学思想。勾股定理及其

逆定理，把直角三角形中形的特征转化为三边的数量关系，实现了形与数的密

切联系，一般化、形与数的密切联系在数学理论上均有重要地位。勾股定理的

证明方法很多，课本是利用面积法给出证明的。学生学习勾股定理的面积证法

有一定的困难，其原因主要是：在此之前，学生没有见过用面积法证明的示例。

学生感到陌生；学生不会利用面积关系列等式。目前不要求学生掌握勾股定理

的逆定理的构造性证明。本章的教学重点是勾股定理、勾股定理的逆定理的内

容及其应用；教学难点是勾股定理的发现过程中所体现的数学思想。

课本选取学生熟悉的方格纸为背景，关注勾股定理的发现过程，帮助学生

克服机械记忆公式的学习方式。教学内容采用“问题情景一探究猜想一解祥、

应用与拓展”的形式展开，让学生通过观察、实验、猜想、验证、推理与交流

等数学活动，经历知识的形成与应用的过程，目的是使学生更好地理解数学知

识的意义，掌握必要的基础知识和技能，形成有效的学习策略，发展应用数学

知识的意识与能力，增强学好数学的信心。课本在数学园地中，设置了具有挑

战性的数学问题，激发学生进行思考.引导学生进行主动探索.给学生提供探

索与交流的空间，以发展学生创新意识与实践能力。课本将图形与启发性问题

相结合，计算与证明相结合，数与形相结合，充分发挥图形的直观作用，以加

深学生对所学内容的理解。

（三）学情分析

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形。

再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探索、发现和证明的过程。证

明勾股定理的关键是利用割补法求出斜边伟边长的正方形的面积，教学中要注

意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明。

勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论。在正方形网格中比较

容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之

间的关系，但是从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理

的猜想，学生有较大的困难。因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下

的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这

种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理。

另外学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力。习得了一定的几何

知识，同时他们也学习了一些几何图形的面积计算方法（包括割补、拼接），

但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够。同时同学们对于算

术平方根有了一定了解，这对求三角形的边长有一定作用。

3

三、单元学习与作业目标

（-）单元学习目标

1.经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，体验勾股

定理的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合

情推理能力；

2.了解勾股定理的证明，培养学生良好的思维习惯;利用数学史话介绍，培养

学生爱国主义的思想情感；

3.会运用勾旋奎理嬴夬简单的实际问题，进一步培养和发展学生的逻辑思

维能力和推理论证的表达能力；

4.结合具体情景，了解逆命题（逆定理）的概念;理解勾股定理的逆定理,会用

勾股定理的逆定理判定直角三角形.

