解三角形练习题一参考答案

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第一章解三角形练习题一参考答案

学号

一、选择题：

1、已知△ABC的三个内角之比为A：B：C＝3：2：1，那么对应的三边之长a：b：c等于(D)

A．3：2：1B.：2：132：1

D．23：1

a＋b＋c

2、在△ABC中，A＝60，a，那么等于(B)

sinA＋sinB＋sinC

823A.B.C.D．23

3333、在△ABC中，假设b＝2asinB，那么A等于(D)

A．30或60B．45或60C．60或120D．30或150cosAbcosBc

4、在△ABC中，假设，且＝，那么△ABC是(D)

cosBacosCb

A．直角三角形

B．等腰三角形D．正三角形

C．等腰三角形或直角三角形

cosAbπcosBcπ

解析:由＝A＝B或A＋B＝；由＝B＝C或B＋C＝∴A＝B＝C，即△ABC为正三角形．

cosBa2cosCb2→→

5、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，那么ABAC(C)

3232

A．－B．－C.D.2323

AB2＋AC2－BC29＋4－101→→→→13

解析:由余弦定理，得cosA＝＝＝∴ABAC＝|AB||AC|cosA＝322ABAC124426、在△ABC中，假设sin∠A＞sin∠B，那么∠A与∠B的大小关系为(A)

A．∠A＞∠BC．∠A≥∠B

B．∠A＜∠B

D．∠A、∠B的大小关系不能确定

asinA

解析：由正弦定理sinA＞sinB，∴a＞b，又在三角形中大边对大角，∴∠A＞∠B.

bsinB7、在△ABC中，假设a7,b3,c8，那么其面积等于〔D〕

A．12B．

21

C．28D．632

8、已知A船在灯塔C北偏东85且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北25且B到

C的距离为

，那么A,B两船的距离为〔D〕

A．

B．

C

D9、在△ABC中，关于*的方程(1＋*2)sinA＋2*sinB＋(1－*2)sinC＝0有两个不等的实数根，那么A为(A)

A．锐角B．直角C．钝角D．不存在

解析：把已知方程整理得(sinA－sinC)*2＋2sinB*＋(sinA＋sinC)＝0∴Δ＝4sin2B－4(sinA－sinC)(sinA＋sinC)0，即sin2B＋sin2C－sin2A0.

∴b2＋c2－a20，∴cosA0，可知A为锐角．

10、台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的时间为〔B〕A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时

二、填空题：

11、在ABC中,

假设bcA120,那么ABC的外接圆的半径为_________.

12、三角形一边长为14，它对的角为60，另两边之比为8：5，那么此三角形面积为__40___．64*2＋25*2－142解析:设另两边长为8*和5*，那么cos60＝*＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为

28*5*1

S＝1610sin60＝402

7

13、在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，三角形面积为12，那么cos2C＝______.

25

327113

解析:S＝BCsinC＝58sinC＝12，∴sinC＝∴cos2C＝1－2sin2C＝1－25＝25225

14、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a＝2，b＝2，sinB＋cosB2，那么角A的大π

小为________．

6

πππ5πB＋＝2，∵0Bπ，∴B＋，∴B＝解析:sinB＋cosB＝2sin44444ba1π

又∵＝，∴sinA＝∵ab，∴AB，故A＝sinBsinA26三、解答题：

15、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B

〔Ⅰ〕求sinC的值；〔Ⅱ〕求ABC的面积.

【解析】此题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算技能．

〔Ⅰ〕∵A、B、C为△ABC的内角，且B

西

4

，cosA

4

,b5

4

,cosA

4，5

C∴

33

A,sinA，

45

∴sinCsin

3

.AAA

43，,sinC

510

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知

sinA

B又∵

∴a

4

,b在△ABC中，由正弦定理，得

bsinA.

sinB5

∴△ABC的面积S

1163absinC.221050

16、(2022全国卷Ⅰ理，17)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满意a＋b＝acotA＋bcotB，求内角C.【解析】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用．结论所求为角，故将条件中的边利用正弦定理化为角后再化简即可．

由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，

ππππ

从而sinAcoscosAsincosBsin－sinBcos

4444ππ

A－＝sin－B，sin44又0A＋Bπ，

ππππ故A－＝－B，A＋B＝C＝.

4422

17、在ABC中，已知acB600，求b及A【解析】∵b2a2c22accosB

=222cos450=1221)=8∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a21

,⑵解法一：∵cosA

∴A600.

asin450,

解法二：∵

sinAsinB2.41.4

3.8,

21.83.6,

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A600.

评述：解法二应留意确定A的取值范围。

2*

18、(2022重庆理，16)设函数f(*)＝cos(*＋2cos2*∈R.

32

(1)求f(*)的值域；

(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，假设f(B)＝1，b＝1，c＝3，求a的值．【解析】此题考查了三角函数的化简求值及解斜三角形的有关知识对于(1)先把f(*)化简为Asin(ω*＋φ)的形式，再进行求值，(2)问可先求出B的值再利用余弦定理解决．

22

(1)f(*)＝cos*cosπ－sin*sin＋cos*＋1

3313

＝－*－*＋cos*＋1

2213

＝cos*－sin*＋1225π

＝sin(*＋)＋1.

6因此f(*)的值域为[0,2]．

5π5ππ

(2)由f(B)＝1得sin(B＋)＋1＝1，即sin(B＋＝0，又因0Bπ，故B＝.

666由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.

第一章解三角形练习题一参考答案

学号

一、选择题：

1、已知△ABC的三个内角之比为A：B：C＝3：2：1，那么对应的三边之长a：b：c等于(D)

A．3：2：1B.：2：132：1

D．23：1

a＋b＋c

2、在△ABC中，A＝60，a，那么等于(B)

sinA＋sinB＋sinC

823A.B.C.D．23

3333、在△ABC中，假设b＝2asinB，那么A等于(D)

A．30或60B．45或60C．60或120D．30或150cosAbcosBc

4、在△ABC中，假设，且＝，那么△ABC是(D)

cosBacosCb

A．直角三角形

B．等腰三角形D．正三角形

C．等腰三角形或直角三角形

cosAbπcosBcπ

解析:由＝A＝B或A＋B＝；由＝B＝C或B＋C＝∴A＝B＝C，即△ABC为正三角形．

cosBa2cosCb2→→

5、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，那么ABAC(C)

3232

A．－B．－C.D.2323

AB2＋AC2－BC29＋4－101→→→→13

解析:由余弦定理，得cosA＝＝＝∴ABAC＝|AB||AC|cosA＝322ABAC124426、在△ABC中，假设sin∠A＞sin∠B，那么∠A与∠B的大小关系为(A)

A．∠A＞∠BC．∠A≥∠B

B．∠A＜∠B

D．∠A、∠B的大小关系不能确定

asinA

解析：由正弦定理sinA＞sinB，∴a＞b，又在三角形中大边对大角，∴∠A＞∠B.

bsinB7、在△ABC中，假设a7,b3,c8，那么其面积等于〔D〕

A．12B．

21

C．28D．632