湖南省郴州市大布江中学高三数学文联考试卷含解析

湖南省郴州市大布江中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．e B．e6 C．e6 D．e参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】设公共点为P（x0，y0），分别求出f′（x）和g′（x），由题意可得f′（x0）=g′（x0），列出方程求出解出x0，再由f（x0）=g（x0）得到b关于a的函数，求出函数的导数，由a的范围和导数的符号求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：设曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同，因为f′（x）=x+2a，g′（x）=，且f′（x0）=g′（x0），所以x0+2a=，化简得，解得x0=a或﹣3a，又x0＞0，且a＞0，则x0=a，因为f（x0）=g（x0），所以，则b（a）=（a＞0），所以b′（a）=5a﹣3（2alna+a）=2a﹣6alna=2a（1﹣3lna），由b′（a）=0得，a=，所以当0＜a＜时，b′（a）＞0；当a＞时，b′（a）＜0，即b（a）在（0，）上单调递增，b（a）在（，+∞）上单调递减，所以当a=时，实数b的取到极大值也是最大值b（）=．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的单调区间、极值和最值，以及对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．2.已知双曲线，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．(1,2) C． D．(2,+∞)参考答案：B由题意得，选B.

3.已知为等差数列，其前n项和为，若，，则公差d等于（A）1

（B）

（C）2

（D）3参考答案：C略4.设f（x）=若f（x）=x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是(

)A．[1，2] B．（﹣∞，2） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】要求满足条件关于x的方程f（x）﹣x﹣a=0有三个实根时，实数a的取值范围，我们可以转化求函数y=f（x）与函数y=x+a的图象有三个交点时实数a的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察法可得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，若的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；即当a＜2时，f（x）=x+a有三个实解．故选B．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，根据方程的根即为对应函数零点，将本题转化为求函数零点个数，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键．5.已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：B【考点】51：函数的零点；49：指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=ax+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．【点评】本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．6.若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是A．

B．或 C．

D．参考答案：B要使函数在上存在一个零点，则有，即，所以，解得或，选B.7.已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选C．【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．8.

已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A.

B.

C.

D.

2参考答案：B9.已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1、x2，方程f（x）=m有两个不同的实根x3、x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为（）A． B． C． D．参考答案：D考点： 等差数列的性质；函数的零点．专题： 计算题．分析： 由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．解答： 解：由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，若x3、x4只能分布在x1、x2的中间，则公差d==，故x3、x4分别为、，此时可求得m=cos=﹣；若x3、x4只能分布在x1、x2的两侧，则公差d==π，故x3、x4分别为、，不合题意．故选D点评： 本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．10.函数f（x）=|x2﹣2|﹣lgx的零点个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．无数个参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】依题意得：|x2﹣2|=lgx，在同一直角坐标系中作出y=|x2﹣2|与y=lgx的图象，y=|x2﹣2|与y=lgx的交点的个数就是所求．【解答】由f（x）=|x2﹣2|﹣lgx=0得：|x2﹣2|=lgx，在同一直角坐标系中作出y=|x2﹣2|与y=lgx的图象，函数f（x）=|x2﹣2|﹣lgx的零点个数就是还是y=|x2﹣2|与y=lgx的交点的个数，由图知，两函数有两个交点，所以函数f（x）=|x2﹣2|﹣lgx有两个零点，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知锐角，且，则______．参考答案：由，得，是锐角，，则，故答案为．12.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为_______.参考答案：在第一象限内，曲线与曲线关于直线y=x对称，设P到直线y=x的距离为d，则|PQ|=2d，故只要求d的最小值.d=，当时，dmin=,

所以|PQ|min=.【答案】【解析】13.已知实数，函数，若，则a的值为____.参考答案：14.．已知函数f(x)=4解集为空集，则满足条件的实数a的值为

.

参考答案：略15.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则常数p的值等

于

．参考答案：4略16.数列的前项和为，若则=____________.参考答案：【知识点】数列的概念与简单表示法D1【答案解析】an=2n-1

∵数列{an}的前n项和为Sn，2an=Sn+1①，令n=1可得a1=1．

再由当n≥2时，2an-1=Sn-1+1②，①减去②可得2an-2an-1=an，∴an=2an-1，

故数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，故an=1×2n-1=2n-1，故答案为an=2n-1．【思路点拨】在2an=Sn+1①中，令n=1可得a1=1．再由当n≥2时，2an-1=Sn-1+1②，用①减去②可得an=2an-1，数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此可得数列{an}的通项公式．17.设，则等于=

参考答案：-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合,(1)若求实数m的值;(2)设全集为R,若,求实数m的取值范围.参考答案：(1)m=5(2)m>7或m<-2略19.（14分）直线过点P斜率为，与直线：交于点A，与轴交于点B，点A，B的横坐标分别为，记.（1）求的解析式；（2）设数列满足，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，当时，证明不等式：.参考答案：解析：（1）直线的方程为，令，得由，得，因此，的解析式为：

……4分（2）时，,,即①当时，，数列是以0为首项的常数数列，则………………6分②当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，…………8分，解得…………………10分综合①、②得（3），，

,则

,因此，不等式成立.…………………14分20.设递增等差数列的前项和为，已知，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.参考答案：略21.（本小题满分14分）（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）求矩阵.参考答案：（Ⅰ）依题1，6是关于的方程，的两个根，由韦达定理有

…………4分（Ⅱ），所以

…………7分22.（本题满分12分）三棱锥中，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若