（二）单元作业目标

1.通过基础题的设计与训练，使学生能够初步掌握勾股定理及其逆定理，

并会进行简单的计算和实际运用，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

2.通过能力题的设计与训练，让学生初步学会用代数计算解决几何问题的

一种方法，体会数形结合的思想；

3.通过素养题的设计与训练，旨在以题目为媒介，让学生在分析与思考中,

培养学生的观察能力、应用能力及发展思维能力；

4.激发国家认同、国际理解的社会责任担当，增强爱国主义情怀。

四、单元作业整体设计思路

学生作业是课堂教学的延伸和继续,也是实现教学目标的一个重要手段.但

过重的作业负担,不仅难以实现预期的教学目标,而且会产生不可低估的负面效

应.根据国家“双减”政策,必须优化作业设计。在全面透彻理解《勾股定理》

教学内容的前提下，把握知识的连贯性，明确教学内容的重点、难点以及对学

生能力培养的要求.首先要加强“双基”训练，特别是对基本概念的理解和掌

握是数学学科的基础，是培养思维、提高能力的根本.其次要注重学习内容重难

点的把握，充分利用学生作业的完成促使学生牢固掌握重点知识，同时把学习

中的难点分解于作业中，循序渐进地掌握知识.另外要注意知识的整体性，一

方面注意复习巩固已有知识，与旧知识衔接起来，另一方面为后续知识做好准

备，把后面的内容或方法渗透到前面的知识中形成良好的知识链，保持掌握知

识与培养能力的系统性.基于以上方面的考虑特从以下方面进行设计。

1.作业编排：在2022版数学课程标准中提到：促进自主学习，加强自我监

控、自我评价，提升自主学习能力；家校协同，建立监控、指导、评价、激励

机制，适时交流和开展个性化指导，营造学生自主学习的良好环境。所以在作

业编排方面分别设置了课前的预习作业和课中的练习作业以及课后的课时作业,

其中课前的预习作业均设置为选择题和填空题主要为最容易的题目，以巩固和

识记知识点为主。课中的练习作业设置有选择题、填空题和解答题当堂完成，

4

这些题目全部为容易题。由于课前预习作业和课中练习作业比较简单所以没有

进行分层设计。由于学生的学力有差异所以课后的课时作业设置了不同的等级,

虽然设置了不同的等级但并没有分别设计三套难度等级不同的作业，如果不同

层次的学生做难度不同、题目不同的作业，则不利于同学之间相互交流、相互

帮助。为了培养全面发展的人，共性寓于个性之中个性又受共性的制约，共性

和个性在一定条件下相互转化。所以在一套作业中体现基础、能力、素养三个

等级，使每个学生在学习中既有共性学习又有个性学习，既能共同进步又能个

性发展；另外为了锻炼学生的实践能力，在每个课时的最后又设置了素养发展

题，旨在锻炼学生的实际动手、动脑、分析问题、解决问题的能力；

2.难度设置：为了切实贯彻落实素质教育，培养全面发展的人，兼顾群体

特点与个体差异，课后的课时作业题目设置为基础、能力、素养三个等级。课

时作业大致按照6:3:1设计，单元检测作业大致按照7：2：1设计；

3.题型设置：为了对接初中学业水平考试，在题型设置方面和学业水平考

试一致，设置为：选择题、填空题和解答题。为了培养全面发展的人，在各种

类型的题目里面设置了培养学生对基础知识理解和掌握的题目、培养获取信息

能力的阅读分析问题、培养探究能力的探究问题、培养解决问题能力的具有实

际背景的问题等；

4.时间设置：为切实减轻学生的作业负担，课前的预习作业时间在10分钟

之内，课中的练习作业时间也在10分钟之内，课后的课时作业时间控制在15-

20分钟，单元检测作业设置为25-30分钟；

5.作业布置：作业分为基础题、能力题和素养题，针对班级学生学力的不

同将学生分成三个层级，学力最低层级的学生（C级学生）完成基础等级的题

目，鼓励探索能力等级的题目；学力中等层级的学生（B级学生）完成基础和

能力两个等级的题目，鼓励探索素养等级的题目；学力最高层级的学生（A级

学生）至少完成能力和素养两个等级的题目。

面向全体学生

知识点的识记

简单容易题

作

业

设

计

体

系

A等学生至少完成能万

题和素养题

B等学生完成基础超

培养学生综合素质全和能力题

素养发展面发展

5

五、作业设计

(1)18.1勾股定理(1)课时作业及评价分析

课时教学目标

1、数学的眼光

通过探索发现勾股定理并会进行证明，能够进行数学研究运用勾股定理进行简

单计算和运用；能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究

2、数学的思维

通3航察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、

逻辑推理的能力；在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”

的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。

3、数学的语言

能够精确描述勾股定理并用字母表示；会用勾股定理解决分析结果，形成合理

的判断或决策；形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力。

课时作业目标

(1)能够对勾股定理进行证明，并能够运用勾股定理进行简单计算;

(2)巩固对勾股定理的理解、识记及应用；

(3)培养学生动手操作、实际应用、逻辑推理的能力。

一、预习作业

(1)作业内容

1、直角^ABC的主要性质是：zc=9(r(用几何语言表示)

(1)两锐角之间的关系：

(2)若/B=30,则NB的对边和斜边的关系：

2、如果直角三角形的两条直角边用a,b表示，斜边用c表示，那么勾股定理

可以表示为,用文字叙述即为直角三角形的两条直角

边的等于斜边的.

