函数的奇偶性

关于函数的奇偶性从生活中这些图片中你感受到了什么？第2页,共22页，2024年2月25日，星期天这些几何图形中又体现了什么？第3页,共22页，2024年2月25日，星期天观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类Oxy①②Oxy③Oxy④OxyOxy⑤这些函数图像体有何共同特点呢？第4页,共22页，2024年2月25日，星期天(-a,a2)(a,a2)作出函数f(x)=x2图象，再观察表，你看出了什么？f(1)f(-1)=1=1f(a)f(-a)=a2=a2f(2)f(-2)=4=4猜想:f(-x)____f(x)=…－3－2－10123……9410149…第5页,共22页，2024年2月25日，星期天

结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；即：f(-x)=f(x)xP(x,f(x))P/(-x,f(x))-xP/(-x,f(-x))?f(-x)=f(x)Oxy第6页,共22页，2024年2月25日，星期天观察下面的函数图象，是否关于关于y轴对称？a如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它的定义域应该有什么特点？定义域应该关于原点对称.第7页,共22页，2024年2月25日，星期天图象关于y轴对称f(-x)=f(x)偶函数

请同学们考察：图象关于原点中心对称的函数与函数式有怎样的关系？讨论归纳，形成定义偶函数定义：设函数的定义域为，如果对定义域内的任意一个都有，且，则这个函数叫做偶函数.第8页,共22页，2024年2月25日，星期天f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),这时我们称这样的函数为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)

f(-2)=-1/2=-f(2)

f(-1)=-1=-f(1)函数值的特征探索你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？函数与函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-x)=-x=-f(x)f(-x)=-1/x=-f(x)讨论归纳，形成定义第9页,共22页，2024年2月25日，星期天奇函数定义：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且

,则这个函数叫奇函数.图象关于原点对称f(-x)=-f(x)奇函数讨论归纳，形成定义第10页,共22页，2024年2月25日，星期天（1）如何理解函数的奇偶性定义域内“任意”一个x？（2）试讨论：奇函数和偶函数的定义域的特征.（3）判断函数奇偶性的方法和步骤是什么？强化定义，深化内涵第11页,共22页，2024年2月25日，星期天☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1)函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(2)若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立.

若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立.(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质；既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.图象关于原点对称图象关于y轴对称xo[a,b][-b,-a]强化定义，深化内涵第12页,共22页，2024年2月25日，星期天例1.用定义判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x+x3+x5(2)f(x)=x2+1(3)f(x)=x+1

(4)f(x)=x2x∈[-1,3]

(5)f(x)=5(6)f(x)=0yox5oyx第13页,共22页，2024年2月25日，星期天(2)f(x)=-x2+1(1)f(x)=x-

1x(3)f(x)=3(4)f(x)=√x√x练习：用定义判断下列函数的奇偶性讲练结合，巩固新知第14页,共22页，2024年2月25日，星期天偶函数非奇非偶函数奇函数例2.判断下列函数的奇偶性：(3)oxy(1)oxy(4)oxy(2)oxy非奇非偶函数讲练结合，巩固新知第15页,共22页，2024年2月25日，星期天例3.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：相等第16页,共22页，2024年2月25日，星期天xy0相等例3、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.第17页,共22页，2024年2月25日，星期天xy0123－2－3－1练习：（1）已知函数y=f(x)是上的奇函数，它在上的图像如图所示，画出它在上的图像。（2）求函数y=f(x)在上的函数解析式，在上呢？第18页,共22页，2024年2月25日，星期天奇偶性奇函数偶函数定义设函数y=f(x)的定义域为D，,都有.f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)图像性质关于原点对称关于y轴对称判断步骤定义域是否关于原点对称.f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)xoy(a,f(a))(-a,f(-a))-aaxoy-aa(a,f(a))(-a,f(-a))课时小结，知识建构第19页,共22页，2024年2月25日，星期天判断或证明函数奇偶性的基本步骤：注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。课时小结，知识建构一看看定义域是否关于原点对称二找找关系f(x)与f(-x)三判断下结论奇或偶第20页,共22页，2024年2月25日，星期天教材第39页，习题1.3A组，第6题；教材第39页，习题1.3B组，第3题；补充题（1）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1,