2018-2019年度江苏省苏州市张家港市九年级(上)期末数学试卷-解析版

2018-2019学年江苏省苏州市张家港市九年级（上）期末数学试

卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只

有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把你认为正确的答案对应的字母涂黑

1.（3分）抛物线y=7+3与y轴的交点坐标为（）

A.（3,0）B.（0,3）C.（0,后D.（遮，0）

2.（3分）已知言=2,则工业的值是（）

ba

3.（3分）如图，是△A8C的外接圆，ZA=50°,则N50C的度数为（

A.40°B.50°C.80°D.100°

4.（3分）如图，已知Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,tanA=；,则8C的长是（

)

C.275D.4A/5

5.（3分）若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=7的图象（）

A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

6.（3分）如图，在△ABC中，点。，E分别为边A8,AC上的点，S.DE//BC,若

4,BD=8,AE=2,则CE的长为(

7.（3分）如图，△QEP和△ABC是位似图形，点。是位似中心，点。，E,歹分别是04,

OB,0C的中点，若△OEP的周长是2,则△ABC的周长是（）

A.2B.4C.6D.8

8.（3分）如图，港口A在观测站。的正东方向，。4=4由z,某船从港口A出发，沿北偏

东15。方向航行一段距离后到达8处，此时从观测站。处测得该船位于北偏东60。的

方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为（）

A.4y/^kmB.（^/3+1）kmC.2（5/^+1）kmD.（^/^+2）km

9.（3分）如图，已知等腰△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点。，过点。的

。。的切线交8c于点E,若CD=4^,CE=8,则。。的半径是（）

10.（3分）如图，在△A8C中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,尸是AB边上一动点，PD

_LAC于点。，点E在P的右侧，且PE=1,连接CE,P从点A出发，沿45方向运动，

当E到达点8时，尸停止运动，设尸£>=无，图中阴影部分面积Si+S2=y，在整个运动过

程中，函数值y随X的变化而变化的情况是（）

A.一直减小B,一直增大

C.先减小后增大D,先增大后减小

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卷相应的横

线上

11.（3分）抛物线y=-（x-4）2+2的最大值为.

12.（3分）已知扇形的半径为4c7",圆心角为120°,则扇形的弧长为cm.

13.（3分）如图，在△ABC中点。，E分别在AB,AC上，DE//BC,若S"OE=1，S四边

形DBCE=8,则AD：AB=.

14.（3分）如图，AABC+，AE交BC于点。，/C=NE,4。=3,DE=5,BD=4,则

DC的长等于.

15.（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△ABC的每个顶点都在

格点上，则cosNBAC=.

16.（3分）如图，双曲线y=一与抛物线y=G；2+bx+c交于点A（修，力），B（&，>2），

x

C（X3,为），由图象可得不等式组0<k<ax2+bx+c的解集为.

x

17.（3分）如图，是。。的直径，PA,PC分别与。。相切于点AC,若NP=60°,

PA=V际，则图中阴影部分的面积为.

18.（3分）已知抛物线y=af+6x+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表

X…-2-10123n

y…830-1m38

有以下几个结论:

①抛物线y=ax+bx+c的开口向上；

②抛物线y—ajC+bx+c的对称轴为直线x=-1；

③方程ax+bx+c=G的根为0和2；

④当y>8时，x的取值范围是尤<-2或x>4.

其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）.

三、解答题：（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答

时应写出必要的计算过程推演步骤或文字说明）

19.（5分）计算：2sin30°+cos45°-J^tan60°.

20.（5分）已知二次函数的表达式为：y=x2-6x+5,

（1）利用配方法将表达式化成y=a（x-h）2+左的形式；

（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.

21.（6分）在RtaABC中，NC=90°,c=4,。=2E，解这个直角三角形.

22.（6分）如图，A8是。。的直径，AC是。。的弦，NACB的平分线交于点。，若

23.(8分)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ABLBC,点E在AB上，NDEC=9Q°.

(1)求证：LADEsABEC.

(2)若AO=1,8C=3,AE=2,求AB的长.