6

3、如图，字母B所代表的正方形的面积是)

A.12B.13C.144D.194

(2)时间要求：10分钟。

(3)评价设计(学生自评)

习题评价表

题号等级说明与评价

A能正确写出两小问的答案，说明以前所学关于直角三角形的知

1识掌握比较牢固.

B能正确写出其中一个的答案，或者书写不准确.

C两问都不能写出，说明不能掌握以前所学的知识点.

A能正确填写出三空，说明预习效果明显能初步识记勾股定理.

2B只能填出勾股定理的几何表示，不能填出文字表示。

C三空都不能填出，说明完全没有理解预习内容.

A能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能初步进

3行应用.

B

C不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾

股定理但是不会应用.

(4)作业分析

第1题：

【作业分析】(1)根据直角三角形的性质即可求解；

(2)根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.

【解答过程】解：直角AABC中，NC=90°,

(1)两锐角之间的关系：NA+NB=90°

(2),••/B=3O°,的对边和斜边的关系是AC=EAB.

1_

故答案为：ZA+ZB=90°；AC=2AB.

7

【设计意图】本题综合考查了直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性

质综合性较强，但是难度不大.

第2题：

【作业分析】根据勾股定理计算；

【解答过程】直角三角形三边之间的关系为：a2+b2=c，故答案为：a2+b2=c2；

平方和；平方

【设计意图】本题考查的是勾股定理，如果真角福角形的两条直角边长分别是

a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

第3题：

【作业分析】外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一

直角边的平方，用勾股定理即可解答.

【解答过程】解：根据勾股定理我们可以得出：a2+b2=c2,a?=25,M=

169,b2=169-25=144,因此B的面积是144.故选：C.

【设计意图】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用.只要搞清

楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了.

二、练习作业

(1)作业内容

1.•下列说法中正确的是()

A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2

B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C.在RtZ\ABC中，ZC=90°,所以BC?+AC2=AB2

D.在RSABC中，ZB=90°,BC2+AC2=AB2

8

2.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：

3.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已

知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两

直角边(x>y),下歹IJ四个说法：①x2+y2=49；②x-y=2；③2xy+4=49；

④x+y=9,其中说法正确的有()个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知在RtZXABC中，NC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.如果c=26,a：

b=5：12,求a、b的值.

(2)时间要求：10分钟。

⑶评价设计(学生互评、教师总评)

习题评价表

题号等级说明与评价

A能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能正确区

1别对边与对角.

B

C不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾

股定理但是不能正确区分对边与对角.

9

A全部都能正确写出，说明不仅能记住勾股定理，并且还能初步

2进行应用.

B不能全部写对，说明能记住勾股定理，但运用上还有问题.

C全部错误，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾股定理但

是不会应用.

A能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形

3结合.

B

C不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.

A能够正确做出，过程完整条理清楚.

4B能够正确做出但过程不完整.

C不能做出，无过程.

(4)作业分析

第1题：

【作业分析】以a,b,c为三边的三角形不一定是直角三角形，得出A不正确；

由直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得出B不正

确；由勾股定理得出C正确，D不正确；即可得出结论.

【解答过程】解：A不正确；二♦以a,b,c为三边的三角形不一定是直角三角

形，，A不正确；

B不正确「.•直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，

；.B不正确；

C正确,.,NC=90°,，AB为斜边，/.BCZ+AC2=ABZ,；.C正确；

D不正确；•••/B=90°,，AC为斜边，.,.AB2+BC2=AC2,AD

不正确；故选：C.

【设计意图】本题考查了勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理

论证是解决问题的关键.

第2题：

【作业分析】直接利用勾股定理得出已知图形的面积和未知边长.

【解答过程】解：如图1,正方形的面积为：100+225=325；

如图2,x=172-152—8；

如图3,y=yj132-52=%；

22

如图4,z=^g+g=10.

【设计意图】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键.

10

第3题：

【作业分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的

边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大

正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断

③，利用①③可判断④.

【解答过程】解：•••大正方形面积为49,...大正方形边长为7,在直角三角形

中，x2+y2=72=49,故说法①正确；

•••小正方形面积为4,...小正方形边长为2,.,.x-y=2,故说法

②正确•大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面

积之和，，4xNxy+4=49,...2xy+4=49,故说法③正确；

V2xy+4=49,.,.2xy=45,Vx2+y2=49,Z.x2+y2+2xy=49+45,

(x+y)2=94,.*.x+y=V94,故说法④错误；故选：C.

