2024届湖南省常德市高三上学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖南省常德市2024届高三上学期期末检测数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合,，，则,．故选：A．2.已知复数z满足，则（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗依题意，，所以.故选：B3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗已知向量，，若，则，即，则的值为．故选：D．4.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计年人均增加元收入，以后每年将在此基础上以的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过元的年份大约是（）（参考数据：，，）A.年 B.年 C.年 D.年〖答案〗D〖解析〗从年起，第该企业人均增加收入超过元，因为从年起，每年将在此基础上以的增长率增长，所以，第年该企业的人均增加收入为元，由，即，可得，所以，，故年开始，该企业每年人均增加收入开始超过元.故选：D.5.某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（）（附：，，）A.第18名 B.第127名 C.第245名 D.第546名〖答案〗B〖解析〗因为成绩近似服从正态分布,，则，且，所以，因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．故选：B．6.已知等差数列与各项为正的等比数列满足：，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等差数列公差为，，则，则，，设等比数列的公比为，其首项为2，则，，即，即，解之得或（舍，则，，AB错误；又，，C正确D错误．故选：C．7.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为球的体积为，球的半径，正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面，正四棱柱和正四棱锥的高相等，设正四棱柱和正四棱锥高都为，设正四棱柱的底面正方形的边长为，作底面，交平面于N,易知N，H分别为中心，根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，设球心为O,则O为NH中点，，即，又，，，，，作，则为中点，又，该几何体的表面积为．故选：A8.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，则,因为在区间上单调函数，则，解得，又，实数的取值范围是．故选：A．二、选择题9.某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法正确的是（）A.剩下的8个评分的众数为7.8B.原来的10个评分的80%分位数8.3C.剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小D.剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小〖答案〗ACD〖解析〗对于A，剩下的8个评分：7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，其众数为7.8，A正确；对于B，由，得原来的10个评分的80%分位数是，B错误；对于C，原来的10个评分的平均数为，剩下的8个评分的平均数为，C正确；对于D，原来的10个评分的方差为，剩下的8个评分的方差为，D正确.故选：ACD10.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗∵，∴即，∴，A正确；由基本不等式知：，当且仅当时等号成立又，∴∴即,当且仅当时等号成立；已知,故，B正确;令，，C错误；令，，分母为零无意义，D错误．故选：AB．11.设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的（）A.双曲线C的焦距为B.双曲线C的渐近线方程为C.双曲线C的焦点到渐近线距离为2D.过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是〖答案〗AD〖解析〗由题意知，，半径为4，且A是双曲线的右顶点，即，因为所以是等腰直角三角形，且，所以，将其代入双曲线C：中，有，所以，即,设双曲线的焦距为2c，则即，所以焦距为，即选项A正确；双曲线的渐近线方程为，,即选项B错误；不妨取双曲线C的焦点到渐近线距离，则该距离为，即选项C错误；选项D，当过点M的直线的斜率不存在时，该直线方程为x＝2，与双曲线有且只有1个交点，不符合题意；当过点M的直线的斜率存在时，设该直线方程为，联立，得,设过点M且与双曲线C的右支的2个交点的横坐标分别为，则因为恒成立，所以，解得，所以过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是，即选项D正确．故选：AD12.如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段CD上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q，使得NQ⊥PBB.存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30°C.三棱锥Q-AMN体积的取值范围为D.当点Q运动到CD中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为〖答案〗ACD〖解析〗以A为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则,,,,,,,,,,,,,,,，对于A，假设存在点,，使得，,，,，，解得，符合题意，故A正确；对于B，假设存在点,，使得异面直线与所成的角为，,，,，，解得，不符合，不存在点，使得异面直线与所成角为，故B错误；对于C，连接,,,,,，，点到平面的距离为，，，，故C正确；对于D，当点运动到中点时,，,,,，,设,,是平面的法向量，则,令,则,，,,设直线与平面所成的角为，,，故D正确．故选：ACD．三、填空题13.曲线在处的切线方程为________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以切线的斜率为，又时，，由点斜式可得切线方程为，即.故〖答案〗为：14.在的展开式中，含项的系数是_________．（用数字填写〖答案〗）〖答案〗〖解析〗二项式的展开式的通项为，令，解得，所以含项的系数为.故〖答案〗为：15.