2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若OA=(−1,2A.(−2,3) B.(02.已知|a|=3，|b|=4，且a与bA.−6 B.6 C.−63.已知向量a=(1,2)，bA.(2,1) B.(−14.O是平行四边形ABCD外一点，用OA、OB、OCA.OD=OA+OB+O5.有关平面向量的说法，下列正确的是(

)A.若a//b，b/​/c，则a/​/c

B.若a与b共线且模长相等，则a=b

6.tan10°A.−3 B.3 C.37.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AA.14BC B.34B8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AD⋅GB

A.9 B.−9 C.12 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a=(t,A.|a|的最小值为1

B.若a⊥b，则t=0

C.若t=1，与a垂直的单位向量只能为(210.下列化简结果正确的是(

)A.cos22°sin52°11.在△ABC中，下列说法正确的是A.若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则△ABC是等腰三角形

B.若AB⋅AC=12|AB||A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若AC=−13CB，设A13.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若|AB|=2，则AB

14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cos(A,B)，余弦距离为1−cos(A,B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知e1，e2是平面上两个不共线的向量且AB=ke1−4e2，CD=−e1+ke2，BD=e16.(本小题15分)

已知|a|=1，|b|=3，a+b17.(本小题15分)

(1)已知sinα=55，cosβ=1010，且018.(本小题17分)

在平面直角坐标系中，已知向量m=(3,−1)，n=(cosα,sinα)．

(1)19.(本小题17分)

在直角梯形ABCD中，已知AB=2DC，AD⊥AB，|AD|=|CD|=1，动点E、F分别在线段DC和BC

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：OA=(−1,2)，OB=(1,2.【答案】A

【解析】解：由题意可得：a⋅b=|a||b|co3.【答案】C

【解析】解：设向量b=(x,y)，

由b/​/a，得2x−y=0，

∴y=24.【答案】C

【解析】解：作出图形，设AC∩BD=E，则E为AC、BD的中点，如图所示：

∴OA+OC=(OE+EA)+(OE+EC)=5.【答案】D

【解析】解：对A选项，若b=0时，满足a//b，b/​/c，但a与c不一定平行，∴A选项错误；

对B选项，若a=−b时，满足a与b共线且模长相等，但a≠b，∴B选项错误；

对C选项，若|a|>|b|且6.【答案】B

【解析】解：tan10°+tan50°+3tan10°tan7.【答案】A

【解析】解：根据题意，△ABC中，2AO=AB+AC，则O是BC的中点，

又由O是BC的中点，则BC为圆O的直径，则有|AO|=|BO|=|CO|，

又由|OA|=|8.【答案】B

【解析】解：由题意可知，AD=5，HE=1，设AH=x，

由勾股定理可得(x+1)2+x2=52，解得x=9.【答案】AB【解析】解：已知a=(t,1),b=(2,t)，

对于选项A，|a|=t2+1≥1，

即|a|的最小值为1，

即选项A正确；

对于选项B，若a⊥b，

则t×2+1×t=0，

即t=0，

即选项B正确；

对于选项C，若t=1，

则a=(1,1)，

则与a垂直的单位向量为10.【答案】BC【解析】解：cos22°sin52°−sin22°cos52°=sin30°11.【答案】AB【解析】解：对A,AB|AB|,AC|AC|分别表示与AB,AC同向的单位向量，

由平面向量加法可知：AB|AB|+AC|AC|为∠BAC的平分线表示的向量，

由(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，可得∠BAC的平分线AD与BC垂直，

故△ABC是等腰三角形，故A正确；

对B，由题意，AB⋅AC=|AB||AC|cos<AB,AC>=12|AB||AC|，

则cos<AB,AC>=12,<AB,AC>∈[0,π]，故∠BAC=π3，

又(12.【答案】2

【解析】解：因为AC=−13CB，

所以AC=−13(AB−AC)13.【答案】2

【解析】解：依题意，|AO|cos<AB，AO>=12|AB14.【答案】2+【解析】解：OP=(cosα,sinα)，OQ=(cosβ,sinβ)，OR=(cosα,−sinα)，

∴cos<OP,OQ>=cosαcosβ15.【答案】解：(1)由题意知，AB//CD，则存在λ∈R，使得AB//λCD，

即ke1−4e2=λ(−e1+ke2)，所以k=−λ−4=kλ ，

解得λ=2k=【解析】(1)由题意知，AB//CD，则存在λ∈R，使得AB//λCD，即ke1−4e2=λ(−e16.【答案】解：(1)因为|a|=1，|b|=3，a+b=(1,−3)，

所以(a+b)2=|a|2+|b|2+【解析】(1)由平面向量的数量积运算和模的求法计算即可求得；

(2017.【答案】解：(1)因为sinα=55，cosβ=1010，且0<α<π2，−π2<β<0，

所以cosα=1−sin2α=255【解析】(1)结合同角基本关系及和差角公式先求出sin(α+β18.【答案】解：(1)因为m=(3,−1)，n=(cosα,sinα)，

又m⊥n，

所以3cosα−sinα=0，

所以tanα=3，

则tanβ=tan(α+β−α)=tan(α+β)−tan【解析】(1)由平面向量数量积的运算，结合两角和与差的三角函数求解；

(219.【答案】解