24.（8分）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示

（图中地面与通道平行），通道水平宽度BC为8米，ZBCD=135°,通道斜

面C。的长为6米，通道斜面的坡度i=l：V2.

（1）求通道斜面A8的长；

（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道

斜面DE的坡角为30°,求此时8E的长.（答案均精确到0.1米，参考数据：、历心1.41,

灰弋2.24,遍心2.45）

AD

BEC

25.（8分）小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但

是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低,

若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？

（3）如果增种的桃树龙（棵）满足：20WxW50,请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产

量最少是多少千克，最多又是多少千克？

26.（10分）如图，RtAABCtf，ZABC=90°,以AB为直径作O。，点D为上一点,

且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.

（1）判断直线CD与O。的位置关系，并说明理由；

27.（10分）如图，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0）,与y轴交于点C,抛物线y

=-x+bx+c经过点A,C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PELx轴于点

E,交线段AC于点D

①如图1,过。作DFLy轴于点尸，交抛物线于N两点（点M位于点N的左侧），连

接£孔当线段跖的长度最短时，求点尸，M,N的坐标;

3

28.(10分)如图1,直线/：y=-彳x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点、

C是线段0A上一动点(0<AC<毕).以点A为圆心，AC长为半径作OA交尤轴于另

5

一点。，交线段于点E,连结。£并延长交OA于点F.

(1)求直线/的函数表达式和tanZBAO的值；

(2)如图2,连结CE,当CE=EF时，

①求证：XOCEsXOEk；

②求点E的坐标；

(3)当点C在线段0A上运动时，求OE•斯的最大值.

2018-2019学年江苏省苏州市张家港市九年级（上）期末

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只

有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把你认为正确的答案对应的字母涂黑

1.（3分）抛物线y=7+3与y轴的交点坐标为（）

A.（3,0）B.（0,3）C.（0,后D.（«,0）

【分析】通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线y=J+3与y轴的交点坐标.

【解答】解：当尤=0时，y=x2+3=3,

所以抛物线y=f+3与y轴的交点坐标为（0,3）.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足

其解析式.

2.（3分）已知号=2,则工也的值是（）

ba

32

AA.—BD.—C.-D.--

2322

【分析】依据9=2,即可得到a=26,进而得出包也的值.

ba

【解答】解：•••目=2,

b

：・a=2b,

.a+b_2b+b=3

“二一2b—2'

故选：A.

【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积.

3.（3分）如图，是△ABC的外接圆，ZA=50°,则N50C的度数为（

A.40°B.50°C.80°D.100°

【分析】由O。是AABC的外接圆，NA=50°,根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得/80C的度数.

【解答】解：：0。是△ABC的外接圆，NA=50°,

.\ZBOC=2ZA=100°.

故选：D.

【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

4.（3分）如图，己知RtaABC中，/C=90°,AC=4,tanA=g,则8C的长是（

)

C.2-75D.4V5

【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA=整，代入求出即可.

AC

【解答】解：•••tanA=]=%，AC=4,

：.BC=2f

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在RtZ\AC5中，ZC=90°,sinA=

NA的对边_NA的邻边_NA的对边

斜边'c一斜边'ZA5§W

5.（3分）若要得到函数y=（尤+1）2+2的图象，只需将函数y=7的图象（）

A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论.

【解答】解：：抛物线y=（X+1）2+2的顶点坐标为（-1,2）,抛物线＞=/的顶点坐标

为（0,0）,

.•.将抛物线y=W先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=

（x+1）.2.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键.

6.（3分）如图，在AABC中，点。，E分别为边AB,AC上的点，且DE〃BC,若AO=

4,BD=8,AE=2,则CE的长为（）

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【解答】'JDE//BC,

.AD=AE

,•瓦—K

.4=2

"8EC'

：.EC=4,

故选：C.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识.

7.（3分）如图，△。跖和△ABC是位似图形，点。是位似中心，点。，E,尸分别是。4,

OB,OC的中点，若的周长是2,则△ABC的周长是（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】先根据三角形中位线的性质得到。£=如3,从而得到相似比，再利用位似的性质

得到ADEFsADBA,然后根据相似三角形的性质求解.