已知定义域为R的函数满足：，且函数为奇函数，则______________．〖答案〗0〖解析〗由，得，由函数为奇函数，得，于是，则，函数是周期函数，周期为4，显然，又，则，所以.故〖答案〗：016.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.〖答案〗〖解析〗，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故〖答案〗为：．四、解答题17.已知数列的前n项和为，点在直线的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和．解：（1）∵点在直线的图象上，∴，即当时，当时，又符合上式，∴（）（2）由题设可知，则18.在三棱台中，已知平面ABC，，，．（1）证明：平面平面；（2）若M，N分别为与AB的中点，直线MN与直线相交于点P，求平面与平面ABP的夹角的余弦值．（1）证明：取AC的中点D，则且，，∴四边形为矩形，且，又，则，∴，故，∴，又，，，，平面，∴平面，又平面，∴，又，，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）解：如图，以A为原点，AB，AC，方向分别向x轴、y轴、z轴建立直角坐标系A-xyz，则，，，，，，因为P在直线上，设，则，，由题意知P，M，N三点共线，可设，则，解得，，故．设平面ABP的法向量为，，，则，取，则，由（1）知平面，取平面的法向量为，设平面与平面ABP的夹角为，则，故平面与平面ABP的夹角的余弦值为.19.在中，内角，，的对边分别为，,,且．（1）求；（2）若，的平分线交于点，且．求的面积．（1）解：因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又，所以，所以，则，又，所以.（2）解：由题意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．20.已知点F为抛物线C：（）的焦点，点，，且．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线l过点Q且与抛物线C相交于A，B两点，面积为，求直线l的方程．解：（1）由题设可知，由，得，整理得，解得,所以抛物线C的标准方程为.（2）由题可知直线l与抛物线C交于A、B两点，故直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为（），，，联立直线l的方程与抛物线方程消y得，由得且，，，∴，点P到直线l的距离为，∵面积为，∴，化简得，解得或，∴直线l的方程为或21.某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行三项工序A、B、C，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A、B、C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p（）．（1）记某产品被确定为“不合格”的概率为，求的值；（2）若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用（包含检验费用与其他费用）为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由．解：（1）依题意，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为，首次检验有且只有1项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为，因此，所以.（2）设每个产品检验的费用为X元，则X的可能取值为120，200，依题意，，，则，，令函数，，求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此，即，则该企业检验总费用的期望最大值为（万元），所以预测不会超过预算.22.设函数，．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：．（参考数据：，）（1）解：法一：∵，∴，当时，，则，即，∴函数在区间上单调递增；法二：∵，∴，令，当时，，所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增，∴，∴函数区间上单调递增；（2）证明：，由（1）知函数在区间上单调递增，又，，∴存在唯一的，使得，当时，，；当时，，，∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴函数在区间上有唯一极值点a，又，由参考数据，可知，∴函数在区间上有唯一的零点b，且，构造函数（），，∴在上单调递增，∴，即，∴.湖南省常德市2024届高三上学期期末检测数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合,，，则,．故选：A．2.已知复数z满足，则（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗依题意，，所以.故选：B3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗已知向量，，若，则，即，则的值为．故选：D．4.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计年人均增加元收入，以后每年将在此基础上以的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过元的年份大约是（）（参考数据：，，）A.年 B.年 C.年 D.年〖答案〗D〖解析〗从年起，第该企业人均增加收入超过元，因为从年起，每年将在此基础上以的增长率增长，所以，第年该企业的人均增加收入为元，由，即，可得，所以，，故年开始，该企业每年人均增加收入开始超过元.故选：D.5.某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（）（附：，，）A.第18名 B.第127名 C.第245名 D.第546名〖答案〗B〖解析〗因为成绩近似服从正态分布,，则，且，所以，因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．故选：B．6.已知等差数列与各项为正的等比数列满足：，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等差数列公差为，，则，则，，设等比数列的公比为，其首项为2，则，，即，即，解之得或（舍，则，，AB错误；又，，C正确D错误．故选：C．7.