【设计意图】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用大正方形面积和小

正方形面积得出大正方形和小正方形的边长.

第4题：

【作业分析】在Rt^ABC中，ZC=90°,根据勾股定理可得AB2=ACZ+BC2,

根据题目给出的已知条件可以求第三个边的长.

【解答过程】解：•••Rt^ABC中，ZC=90°,c=26,a：b=5：12,可设a二

5x,贝ljb=12x,(5x)2+(12x)2=262；解得x=2,.,.a-10,

b=24.

【设计意图】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直

角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

11

三、课时作业

(1)作业内容

1.(基础题)在RtZ\ABC中，ZC=90°.若a=6,b=8,贝c的值是(

A.10B.2734C.2A/7D.4.8

2.（能力题）（原创题）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩

形AB'C'D',连接CC'.已知AB=5,BC=12,通过计算我们可以得

出CL的长度是（）

A.13B.13V2C.1373D.13V5

3.（基础题）在RtZ^ABC中，斜边BC=3,则AB^+BCZ+ACZ的值为

4.（能力题）如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,

C都在格点上，若BD是AABC的高，则BD的长为.

5.(基础题)在R或\ABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的对边分别是a,

b,c.

(1)已知a=40,c=41,求b；

(2)已知a=5,b=12,求c.

12

6.（改编）

（基础题）（1）已知甲往东走了6km,乙往南走了8km,求此时甲乙两人的距

两I

（能力题）（2）已知直角三角形的两边长分别为6和8,求第三边长的平方；

（素养题）（3）已知直角三角形的两边长分别为6和8,求斜边上的高。

7.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b,

斜边长为c.请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角

形纸片不能互相重叠.

（能力题）（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；

（素养题）（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理.

素养发展

勾股定理是平面几何中最重要的定理！它是历史上第一个将数与形联系起

来的定理，开启了论证几何的开端，甚至引发了第一次数学危机，勾股定理的

发现使人们加深了对数的理解，发现了无理数。勾股定理也是历史上第一个给

出完全解答的不定方程，并引出了费马大定理。而勾股定理的证明目前约有

500种，是数学定理中证明方法最多的定理之一。请同学们利用课余时间收集

整理勾股定理的证明方法并加以分类，看谁收集的又多又好！

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(2)时间要求：

A级学生做能力题和素养题20分钟,

B级学生做基础题和能力题20分钟,

C级学生做基础题20分钟。

(3)评价设计(教师评价)

习题评价表

题号等级说明与评价

A能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够进行简单

、-m

1运用.

B

C不能写出正确答案，还不能够掌握定理.

A能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形

2结合.

B

C不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活运用.

A能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够进行简单

3计算.

B

C不能写出正确答案，对知识没有掌握并且不能运用.

A能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形

4结合.

B

C不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.

A能够正确做出，过程完整条理清楚.

5B能够正确做出但过程不完整.

C不能做出，无过程.

A能够正确做出，过程完整条理清楚考虑全面，能与其它知识相

6结合.

B能够正确做出但过程不完整；考虑不全面.

C不能做出，无过程.

A能够画出示意图并完成证明过程.

7B能够画出示意图不能完成证明.

C不能够画出示意图.

14

作业整体评价表

评价指标等级备注

ABC

答题的准A等，答案正确，过程正确。

确性B等，答案正确，过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准

确，过程错误、或无过程。

答题的规A等，过程规范，答案正确。

范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

解法的创A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价AAA,AAB综合评价为A等；

等级ABB、BBB、AAC综合评价为B等；

其余情况综合评价为C等。

(4)作业分析

第1题：

【作业分析】根据勾股定理计算，得到答案.

【解答过程】解：在R1AABC中，NC=90°,a=6,b=8,由勾股定理得：c

=Va2+b2=7G2+82=10,故选：A.