【解答】解：：点。，E分别是。4,02的中点，

：.DE=^AB,

'：ADEF和XkRC是位似图形，点。是位似中心，

.•△DEFs^DBA,

.ADEF的周长_1

■△皿。的周长一彳'

，△ABC的周长=2X2=4.

故选：B.

【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于

一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

8.（3分）如图，港口A在观测站。的正东方向，OA=4km,某船从港口A出发，沿北偏

东15。方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站。处测得该船位于北偏东60。的

方向，则该船与观测站之间的距离（即。8的长）为（）

北

A.4y[^kmB.（5/3+I）kmC.2（V^+1）kmD.（1/3+2）km

【分析】过点A作于。.先解Rt^AO。，得出A。，OD,再由△ABO是等腰直角

三角形，得出BD=AD=2,于是得到结论.

【解答】解：如图，过点A作AOLO8于。.

在RtZXA。。中，V90°,ZAOD^30°,04=4,

：.AD=^-0A^2,。。=金0A=2«,

22

在中，VZADB=90°,ZB=ZCAB-ZAOB=75°-30°=45°,

：.BD=AD^2,

：.0B=OD+BD=2A/3+2,

即该船与观测站之间的距离（即02的长）为（273+2）km.

故选：C.

北

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三

角形是解题的关键.

9.（3分）如图，已知等腰△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点O,过点。的

OO的切线交8c于点E,若CO=W^，CE=8,则。。的半径是（）

C

【分析】由题意可得。ELEC,由勾股定理可得。E=4,根据锐角三角函数可求。2的长,

再根据勾股定理可求AB的长，即可求。。的半径.

【解答】解：如图，连接。。，BD,

是切线，

：.OD±DE,

'：AB是直径，

AZADB=9Q,且AB=BC,

：.AD=CD=4^S.AO=OB,

J.DO//BC,S.DE±OD,

C.DELEC,

DE=A/CD2-CE2=V80-64=4,

BDDE4

.tanC="-

CDEC8

:*BD=2辰,

•■•^=VAD2+DB2=10>

AOA=5

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，灵活

运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

10.(3分)如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,尸是A8边上一动点，PD

于点。，点E在尸的右侧，且尸石=1,连接CE,P从点A出发，沿方向运动，

当E到达点8时，尸停止运动，设尸。=无，图中阴影部分面积1+S2=y,在整个运动过

程中，函数值y随x的变化而变化的情况是()

A.一直减小B,一直增大

C.先减小后增大D.先增大后减小

【分析】设AB边上的高为/?,想办法求出A。、h,构建二次函数，利用二次函数

的性质解决问题即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，-：ZACB=90°,AC=4,BC=2,

.,.AB=、AC，BC2=2粕

,设PO=x,A8边上的高为/?,

,__AC>BC_4^5

AB一-5~,

,JPD//BC,

：.AADP^^ACB

.PDAD

,，BC^AC，

.\AD=2xfAP=y[^x,

22

；.Si+S)=±・2x・x+^(275-1-岳).i2/^=x-2r+4-(%-1)+3-

22555

当0<x<l时，S1+S2的值随x的增大而减小，

当1—时，S]+S2的值随X的增大而增大.

故选：C.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理

等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考

常考题型.

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卷相应的横

线上

11.（3分）抛物线y=-（x-4）2+2的最大值为2.

【分析】根据二次函数的性质求解可得.

【解答】解：Va=-1<0,

二函数y=-（x-4）?+2在尤=4时取得最大值2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.

12.（3分）已知扇形的半径为4cm圆心角为120。，则扇形的弧长为

【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长.

120KX48

【解答】解：/扇形

180铲‘

则扇形的弧长二全。".

故答案为：~TT.

【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式.

13.（3分）如图，在△ABC中点。，E分别在AB,AC上，DE//BC,若S"OE=1，S四边

形DBCE=8,贝IJA£)：AB=1：3

【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案.

【解答】解：・.・。石〃3C,

・・・AADE^AAEC,

S^ADE(AD)2

SAABC研

•,^AADE=1»S四边形O3CE=8,

S"BC=9,

.SAADE_1

,△ABC9

.AD

••咫'与'

故答案为：1：3.

