专题12 定点问题（讲义）-2024高考总复习压轴题突破140分高三数学之解析几何（教师版）

第第页专题12定点问题在解析几何中，动直线或动曲线不论如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，称为“定点问题”．定点问题的主要考查形式有①圆锥曲线中的直线过定点问题；②圆锥曲线中的圆过定点问题；一、圆锥曲线中定点问题的解题策略：1.参数法：①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=mk，得y=k(x+m)，故动直线过定点(−m,0)．②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.2.特殊法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二、方法总结—平移齐次解决定点问题1、平移齐次法概念在圆锥曲线的综合问题中,如果一条直线l与曲线交于A,B两点﹐点是曲线上一点，且或为定值,则直线l必过定点.在求该定点.如图﹐需要将坐标原点平移至点P处,在新坐标系下求解,这种先平移坐标系﹐再构建齐次关系,最后用韦达定理表示斜率关系的方法,叫做平移齐次法.2、平移齐次解决定点问题的步骤如下.(1)将坐标系平移到以点为原点处;(2)在新坐标系下写出曲线与直线的方程:曲线，直线；(3)将曲线方程作齐次化处理,并写成关于的二次方程的形式:;(4)设，，用韦达定理表示斜率和或斜率积:;(5)得到直线在新坐标系中过的定点；(6)将定点转化为原坐标系中的点.题型【一】、直线过定点的问题求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．③参数无关找定点：找到和没有关系的点．例1、（2023·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.(1)若的面积为，求直线的方程；(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.【解析】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为，依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得，设，，则，，，因此，解得，所以直线的方程为或.（2）由（1）知，，则，，设直线与交点为，则，，而，，则，，两式相加得：，而，则，因此，两式相减得：，而，则，即，所以直线与交于定点.例2、如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【解析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到，，表示出直线和的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果.（1），，则，设焦距为，离心率，，，因此所求的椭圆方程为（2）设直线方程为，设，，由得，，，直线方程是，直线方程是，由，可得，解得：此直线与直线的交点落在定直线上.例3、如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．(1)求椭圆M的方程；(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．【解析】（1）根据题意可得kAP·kOP＝－1，可求出，再由椭圆M过点P，将点P坐标代入椭圆方程可求出，从而可求出椭圆方程，（2）求出直线AP的方程，设，再求出点Q到直线AP的距离，从而可表示出△APQ面积，再利用三角函数的性质可求得结果，（3）解法1：单参数法，由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，可求出点的坐标，同理求出点的坐标，从而可表示出直线DE的方程，从而可求得结果，解法2：设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，利用根与系数关系，再由k1k2＝1，可求出，从而可求得结果.（1）由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1．又点A的坐标为（－a，0），所以，解得a＝1．又因为椭圆M过点P，所以，解得，所以椭圆M的方程为．（2）由题意易求直线AP的方程为，即x－y＋1＝0．因为点Q在椭圆M上，故可设，又，所以，当，即时，，取得最大值．（3）法一：单参数法由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y，得，设D（xD，yD），则，即，所以．设E（xE，yE），同理可得，．又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，所以故直线DE的方程为．令y＝0，可得．故直线DE过定点（－2，0）．法二：双参数法设D（xD，yD），E（xE，yE）．若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD，此时与题设矛盾，若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x，得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0，则．又，可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0，所以，，化简得，解得s＝－2或s＝－1．又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2．所以DE的方程为x＝ty－2．故直线DE过定点（－2，0）．例4、（2023·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)过轴上一点的直线与椭圆交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标.【解析】（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴.由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大.