【设计意图】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是

a,b,斜边长为c,那么aZ+b2=c"

第2题：

【作业分析】两次利用勾股定理，先求出AC长，再根据ACAL是等腰直角

三角形求出CC的长

【解答过程】解：•••四边形ABCD为矩形，AB=5,BC=12

,AC=AMB2+BC2=32+122=13又：NCAC，=90。AC=ACZ

.•.CC，=AMC2+AC“2不32+132/故选择R

【设计意图】此题是勾股定理，考查了勾股定理的运用和特殊的直角三角形。

15

第3题：

【作业分析】由直角三角形结合勾股定理得到AB2+AC2的值，即可得出结果.

【解答过程】解：•.•RtZSABC中，斜边BC=3,.\AB2+AC2=BC2=32=9,

，AB2+BC2+AC2=2BC2=2X9=18,故答案为：18.

【设计意图】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

第4题：

【作业分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积,

由三角形的面积公式即可得到结论.

解：由勾股定理得：22

【解答过程】AC=72+3=V13,

24-xIX2-yXIX3-yX2X3=3.5

VSAABC

177V13

ACBD=

.-.2'2.,.VT3-BD=7,ABD=13,故答案为：13

【设计意图】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解

题的关键.

第5题：

【作业分析】(1)由勾股定理求出直角边b即可；

(2)由勾股定理求出斜边c即可.

【解答过程】解⑴VZC=9ff,."=式中=北工不=9；

)

(2)•••NC=90,.♦.c=ApT^=V^IP=13.

【设计意图】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注

意c是斜边.

第6题：

【作业分析】(1)由勾股定理直接可得；

(2)由于直角边不确定，所以不止一种情况

(3)在第二小题的基础之上，进一步增加知识的考查，利用面积

求斜边上的高

16

【解答过程】（1）甲乙两人之间的距离=0+82=iokm

（2）当6和8为两个直角边时，第三边长的平方=62+82=100

当6和8为直角边和斜边时，第三边长的平方=82-6=28

2

（3）设斜边上高为h,当6和8为两个直角边时，斜边

=V62+82=10,由三角形面积可得：gx6x8=10/i,得

h=Y

当6和8为直角边和斜边时，另一直角边=府=^2g由

三角形面积可得：gx2V7x6=：x8/i,得h=（

【设计意图】本题考查了勾股定理的运用，分类讨论是解题的关键。

第7题：

【作业分析】（1）把四个全等的直角三角形的斜边首尾相接，可拼成所需图案，

如图所示（答案不唯一）；

（2）分别用两种方法计算大正方形的面积，从而可得（a+b）2=

J,

c2+4xEab,化简即可得证.

【解答过程】解：（1）（答案不唯一）如图；

（2）证明：•••大正方形的面积可表示为（a+b）2,大正方形的面

,12

积也可表示为：c2+4xEab,（a+b）2=c2+4X2ab,即

a2+b2+2ab=c2+2ab,/.a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平

方和等于斜边的平方.

【设计意图】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是拼出熟知的勾股图.

17

(2)18.1勾股定理(2)课时作业及评价分析

课时教学目标

1、数学的眼光

感悟数学的审美价值；体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意

识，再一次感受勾股定理的应用价值，锻炼克服困难的意志，建立自信心；培

养学生交流与合作的协作精神。

2、数学的思维

通过法股定理实际问题的分析与解决，通过学生动手操作，培养学生的

探究能力、质疑能力，提高用勾股定理来解决实际问题的能力；帮助学生感受

到数学与现实生活的联系；

3、数学的语言

能进一£总用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题；欣赏数学语言

的简洁与优美，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯。

课时作业目标

(1)能够运用勾股定理进行简单计算以及解决实际问题；

(2)进一步加强对勾股定理的理解、识记及应用；

(3)培养学生分析问题、解决问题、逻辑推理的能力；

(4)锻炼学生实际动手操作能力。

一、预习作业

(1)作业内容

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示

直角三角形的两直角边和斜边，那么+=.

用图形表示为：

勾a2+b2=c'2

股b

2、如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端

距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？()

C.9米D.25

18

3、如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单

位：cm),计算两个圆孔中的A和B的距离为cm.

(2)时间要求：10分钟。

(3)评价设计(学生自评)

习题评价表

题号等级说明与评价

A能正确填写结果，说明能够记住勾股定理.