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于

基础题型.

14.（3分）如图，△ABC中，AE交BC于点。，ZC=ZE,AD=3,DE=5,BD=4,则

DC的长等于牛.

4

E

【分析】判断出△AQCS^BOE,得出比例式即可求出CD

【解答】解：•.,NAOCn/BOE,/C=NE,

：.AADC^ABDE,

.AD=CD

',丽―西

VAD=3,DE=5,3D=4,

.3CD

45

：.CD=^-,

4

故答案为与15.

4

【点评】此题是相似三角形性质和判定，主要考查了线段的比，相似三角形的性质和判定,

解本题的关键是判断出△AOCsABDE.

15.（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,ZsABC的每个顶点都在

格点上，则cos/BAC=

5~

【分析】如图，取格点5连接EC.利用勾股定理的逆定理证明NAEC=900即可解决问

题.

【解答】解：如图，取格点石，连接EC.

易知AE=&,AC=^/73，EC=2近,

AAC2=AE2+EC2,

ZAEC=90°,

【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

16.（3分）如图，双曲线y=K与抛物线丁=〃/+法+。交于点A（xp月），B（x2,必），

x

C（x3,>3），由图象可得不等式组O〈K<ax，版+C的解集为—九2<%<%3—.

X-

【分析】根据函数图象写出％轴上方且抛物线在双曲线上方部分的工的取值范围即可.

【解答】解：由图可知，刀2<%<%3时，OV^Vaj+bx+c,

X

所以，不等式组0<生<。/+/?l+。的解集是x2<x<x^.

故答案为：x2<x<x3.

【点评】本题考查了二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解

更简便.

17.（3分）如图，是。。的直径，PA,PC分别与。。相切于点AC,若NP=60°,

PA=M，则图中阴影部分的面积为三+0.

【分析】连接OP、0C,。尸交AC于0,如图，根据切线的性质和切线长定理得到/。4尸

=ZOCP=90°,/APO=30°,易得△PAC为等边三角形，所以4。=尸4=正，PQL

AC,接着计算出OA、OQ,然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形BOC+S

△04C进行计算.

【解答】解：连接。尸、OC,OP交AC于Q,如图，

'：PA,PC分别与。。相切于点AC,

：.OA±AP,。尸平分/APC,PA=PC,

：.ZOAP^ZOCP^90°,ZAPO=-ZAPC=-^X60°=30°,

22

易得△PAC为等边三角形，

：.AC=PA=^/3,PQLAC,

在RtAOPA中，OA=®PA=\,

3

在RtzXAO。中，。。=段。4=/，

..•图中阴影部分的面积=S扇形BO4s△0.=处署2

3604/b4

故答案为:+4.

64

B

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了扇形面积公式.

18.（3分）已知抛物线y=av2+°x+c上部分点的横坐标尤与纵坐标》的对应值如下表

X…-2-10123n

y…830-1m38

有以下几个结论：

①抛物线y=ax+bx+c的开口向上；

②抛物线y—a）C+bx+c的对称轴为直线尤=-1；

③方程ax+bx+c=G的根为。和2；

④当y>8时，x的取值范围是尤<-2或x〉4.

其中正确的结论是③④（把你认为正确结论的序号都填上）.

【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题

得以解决.

【解答】解：由表格可知，

抛物线的对称轴是直线尤=甘~=1,故②错误，

抛物线的顶点坐标是（1,-1）,有最小值，故抛物线y=o?+6x+c的开口向上，故①错误,

当y=0时，x=0或尤=2,故方程o^+Zw+c的根为0和2,故③正确，

当y>8时，尤的取值范围是尤<-2或x>4,故④正确，

故答案为：③④.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，

解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

三、解答题：（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答

时应写出必要的计算过程推演步骤或文字说明）

19.（5分）计算：2sin30°+cos45°-\^3tan60°.

【分析】先将特殊锐角三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得.

【解答】解：原式=2吟+声-盯><6

_1+V2&

2

=-2+^-.

2

【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及熟

记特殊锐角的三角函数值.

20.（5分）己知二次函数的表达式为：y—x1-6x+5,

（1）利用配方法将表达式化成y=a（尤-/?）2+左的形式；

（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.