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为球的体积为，球的半径，正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面，正四棱柱和正四棱锥的高相等，设正四棱柱和正四棱锥高都为，设正四棱柱的底面正方形的边长为，作底面，交平面于N,易知N，H分别为中心，根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，设球心为O,则O为NH中点，，即，又，，，，，作，则为中点，又，该几何体的表面积为．故选：A8.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，则,因为在区间上单调函数，则，解得，又，实数的取值范围是．故选：A．二、选择题9.某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法正确的是（）A.剩下的8个评分的众数为7.8B.原来的10个评分的80%分位数8.3C.剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小D.剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小〖答案〗ACD〖解析〗对于A，剩下的8个评分：7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，其众数为7.8，A正确；对于B，由，得原来的10个评分的80%分位数是，B错误；对于C，原来的10个评分的平均数为，剩下的8个评分的平均数为，C正确；对于D，原来的10个评分的方差为，剩下的8个评分的方差为，D正确.故选：ACD10.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗∵，∴即，∴，A正确；由基本不等式知：，当且仅当时等号成立又，∴∴即,当且仅当时等号成立；已知,故，B正确;令，，C错误；令，，分母为零无意义，D错误．故选：AB．11.设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的（）A.双曲线C的焦距为B.双曲线C的渐近线方程为C.双曲线C的焦点到渐近线距离为2D.过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是〖答案〗AD〖解析〗由题意知，，半径为4，且A是双曲线的右顶点，即，因为所以是等腰直角三角形，且，所以，将其代入双曲线C：中，有，所以，即,设双曲线的焦距为2c，则即，所以焦距为，即选项A正确；双曲线的渐近线方程为，,即选项B错误；不妨取双曲线C的焦点到渐近线距离，则该距离为，即选项C错误；选项D，当过点M的直线的斜率不存在时，该直线方程为x＝2，与双曲线有且只有1个交点，不符合题意；当过点M的直线的斜率存在时，设该直线方程为，联立，得,设过点M且与双曲线C的右支的2个交点的横坐标分别为，则因为恒成立，所以，解得，所以过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是，即选项D正确．故选：AD12.如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段CD上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q，使得NQ⊥PBB.存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30°C.三棱锥Q-AMN体积的取值范围为D.当点Q运动到CD中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为〖答案〗ACD〖解析〗以A为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则,,,,,,,,,,,,,,,，对于A，假设存在点,，使得，,，,，，解得，符合题意，故A正确；对于B，假设存在点,，使得异面直线与所成的角为，,，,，，解得，不符合，不存在点，使得异面直线与所成角为，故B错误；对于C，连接,,,,,，，点到平面的距离为，，，，故C正确；对于D，当点运动到中点时,，,,,，,设,,是平面的法向量，则,令,则,，,,设直线与平面所成的角为，,，故D正确．故选：ACD．三、填空题13.曲线在处的切线方程为________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以切线的斜率为，又时，，由点斜式可得切线方程为，即.故〖答案〗为：14.在的展开式中，含项的系数是_________．（用数字填写〖答案〗）〖答案〗〖解析〗二项式的展开式的通项为，令，解得，所以含项的系数为.故〖答案〗为：15.已知定义域为R的函数满足：，且函数为奇函数，则______________．〖答案〗0〖解析〗由，得，由函数为奇函数，得，于是，则，函数是周期函数，周期为4，显然，又，则，所以.故〖答案〗：016.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.〖答案〗〖解析〗，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故〖答案〗为：．四、解答题17.已知数列的前n项和为，点在直线的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和．解：（1）∵点在直线的图象上，∴，即当时，当时，又符合上式，∴（）（2）由题设可知，则18.在三棱台中，已知平面ABC，，，．（1）证明：平面平面；（2）若M，N分别为与AB的中点，直线MN与直线相交于点P，求平面与平面ABP的夹角的余弦值．（1）证明：取AC的中点D，则且，，∴四边形为矩形，且，又，则，∴，故，∴，又，，，，平面，∴平面，又平面，∴，又，，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）解：如图，以A为原点，AB，AC，方向分别向x轴、y轴、z轴建立直角坐标系A-xyz，则，，，，，，因为P在直线上，设，则，，由题意知P，M，N三点共线，可设，则，解得，，故．设平面ABP的法向量为，，，则，取，则，由（1）知平面，取平面的法向量为，设平面与平面ABP的夹角为，则，故平面与平面ABP的夹角的余弦值为.19.在中，内角，，的对边分别为，,,且．（1）求；（2）若，的平分线交于点，且．求的面积．（1）解：因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又，所以，所以，则，又，所以.（2）解：由题意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．20.已知点F为抛物线C：（）的焦点，点，，且．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线l过点Q且与抛物线C相交于A，B两点，面积为，求直线l的方程．解：（1）由题设可知，由，得，整理得，解得,所