1B

C不能填出正确结果，说明没有能够记住勾股定理.

A能正确选出答案，说明能够运用勾股定理解决简单的实际问

2题.

B

C不能写出正确答案，说明没有掌握勾股定理或者不能进行实际

应用.

A能正确填写结果，说明能够解决实际问题.

3B

C不能填出正确结果，说明没有理解预习内容.

(4)作业分析

第1题：

【作业分析】根据勾股定理解答即可.

【解答过程】解：如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那

么a2+t)2=c2.故答案为：a4b2,cz.

【设计意图】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

19

第2题：

【作业分析】设大树高约有x米，再由勾股定理即可得出结论.

【解答过程】解：设大树高约有x米，由勾股定理得：(x-3)2=32+4幺解得：

x=8,答：大树高约8米.故选：B.

【设计意图】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学

问题来解决.

第3题：

【作业分析】根据图形标出长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角

三角形，根据勾股定理就可求出A和B的距离.

【解答过程】解：••'AC=10-4=6(cm),BC=12-4=8(cm),

AAB=VAC2+BC2=V62+82=10(cm).故答案为：10.

【设计意图】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学

好数学的关键.

三、练习作业

(1)作业内容

1..如图，做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点加

一根加固木条，则木条的长为()

A.90厘米B.100厘米C.105厘米D.110厘米

20

2.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面

用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

4米2蛛

3.如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方

形E的边长为10,则正方形A,B,C,D的面积之和为.

4.阅读并解答问题

明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了

一道“荡秋千”问题：

原文：平地秋千未起，踏板一尺离地.

送行二步与人齐，五尺人高曾记.

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.

良工高士素好奇，算出索有几？

译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺

（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的

绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）

21

建立数学模型，如图，秋千绳索0A静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1

尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5

尺），已知OC_LCD于点C,BD_LCD于点D,BEJ_OC于点E,OA=OB,

求秋千绳索（0A或0B）的长度.

请解答下列问题：

（1）直接写出四边形ECDB是哪种特殊的四边形；

⑵求0A的长.

（2）时间要求：10分钟。

⑶评价设计（学生互评、教师总评）

习题评价表

题号等级说明与评价

A能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能实际应

1用.

B

C不能正确选出答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾

股定理但是不会解决实际问题.

A能正确写出答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能初步进

2行应用.

B

C不能写出正确答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾

股定理但是不会应用.

22

A能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形

3结合.

B

C不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.

A能够正确做出两问，过程完整条理清楚.

4B能够正确做出两问但过程不完整.

C只能做出第一问或者其它情况.

(4)作业分析

第1题：

【作业分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，

故可利用勾股定理解答.

【解答过程】解：设这条木板的长度为x厘米，由勾股定理得：x2=802+602,

解得x=100厘米.故选：B.

【设计意图】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属较简单题目，注意

细心运算即可.

第2题：

【作业分析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽.再

根据矩形的面积公式计算.

【解答过程】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边是序不=5,所以阳

光透过的最大面积是5X20=100(平方米).故答案为：io。平

方米；

【设计意图】此题运用了勾股定理，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面

积.

第3题：

【作业分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形人，B

C口的面积和即为最大正方形的面积.

23

【解答过程】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为Si,C、D

的面积和为S2,S1+S2=S31于是S=S1+S，即S3=A+B+C+D=

【设计意图】本题考查了勾股定理的应用.能够发现正方形A,B,C,D的边

长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够

证明正方形A,B,C,D的面积和即是最大正方形的面积.

第4题：

【作业分析】(1)根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得结论；

(2)设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千

的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定

理可求解.

【解答过程】解：⑴四边形ECDB是矩形，理由是：•••OCLCD,BD±CD,

BE10C,AZECD=ZCDB=ZBEC=90°,四边形ECDB是

矩形；

(2)设0A的长为x尺，；EC=BD=5尺，AC=1尺

，EA=EC-AC=5-1=4尺在Rt/XOEB中，0E=(x-4)尺，

0B=x尺，EB=10尺，由勾股定理得：1。2+(x-5+1)2=x