【分析】（1）首先把x2-6x+5化为（x-3）2-4,然后根据把二次函数的表达式-

6x+5化为y=a（x-h'）?+左的形式；

（2）利用（1）中抛物线解析式直接写出答案.

【解答】解：（1）y=7-6x+9-9+5=（尤-3）2-4,即y=（x-3）2-4；

⑵由（1）知，抛物线解析式为y=（尤-3）2-4,

所以抛物线的对称轴为：x=3,顶点坐标为（3,-4）.

【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法.

21.（6分）在Rt^ABC中，ZC=90°,c=4,a=2y/s，解这个直角三角形.

【分析】利用勾股定理可求出6=2,结合c=4可得出b=呆进而可得出入8=30°,ZA

=60°.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,c=4,a=2«,

：.b=«c2_&2=2,

...,p1=­c,

2

.\ZB=30°,ZA=60°.

【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出6值，找出b=/c是

解题的关键.

22.（6分）如图，AB是。。的直径，AC是。。的弦，NACB的平分线交O。于点。，若

AB=10,求8。的长.

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得NACB=/ADB=90°,再根据角平分线的定义

可得然后求出AO=8。，再根据等腰直角三角形的性质其解即可.

【解答】解：如图，连接A。，

'.♦AB是。。的直径，

AZACB=ZADB=90°,

1/ZACB的平分线交。。于点D,

:./DCA=/BCD,

AD=BD>

：.AD^BD,

：.在RtAABD中,AD=BD=与AB=与X10=5®,

即BD=5y[2-

【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是得出△A3。是等腰直角三角形.

23.(8分)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ABLBC,点E在AB上，ZDEC=9Q°.

(1)求证：LADEsLBEC.

(2)若AZ)=1,BC=3,AE=2,求AB的长.

【分析】（1）由A0〃3C、可得出NA=N3=90°,由等角的余角相等可得出N

ADE=NBEC,进而即可证出△AOESABEC；

（2）根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合A3=AE+8E即可求出A3的长度.

【解答】（1）证明：・・・AZ）〃3C,AB±BCf

：.AB.LAD,ZA=ZB=90°,

AZADE+ZAED=90°.

VZDEC=90°,

ZAE£>+ZBEC=90°,

・•・ZADE=ZBEC,

：.AADEsABEC.

（2）解：,:AADEsABEC,

.BEBCnnBE3

ADAE12

7

<AB=AE+BE=L.

2

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利

用相似三角形的判定定理找出△ADES^BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE的

长度.

24.（8分）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示

（图中地面A£）与通道8c平行），通道水平宽度8C为8米，ZBC£）=135°,通道斜

面C。的长为6米，通道斜面A3的坡度i=l：V2.

（1）求通道斜面AB的长；

（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道

斜面。E的坡角为30°,求此时8E的长.（答案均精确到0.1米，参考数据：血心1.41,

【分析】（1）过点A作于点N,过点。作。于点解RtZ\CMD,得出

DM=CM=与CD=3®则AN=Z）M=3j，，再解RtZVINB,由通道斜面AB的坡度i

=1：版,得出BN=&4N=6,然后根据勾股定理求出A3；

（2）先解RtzXMEO,求出£M=J3Z）M=3加，邨么EC=EM-CM=3代-3近,再根据

BE=BC-EC即可求解.

【解答】解：（1）过点A作ANLC8于点N,过点。作。于点M,

VZBCD=135°,

/.ZDCM=45°.

:在Rt^CMZ）中，ZCMD=90°,CD=6,

:.DM=CM=^~CD=3近,

:.AN=DM=3。

:通道斜面A8的坡度i=l：&，

tan/ABN=¥^=4=",

BNv2

：.BN=y[2AN=6,

百肃=3加仁74

即通道斜面AB的长约为7.4米；

(2)•.•在RtZ\ME£>中，/EMD=90°,ZDEM=30°,DM=3®

：.EM=4^DM=3娓,

:.EC=EM-CM=3娓-3班,

:.BE=BC-EC=8-(3遥-3折=8+36-3遥打4.9.

