2024届山东省泰安市高三下学期一轮检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省泰安市2024届高三下学期一轮检测数学试题一、单项选择题1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题知抛物线,所以，故抛物线的准线方程为.故选：A.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以集合，又集合，所以，故选：D.3.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（）A.椭圆 B.物物线 C.直线 D.圆〖答案〗D〖解析〗设点，点，则，.由可得：，即.所以点的轨迹为圆.故选：D4.若，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，即，所以，所以，则故选：C.5.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数过的定点分别是，当时，由复合函数单调性可知分别单调递减、单调递增，当时，由复合函数单调性可知分别单调递增、单调递减，对比选项可知，只有B符合题意.故选：B.6.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，则，又，则，所以，又，则与的夹角为.故选：.7.已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，又，，且的最小值为，所以，即，又，所以，所以，又，所以，即，因为，所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为.故选：B.8.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，的周长为，由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，，，直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以点的纵坐标为，.故选：D.二、多项选择题9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则在复平面内对应的点在第二象限C.若，则D.若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设，则，若，则，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以在复平面内对应的点在第四象限，故B错误；对于C，设，由，可得，则，即，则，故C正确；对于D，设，则，若，则，即点在以为圆心，为半径的圆上，设过原点与圆相切的直线为，即，则圆心到切线的距离，解得，所以直线（为原点）斜率的取值范围为，故D正确.故选：ACD10.下列说法中正确的是（）A.一组数据的第60百分位数为14B.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70C.若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3D.随机变量服从二项分布，若方差，则〖答案〗BC〖解析〗对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误；对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确；对C，设数据的平均数为，由平均值性质可知：样本数据的平均数为，解得，故C正确；对D，由题意可知，解得或，则或，故D错误.故选：BC11.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（）A. B.有最大值C. D.函数是奇函数〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，令，可得，令，则，解得，所以A正确；对于B中，令，且，则，可得，若时，时，，此时函数为单调递增函数；若时，时，，此时函数为单调递减函数，所以函数不一定有最大值，所以B错误；对于C中，令，可得，即，所以，所以C正确；对于D中，令，可得，可得，即，所以函数是奇函数，所以D正确；故选：ACD.三、填空题12.二项式的展开式中的系数为15，则等于______．〖答案〗6〖解析〗根据题意，展开式的通项为，令，则故〖答案〗为6．13.在中，内角的对边分别为，已知，则_______．〖答案〗〖解析〗根据题意，在中，，则，变形可得，则有，即，因为，则.故〖答案〗为：.14.如图，在水平放置底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为_______，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为_______．〖答案〗.〖解析〗根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，过作，垂足为，如下所示：设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，根据题意可得：，，，在三角形中，由勾股定理可得，即，整理得，又，则，又，则；故球A的体积为；圆柱的侧面积，球的表面积，则；故〖答案〗为：，.四、解答题15.如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成夹角的大小．（1）证明：取中点，连接因为底面为菱形，，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，（2）解：设平面的法向量为又所以即取，则为平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则平面与平面的夹角为16.某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记分，得分在5分以上（含5分）则获奖．（1）求在1次游戏中，获奖的概率；（2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．解：（1）设“在1次游戏中摸出个红球”为事件，设“在1次游戏中获奖”为事件，则，且互斥，，，所以在1次游戏中，获奖的概率.（2）依题意，所有可能取值为，由（1）知，，，，，，所以的分布列为：258数学期望17.已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若点A为椭圆上一点，且在轴上方，为A关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．解：（1）圆过，，又圆过，，又，椭圆的方程为.（2）设，则，由题知且，则，，由，解得，，又，，又，，直线的斜率或.18.已知函数．（1）若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：；（2）若对任意的且，函数，证明：函数在上存在唯一零点．证明：（1），，，，设，则，设，则，单调递增，又，存在使得即，，当时，单调递减，当时，单调递增，；（2），，在上单调递增，又设，则，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，，即，，又，，存在，使得，又上单调递增，函数在上存在唯一零点.19.