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文档简介
北京卷2023-2024学年高三最后一模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为()A. B. C. D.2.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤3.如图,正四面体的体积为,底面积为,是高的中点,过的平面与棱、、分别交于、、,设三棱锥的体积为,截面三角形的面积为,则()A., B.,C., D.,4.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.若,的面积为,则()A.5 B. C.4 D.165.若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a5=16,a3a4=﹣32,则S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣857.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.8.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是()A.或 B. C. D.9.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.410.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为()A. B. C. D.11.已知,是两条不重合的直线,是一个平面,则下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则12.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是___________14.正四棱柱中,,.若是侧面内的动点,且,则与平面所成角的正切值的最大值为___________.15.正四面体的各个点在平面同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为__________.16.展开式中项的系数是__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,焦距为2,点为椭圆上异于、的点,且直线和的斜率之积为.(1)求的方程;(2)设直线与轴的交点为,过坐标原点作交椭圆于点,试探究是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.18.(12分)在三棱锥S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45∘,∠SAC=60°,D为棱AB的中点,SA=2(I)证明:SD⊥BC;(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.19.(12分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为.(1)求线段长的最小值;(2)求点的轨迹方程.21.(12分)已知为坐标原点,点,,,动点满足,点为线段的中点,抛物线:上点的纵坐标为,.(1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;(2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.22.(10分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值,可得选项.【详解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此类推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此类推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故选:B.【点睛】本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题.2、B【解析】
依题意,金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列,则,由此利用等差数列性质求出结果.【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为,设首项,则,公差,.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3、A【解析】
设,取与重合时的情况,计算出以及的值,利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示,利用排除法,取与重合时的情况.不妨设,延长到,使得.,,,,则,由余弦定理得,,,又,,当平面平面时,,,排除B、D选项;因为,,此时,,当平面平面时,,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.4、C【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选:C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.5、A【解析】
化简复数,求得,得到复数在复平面对应点的坐标,即可求解.【详解】由题意,复数z满足,可得,所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何表示方法,其中解答中熟记复数的运算法则,结合复数的表示方法求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.6、D【解析】
由等比数列的性质求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通过解该方程求得它们的值,求首项和公比,根据等比数列的前n项和公式解答即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,则,则,故选:D.【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和,根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键,属于基础题.7、D【解析】
设,利用余弦定理,结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设,由双曲线的定义可知:因此再由双曲线的定义可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此双曲线的渐近线方程为:.故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.8、C【解析】
设公差为,则由题意可得,解得,可得.令
,可得
当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.【详解】解:等差数列中,已知,且,设公差为,
则,解得
,.
令
,可得,故当时,,当时,,
故数列前项和中最小的是.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.9、C【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10、B【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形,且一侧棱垂直于底面,由此求出四棱锥的体积.【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形,且一侧棱垂直于底面,画出四棱锥的直观图,如图所示:则该四棱锥的体积为.故选:B.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题,是基础题.11、D【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解:选项A中直线,还可能相交或异面,选项B中,还可能异面,选项C,由条件可得或.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.12、C【解析】
联立方程解得M(3,),根据MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是边长为4的等边三角形,计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x轴的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选:C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先还原几何体,再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱,如图,底面为边长为的直角三角形,高为的棱柱,所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式,考查基本分析求解能力,属基础题14、2.【解析】
如图,以为原点建立空间直角坐标系,设点,由得,证明为与平面所成角,令,用三角函数表示出,求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图,以为原点建立空间直角坐标系,设点,则,,又,得即;又平面,为与平面所成角,令,当时,最大,即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题,考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题,一般是建立空间直角坐标,在动点坐标内引入参数,将最值问题转化为函数的最值问题求解,考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.15、【解析】
不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,根据题意F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,求得,再用余弦定理求得:,从而求得,再根据顶点A到面EDF的距离为,得到,然后利用等体积法求解,【详解】不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,如图所示:由题意得:F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,,顶点D到面ABC的距离为所以,由余弦定理得:,所以,所以,又顶点A到面EDF的距离为,所以,因为,所以,解得,故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象,运算求解的能力,属于难题,16、-20【解析】
根据二项式定理的通项公式,再分情况考虑即可求解.【详解】解:展开式中项的系数:二项式由通项公式当时,项的系数是,当时,项的系数是,故的系数为;故答案为:【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,注意分情况考虑,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)是定值,且定值为2【解析】
(1)设出点坐标并代入椭圆方程,根据列方程,求得的值,结合求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求得点的横坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得,由此化简求得为定值.【详解】(1)已知点在椭圆:()上,可设,即,又,且,可得椭圆的方程为.(2)设直线的方程为:,则直线的方程为.联立直线与椭圆的方程可得:,由,可得,联立直线与椭圆的方程可得:,即,即.即为定值,且定值为2.【点睛】本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法,考查椭圆中的定值问题的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.18、(I)证明见解析;(II)1【解析】
(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到证明.(II)过点D作DF⊥SE于F,证明DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,计算夹角得到答案.【详解】(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据角度的垂直关系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根据余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD⊂平面SED,故SD⊥BC.(II)过点D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF⊂平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【点睛】本题考查了线线垂直,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19、矩阵属于特征值的一个特征向量为,矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程组,即可求得相应的特征向量.【详解】由题意,矩阵的特征多项式为,令,解得,,将代入二元一次方程组,解得,所以矩阵属于特征值的一个特征向量为;同理,矩阵属于特征值的一个特征向量为v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算,其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.20、(1)(2)【解析】
(1)将曲线的方程化成直角坐标方程为,当时,线段取得最小值,利用几何法求弦长即可.(2)当点与点不重合时,设,由利用向量的数量积等于可求解,最后验证当点与点重合时也满足.【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心,半径,曲线为过定点的直线,易知在圆内,当时,线段长最小为当点与点不重合时,设,化简得当点与点重合时,也满足上式,故点的轨迹方程为【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线
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