平面向量的概念高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章平面向量及其应用平面向量的概念[目标导航]课标要求1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,了解向量的实际背景,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段表示向量,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.素养达成通过平面向量的概念的学习,培养学生的数学抽象素养.1新知导学素养启迪1.向量的定义及表示(1)定义:既有

又有

的量叫做向量.(2)表示:①有向线段:具有

的线段叫做有向线段.它包含三个要素:

、

、

.大小方向方向起点方向长度②向量的表示:思考1:有向线段是向量吗?答案:向量可以用有向线段来表示,向量是既有大小又有方向的量,它与起点的位置无关,而有向线段不仅与方向、长度有关,还与起点的位置有关,有向线段只是一具体的几何图形,所以有向线段不是向量.2.两个特殊向量(1)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.(2)单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量,一般记作e.3.向量间的两种特殊关系(1)平行向量(共线向量):

的非零向量叫做平行向量,向量a与b平行,记作a∥b,规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.方向相同或相反(2)相等向量:

的向量叫做相等向量,向量a与b相等,记作a=b.思考2:零向量与实数0相等吗?答案:零向量是长度为0,方向任意的一个向量,与实数0不相等.长度相等且方向相同(1)由于向量具有方向,所以两个向量之间不能比较大小.向量只有相等与不相等之分,而无大小之分.(2)向量相等包含两层意思,一是两向量长度相等,二是两向量方向相同.(3)对平行向量(共线向量)的理解.①共线向量与平行向量是同一概念的不同名称,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,并规定零向量与任意向量平行.表示共线向量的有向线段所在的直线可以平行,也可以重合,所以“共线”“平行”的含义不同于平面几何中直线“共线”“平行”的含义;②共线向量有四种情况:方向相同且模相等,方向相同且模不相等,方向相反且模相等,方向相反且模不相等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.2课堂探究素养培育题型一向量的有关概念的辨析(3)0的长度为0,且方向是任意的;解:(3)根据零向量的概念,易知(3)正确.(4)任一非零向量都可以平行移动.解:(4)向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故(4)正确.概念性问题的判断方法对于向量的相关概念问题,关键是把握好概念的内涵与外延,对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚,如有向线段与向量,有向线段是向量的表示形式,并不等同于向量;单位向量只是从模的角度定义的,与方向无关;零向量的模为零,方向则是任意的.[变式与拓展1-1](1)在同一平面内,把所有长度为1的向量的始点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是(

)A.单位圆 B.一段弧C.线段 D.直线√解析:(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是单位圆.故选A.(2)下列结论正确的是(

)①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;③单位向量都是同方向的;④任意向量与零向量都共线.A.①② B.②③

C.②④ D.①④√解析:(2)长度为0的向量都是零向量,①正确;零向量的方向任意,故②错误;单位向量只是模都为1的向量,方向不一定相同,故③错误;任意向量与零向量都共线,④正确.故选D.题型二相等向量与共线向量相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线向量.(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.题型三向量模的问题求向量的模可以转化为求图形中线段的长度,向量的模与向量的方向无关,通过解直角三角形可以解决此类问题.√√1.下列结论正确的是(

)A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小√解析:向量不能比较大小,向量的模可以比较大小.故选D.√√(3)(4)解析:(1)两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以a与b有共线的可能,故(1)不正确.(3)零