已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．（1）求数列的前项和；（2）定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明：①对任意且，存在“-数列”，使得成立；②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．（1）解：，各项均不为0且递增，，，，，化简得，，，，，，为等差数列，，，；（2）证明：①设“G-数列”公比为，且，由题意，只需证存在对且成立，即成立，设，则，令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，，，存在，使得对任意且成立，经检验，对任意且均成立，对任意且，存在“G-数列”使得成立；②由①知，若成立，则成立，当时，取得，取得，由，得，不存在，当且时，不存在“G-数列”使得对任意正整数成立．山东省泰安市2024届高三下学期一轮检测数学试题一、单项选择题1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题知抛物线,所以，故抛物线的准线方程为.故选：A.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以集合，又集合，所以，故选：D.3.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（）A.椭圆 B.物物线 C.直线 D.圆〖答案〗D〖解析〗设点，点，则，.由可得：，即.所以点的轨迹为圆.故选：D4.若，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，即，所以，所以，则故选：C.5.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数过的定点分别是，当时，由复合函数单调性可知分别单调递减、单调递增，当时，由复合函数单调性可知分别单调递增、单调递减，对比选项可知，只有B符合题意.故选：B.6.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，则，又，则，所以，又，则与的夹角为.故选：.7.已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，又，，且的最小值为，所以，即，又，所以，所以，又，所以，即，因为，所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为.故选：B.8.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，的周长为，由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，，，直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以点的纵坐标为，.故选：D.二、多项选择题9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则在复平面内对应的点在第二象限C.若，则D.若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设，则，若，则，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以在复平面内对应的点在第四象限，故B错误；对于C，设，由，可得，则，即，则，故C正确；对于D，设，则，若，则，即点在以为圆心，为半径的圆上，设过原点与圆相切的直线为，即，则圆心到切线的距离，解得，所以直线（为原点）斜率的取值范围为，故D正确.故选：ACD10.下列说法中正确的是（）A.一组数据的第60百分位数为14B.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70C.若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3D.随机变量服从二项分布，若方差，则〖答案〗BC〖解析〗对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误；对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确；对C，设数据的平均数为，由平均值性质可知：样本数据的平均数为，解得，故C正确；对D，由题意可知，解得或，则或，故D错误.故选：BC11.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（）A. B.有最大值C. D.函数是奇函数〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，令，可得，令，则，解得，所以A正确；对于B中，令，且，则，可得，若时，时，，此时函数为单调递增函数；若时，时，，此时函数为单调递减函数，所以函数不一定有最大值，所以B错误；对于C中，令，可得，即，所以，所以C正确；对于D中，令，可得，可得，即，所以函数是奇函数，所以D正确；故选：ACD.三、填空题12.二项式的展开式中的系数为15，则等于______．〖答案〗6〖解析〗根据题意，展开式的通项为，令，则故〖答案〗为6．13.在中，内角的对边分别为，已知，则_______．〖答案〗〖解析〗根据题意，在中，，则，变形可得，则有，即，因为，则.故〖答案〗为：.14.如图，在水平放置底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为_______，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为_______．〖答案〗.〖解析〗根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，过作，垂足为，如下所示：设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，根据题意可得：，，，在三角形中，由勾股定理可得，即，整理得，又，则，又，则；故球A的体积为；圆柱的侧面积，球的表面积，则；故〖答案〗为：，.四、解答题15.如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成夹角的大小．（1）证明：取中点，连接因为底面为菱形，，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，（2）解：设平面的法向量为又所以即取，则为平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则平面与平面的夹角为16.某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记分，得分在5分以上（含5分）则获奖．（1）求在1次游戏中，获奖的概率；（2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．解：（1）设“在1次游戏中摸出个红球”为事件，设“在1次游戏中获奖”为事件，则，且互斥，，，所以在1次游戏中，获奖的概率.（2）依题意，所有可能取值为，由（1）知，，，，，，所以的分布列为：258数学期望17.已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为