∴，∴.又，解得，，.∴椭圆的方程为：；（2）设与轴交于点，则，当的斜率为0时，显然不适合题意；当的斜率不存在时，直线为，∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点.当直线的斜率存在且不为0时，设，，直线为：，联立，得，，∴，，设，，则，，联立，得，将，代入整理得.将代入，得.综上，直线、交于定点.题型【二】、圆过定点的问题例5、（2023·江西九江·统考一模）已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MN⊥y(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=−2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点.【答案】(1)y(2)证明见解析【分析】（1）设出直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M，N坐标，结合PM⊥PN，可求得p的值，得解.（2）设出点C坐标，由点斜式方程求出直线AC的方程，令x=−2，求出点D坐标，同理求出点R坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在x轴上，设该点坐标为T(a,0)，利用DT⋅【详解】（1）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，将x=my+2代入y2=2px，消去x得设A(x1,y1)，∵M是线段AB的中点，∴xM=即M(pm2+2,pm)∴垂足N的坐标为(0,pm)，则PM=(pm2∵PM⊥PN，∴PM⋅PN∴−2p+p2=0，又p>0故抛物线E的方程为y2（2）

设C(t24,t)，y1+y则kAC=y1−t令x=−2，则y=t+4∴D(−2,ty1由抛物线的对称性可知，若以线段DR为直径的圆过定点，则定点必在x轴上，设该点坐标为T(a,0)，则DT=(a+2,−ty1−8∴(a+2)∴(a+2)∴a=22−2或∴以DR为直径的圆过定点(22−2,0)和例6、（2023·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点.【解析】（1）由题意可知，离心率，抛物线的焦点为，即该椭圆的一个顶点为，故，故，所以椭圆C的方程为；（2）直线l的斜率存在且不为零，故设直线为，依题意，圆M：，圆心为，半径，由直线l与圆M：相切，得圆心到直线l的距离，化简得，即.设，联立方程，得，则，，故，则，故，即，故以为直径的圆经过坐标原点.例7、（2021·上海·高三专题练习）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)x(2)存在，定点M【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程；（2）直线l与椭圆联立即可求出点P的坐标,将x=4与直线l联立即可求出点Q的坐标，假设存在定点Mx0,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知MP⋅MQ【详解】（1）由椭圆的定义可知△，ABF2的周长为4a=8，即∵ca=1又∵a2=b故椭圆C的方程为：x2（2）将y=kx+mx24∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，∴Δ=∴4k此时xP=−4km∴P由y=kx+mx=4得Q假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，设Mx0,0MP=−4kMP整理得x0对任意实数m，k恒成立，则x0故在x轴上存在定点M1,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M例8、（2023·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆的离心率,所以,即.因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,所以,所以.所以椭圆的方程为.（2）因为直线的斜率存在且不为零.故设直线的方程为.由消去,得,所以设,则.所以.所以.①因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,整理,得,②将②代入①,得,显然以为直径的圆经过定点综上可知,以为直径的圆过定点.题型【三】、综合问题例9、（2024上·湖北孝感·高二应城市第一高级中学校联考期末）动点G到点的距离比到直线的距离小2.(1)求G的轨迹的方程；(2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，，长度恒为2.【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程.（2）联立直线与G的轨迹方程，求出点的坐标，同理可得点的坐标，再求出直线，并求出直线所过定点即可得解.【详解】（1）因为动点G到点的距离比到直线的距离小2，则点G到点的距离和它到直线的距离相等，因此点G的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设抛物线方程为（），由，得，所以G的轨迹的方程为.（2）显然直线的方程为，直线的方程为，其中，且，由消去y并整理得，该方程的判别式，设，，则，，点，同理，的斜率，直线的方程为，即，，所以，因此直线：过定点，又，则点D在以为直径的圆上，所以存在定点，使得线段的长度为定值2.【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，先求出这两个动点坐标，进而求出直线方程，即可推理计算解决问题.例10、（2024·四川·校联考模拟预测）已知定点，定直线，动点在曲线上.(1)设曲线的离心率为，点到直线的距离为，求证：；(2)设过定点的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)直线过定点，定点的坐标为.【分析】（1）根据条件直接求出及，代入化简即可证明结果；（2）设出直线的方程及点的坐标，联立直线与曲线的方程，再求出的方程，再利用曲线的对称性并结合韦达定理求解作答，即可求出结果.【详解】（1）由题