即此时BE的长约为4.9米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准

确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

25.（8分）小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但

是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低,

若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？

（3）如果增种的桃树x（棵）满足：204W50,请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产

量最少是多少千克，最多又是多少千克？

小y（千克）

【分析】（1）函数的表达式为了=依+》，把点（12,74）,（28,66）代入解方程组即可.

（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值.

（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题.

【解答】解：（1）设函数的表达式为了=日+从该一次函数过点（12,74）,（28,66）,

,Bfl2k+b=74

l28k+b=66

眸得产》5.

lb=80

:.该函数的表达式为y=-0.5x+80；

（2）根据题意，得，

(-0.5x+80)(80+x)=6750,

解得，无i=10,X2=70

..•投入成本最低.

.,・刀2=70不满足题意，舍去.

・••增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克;

(3)根据题意，得

w=(-0.5x+80)(80+x)

=-0.5f+40x+6400

=-0.5(x-40)2+7200

\'a=-0.5<0,则抛物线开口向下，函数有最大值，

：20WxW50,

当x=20时，w最小值=5400依；

当x=40时，w最大值为7200千克.

桃园的总产量最少是5400千克，最多又是7200千克.

【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是

熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题

型.

26.(10分)如图，RtA4BC中，NABC=90°,以AB为直径作O。，点。为上一点，

且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.

(1)判断直线8与O。的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.

【分析】(1)欲证明C。是切线，只要证明利用全等三角形的性质即可证明；

(2)设。。的半径为人在RtZXOBE中，根据。石2=班2+。82,可得(8-r)2=r2+42,推

出r=3,由tan/E="~="，推出可得CD=BC=6,再利用勾股定理即可

解决问题；

【解答】(1)证明：连接OC.

D

'：CB=CD,CO=CO,OB=OD,

.'.△OCB^AOCD,

：.ZODC=ZOBC=90°,

：.OD±DC,

•..OC是o。的切线.

(2)解：设O。的半径为r.

在RtAOBE中，,/OE2=EB2+OB2,

：.(8-r)2=r2+42,

r=3,

.3__CD

,,丁

：.CD=BC=6,

2

在RtAABC中，AC=^AB+BC2=Ay62+62=

【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角二角函数等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

27.（10分）如图，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0）,与y轴交于点C,抛物线y

=-jC+bx+c经过点A,C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点尸作PE_Lx轴于点

E,交线段AC于点D

①如图1,过。作轴于点尸，交抛物线于M,N两点（点M位于点N的左侧），连

接斯，当线段所的长度最短时，求点尸，M,N的坐标；

②如图2,连接C。，若以C,P,。为顶点的三角形与△AOE相似，求△CPZ）的面积.

【分析】（1）将点A的坐标分别代入直线和抛物线表达式，即可求解；

（2）①四边形。£。尸为矩形，故：EF=OD,当。。垂直于AC时，最小，点。为AC

的中点，其坐标为（-2,2）,即可求解；

②分AADESACDP、AWEs两种情况，求解即可.

【解答】解：（1）将点A的坐标代入直线丫=龙+。得：。=-4+c,

解得：c=4,

将点A坐标代入抛物线表达式得：0=-16-46+4,

解得：b=-3,

故抛物线的表达式为：j=-x2-3x+4,

故点A、C的坐标分别为（-4,0）、（0,4）,

将A、C点坐标代入一次函数表达式>=依+6得：

产Yk+b,解得利,

I4=bIb=4

则直线AC的表达式为：y=x+4；

（2）①：四边形。EOF为矩形，故：EF=OD,

当。。垂直于AC时，OD最小（即所最小），

；OA=OC,

...点。为AC的中点，其坐标为（-2,2）,

故点尸坐标为（-2,6）,

把点D纵坐标代入二次函数表达式得：-/-3X+4=2,

解得：x=T上炉,

故点、的坐标分别为（土叵，）、

MN2「3+717,2）.

22

②当△ADEsZ\cz）尸时，则/CPO=90。，PC=PD,

则PC〃x轴，则点P的纵坐标为4,则点尸坐标为（-3,4）,

点。在直线AC：y=