最短路径问题教学设计

13.4课题学习最短路径问题〔第1课时〕一、教学内容分析本节课是人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》的课题学习，在学习了三角形、全等三角形及轴对称这三章后，学生全面掌握了轴对称这一特殊全等形，从而具备了解决本课问题的知识根底。课题学习中，总共提出了两个问题，分别利用轴对称和平移解决，第1课时准备解决第一个问题。二、教学目标分析数学来源于生活，因此，要让学生会将生活中的实际问题转化成数学问题，用数学中的图形、符号来表示生活中的实例。同时，根据本节课的要求，能够利用轴对称来解决此类问题。基于以上考虑，确定本节课的教学目标和重难点如下：1、能够将实际问题转化成数学问题，完成具体到抽象的转换；2、能利用轴对称解决简单的最短路径问题；3、通过具体实例感受数学来源生活、效劳生活，调动学生的数学学习兴趣，培养学生的数学应用意识。重点：利用轴对称解决两条线段和最短问题难点：如何把问题转化成“两点之间，线段最短”三、教学过程设计1、知识储藏轴对称性质，跟“最短”有关的定理“两点之间，线段最短”，“点到直线的所有连线中，垂线段最短”。如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，到河边的什么地方最近？假设牧马人从A地出发，淌过笔直的小河l到另一边的B地，怎样的路径最短？【设计意图】让学生回忆旧知，为解决问题准备好称手的工具。2、问题铺垫如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、B的距离和最短？容易寻找到方法：连接AB，与直线l的交点即为所求，根据“两点之间，线段最短”可证明。【设计意图】从已有知识出发，给出一个解决问题的根底。3、情景导入如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？转换成数学问题：如图，把河边l近似地看成一条直线，在直线l上寻找一处点C，使得AC+BC的和最小。解决上述问题，困难在于所学的与“最短”有关的定理均为一条线段最短，而本问题中要求两条线段和最短，那么，化两条线段和为一条线段那么成为解决问题的关键。【设计意图】会用数学图形和符号将实际问题抽象成数学问题，以方便我们使用数学工具来解决。4、问题转化把已经解决的问题与待解决的问题对照，发现不同之处仅在于“同侧”和“异侧”，那么，如何转化呢？我们已经解决了当点A和点B在直线l异侧时，找到直线上的点C，使得AC+BC和最小，能否在直线l另一侧寻求到一个点B’，使得B’C=BC，就只需要找到直线上的点C，使AC+B’C的和最小即可。这样的点B’怎么找？既然要求点C到B和B’的距离相等，说明点C一定在线段BB’的垂直平分线上，即直线l应是线段BB’的垂直平分线。那么，引导学生联想到轴对称知识，作出点B关于直线l的对称点B’，正是我们所需要的转化。下面我们只需要寻找点C，使A、B’之间的距离最短，与前一个问题解决方法相同。【设计意图】利用轴对称知识，将新问题转化成已经解决的问题5、证明合理作点B关于直线l的对称点B’，连接A、B’，得到与l的交点C，那么点C即为所求的点，为了证明AC+BC最短，我们在直线l上另取一点C’，再连接AC’、B’C’、BC’，如下图：证明：由轴对称性质得BC=B’C，BC’=B’C’在△AB’C’中，由两边之和大于第三边，得AC’+B’C’>AB’即AC’+B’C’>AC+B’C∴AC’+BC’>AC+BC即AC+BC最短。【设计意图】用标准的几何语言证明解决问题的科学性。6、课堂小结通过本节课的学习，如何解决两条线段的和最短问题，你学到了什么方法？【设计意图】：及时的总结利于学生对所学知识的掌握。四、作业设计评讲1、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，那么应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？2、如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.3、如图，点A是∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小.五、教学反思点评在从异侧两点路径最短的问题过渡到同侧两点路径最短的问题时，略显不自然，如果此处由教师给出轴对称的作法及证明，学生经过练习也能熟练完本钱课作业，但是知识未经消化，属于灌输，假设在九年级几何综合中，容易导致找不到思路的情况，因此，如何将利用轴对称解决最短路径问题由学生思考自然生成，是本节课的一个难点，也是组内老师们讨论最剧烈的评课话题。方法一：事先在几何画板中作出点B与它关于直线l的对称点B’，然后让学生观察拖动点C时，测量数据的变化情况，发现当A、C、B’三点共线时，路径最短。优点是较容易让学生联想到轴对称，并利用轴对称来转化问题，缺点是仍然显得生硬，学生会有疑问：为什么是轴对称？方法二：逐步引导学生，先让学生思考同侧两点中，能否将其中一点转换到直线另一侧，并提出要求，转换过去的点与原来的点，到直线l上任意一点的距离相等，假设学生仍然存在疑问，那么进一步引导，到两点距离相等的点，都在这两点连线的垂直平分线上，而这条直线就是l，从而引出作轴对称点。优点是照顾了全体学生，能够有效引导学生思考，促进学生将轴对称知识的应用消化掉，缺点是耗时较多，有可能会影响整节课的进度，对教师的教学语言要求比拟高。关于尺规作图在本节课中的使用，教材没有提出要求，只要求能够用绘图工具完成即可，但个人认为，尺规作图作为标准几何作图，其实质并不在于仅仅作出图形，而是通过作图，培养学生正确认知几何图形之间的几种常用变换如旋转、平移、轴对称，从后续学段的教学来看，尺规作图掌握较好的学生，在九年级学习这几大几何变换时，优势非常明显，他们对图形的认知层次也较深，尽管本节课中并未要求尺规作图，但坚持使用的学生往往在解决问题时显得游刃有余，这又是另一个值得深思的问题。从学生反应的作业情况来看，作业的第1题第〔1〕小题出现了局部学生遗忘尺规作图的情况，简单的作线段垂直平分线，多数学生不会作，而第〔2〕小题完成情况较好，多数学生能够准确绘出图形。第2题只有少数学生能够作出图形，因为此题中有两个点需要作对称点，难度较高，如果在课堂上没有消化用轴对称解决最短路径问题的方法，那么就会出现找不到思路的情况，同样的第3题是将同一个点作关于不同直线的对称点，难度也高于课本问题，完成情况同样不理想，因此，本节课的教学目标只能说根本完成，而不能称之为圆满完成，是比拟遗憾的事。由于上课是在十中这个特殊的学生群体中，因此，对本节课的教学目标也存在一个标高的问题，按教材的要求，学生能够独立完成模仿作图，并解决类似课本的问题，是第一层，能够理解轴对称在解决问题中的意义，并且能够完成课本习题中的拓广探索，是第二层，能够熟练应用轴对称在几何、函数综合