向量组的线性关系

关于向量组的线性关系12一、线性组合与线性表示为组合系数.称

设有n维向量组如果存在一组数则称是向量组的线性组合;定义1线性表示。称可由若向量可以由向量组的线性即存在一组数使得组合来表示，第2页,共47页，2024年2月25日，星期天3观察三个向量之间的关系，有设由三维向量我们称是和的线性组合。组成的向量组，也称可由和线性表示。例1.第3页,共47页，2024年2月25日，星期天4观察三个向量之间的关系，有观察四个向量之间的关系，有例.例.第4页,共47页，2024年2月25日，星期天5任一n维向量都可由n维单位向量组,,,+线性表示，即+第5页,共47页，2024年2月25日，星期天6而三维基本单位向量中任何一个向量，都不能由其他两个向量线性表示。n维基本单位向量它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。中任何一个向量，也不能由其他向量线性表示。第6页,共47页，2024年2月25日，星期天7设即=++（1）第7页,共47页，2024年2月25日，星期天8第8页,共47页，2024年2月25日，星期天9定理1

设是为

n维列向量组，可由线性表示有解其中因为中每个向量都可由向量组本身(2)向量组线性表示，(1)零向量可由任一组向量线性表示。第9页,共47页，2024年2月25日，星期天10例2.已知问是否可由线性表示？如能线性表示解:设有数就写出表达式.使第10页,共47页，2024年2月25日，星期天11有唯一解第11页,共47页，2024年2月25日，星期天12练习.已知问是否可由线性表示？如能线性表示解:设有数就写出表达式.使第12页,共47页，2024年2月25日，星期天13同解方程组为令得k为任一常数.第13页,共47页，2024年2月25日，星期天14例3.

判断是否为向量组的线性组合？解:

设对矩阵第14页,共47页，2024年2月25日，星期天15若第15页,共47页，2024年2月25日，星期天16观察三个向量之间的关系，有设由三维向量又可以写成组成的向量组，引例第16页,共47页，2024年2月25日，星期天17二、线性相关与线性无关的概念如果存在一组不全为0的数设为m个n维向量组，，使成立，则称向量组线性相关。否则称则对任意不全为0的数，都有线性无关，即当且仅当时，式才成立。线性无。关而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式成立外还能找到不全为0的数使等式。成立若定义1第17页,共47页，2024年2月25日，星期天18根据向量的线性运算，只能得：例如则线性无关。第18页,共47页，2024年2月25日，星期天19线性相关。例4.

已知即判别是否线性相关。解:

因为当向量组只含一个向量时，为线性无关向量组.当为线性相关向量组;当特别第19页,共47页，2024年2月25日，星期天20当向量组含两个非零向量时，设线性相关与对应分量成正比与即与的对应分量成比例.证明:线性相关，则存在不全为零的数或与或例5.使得若第20页,共47页，2024年2月25日，星期天21例如对应分量不成比例，线性无关。对应分量成比例，线性相关。几何上说向量共线。第21页,共47页，2024年2月25日，星期天22例6.求证含有零向量的向量组必线性相关,则此向量组必定线性相关。证明:设向量组中，取数必有第22页,共47页，2024年2月25日，星期天23线性相关线性相关.即如果部分组线性相关，则整体组也线性相关。定理2.证明:线性相关因为则存在一组不全为0的数使成立，因此有其中不全为零。线性相关。部分相关，整体相关！第23页,共47页，2024年2月25日，星期天24线性无关线性无关.即：如果整体组线性无关，则部分组也线性无关。定理3.利用定理2，用反证法。定理2和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间的关系。整体无关，部分无关！第24页,共47页，2024年2月25日，星期天25若线性无关，则线性无关。即：原来无关，延长无关！原来相关，缩短相关！若线性相关，则线性相关。已知第25页,共47页，2024年2月25日，星期天26证明：假设线性相关，则存在一组不全为0的数使得则因此必线性相关。第26页,共47页，2024年2月25日，星期天271、用数字表示的向量组的线性相关性的判别已知解:设有数使得例7.

判别下列向量组的线性相关性三、向量组线性相关性的判别下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。第27页,共47页，2024年2月25日，星期天28即有得同解方程组第28页,共47页，2024年2月25日，星期天29得同解方程组令（k为任意实数）由得此向量组线性相关。方程组有非零解，(未知数个数n),此向量组线性相关。第29页,共47页，2024年2月25日，星期天30小结首先设有数使得归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，第二步将代入得齐次线性方程组。第30页,共47页，2024年2月25日，星期天31方程组有非零解，有则称向量组线性相关。方程组只有零解，则称向量组线性无关。下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性的方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法。第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关：第31页,共47页，2024年2月25日，星期天32定理4有非零解线性相关秩（无关）（只有零解））（秩此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。推论2设n维向量组中含有m个向量,当m>n

时，此向量组必定线性相关。推论1当m=n时，即向量个数=分量个数时,线性相关（线性无关）向量组构成行列式的值为零，即第32页,共47页，2024年2月25日，星期天33判断，，，，的线性相关性.例8.解:第33页,共47页，2024年2月25日，星期天34线性相关.第34页,共47页，2024年2月25日，星期天35例9.

判断下列向量组的线性相关性解:线性无关.第35页,共47页，2024年2月25日，星期天36解:线性相关.第36页,共47页，2024年2月25日，星期天372、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别利用相关性的定义和反证法判别。判别方法：第37页,共47页，2024年2月25日，星期天38方程组只有零解，试证向量组整理得即证明:例10.设向量组线性无关，也线性无关。

因为向量组线性无关，所以必有从而设存在数使得线性无关。第38页,共47页，2024年2月25日，星期天39例11.证明:已知证明线性无关，线性相关。设存在数已知只有线性无关，使得即故向量组线性相关。不全为零，第39页,共47页，2024年2月25日，星期天40定理5其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。线性相关证明:必要性：线性相关，不全为0的数则存在一组使不妨设，则即是的线性组合.第40页,共47页，2024年2月25日，星期天41组合，即存在不全为0的数使线性相关.不全为0，由于则中至少有一个向量是其余向量的线性组合，不妨设是其余向量的线性充分性：因第41页,共47页，2024年2月25日，星期天42向量可由线性表示，这说明线性相关；而向量组中任一向量都不能被其他向量线性表示,其线性无关。一个向量组中有没有某个向量可由其余向量线性表示，这是向量组的一种属性，称为向量组的线性相关性。第42页,共47页，2024年2月25日，星期天43线性无关，线性相关，则可由A线性表示且表法唯一。证明:因为线性相关，则存在一组不全为零的数使成立。由于线性无关，必定，定理6故第43页,共47页，2024年2月25日，星期天44故表示唯一。又设是另一种表示形式。两式相减已知线性无关，必有第44页,共47页，2024年2月25日，星期天45已知向量组线性相关，线性无关。证明①可由线性表示；②不可由线性表示。故线性无关，线性表示。可由①线性无关，②假设可由线性表示，使即存在由①，，可由线性表示，可由线性表示，线性无关相矛盾。与代入上式，证明