2024届湖北省十一校高三下学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖北省十一校2024届高三下学期第二次联考数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式得，所以，由得故选：A.2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设复数，因为，可得，可得，解得，所以复数的虚部为.故选：B.3.若，则（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，.故选：B.4.已知向量，，满足，则（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得向量的夹角为，，.故选：C5.如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，因为点到点的距离相等，可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，又因为，直线与平面所成角为，取的中点，可得，则线段的最小值为.故选：A.6.的展开式中的系数是，则实数的值为（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对，有，故的展开式中的系数为：，即.故选：D.7.平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，，则，即，即点亦在圆上，圆心为，半径，又点P在圆上，圆心为，半径，故两圆相交，即有，整理可得且，解得.故选：D.8.若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由不等式恒成立，且，分离参数得，所以，即，设，得，，设，，则.，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.所以.故选：C.二、选择题9.若，则下列说法正确的有（

）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗由，可得期望为，方差为，对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；对于B中，因为，即，所以B不正确；对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；对于D中，由正态分布曲线的性质，可得，且，可得，所以D正确.故选：ACD.10.如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n行n列，表示第i行第j列的数，比如，，则（）234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………AB.数字65在这个数阵中出现的次数为8次C.D.这个数阵中个数的和〖答案〗AC〖解析〗对于A，C选项：第i行是以为首项，以为公差的等差数列，，所以，故A，C正确；对于B选项：故共出现7次，故B错误；对于D选项，令时，，而数阵中无1，故D错误；故选：AC.11.用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（）A.椭圆短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等C.所得椭圆的离心率D.其中为椭圆长轴，为球半径，有〖答案〗ABC〖解析〗对A，B：过点作线段，分别与球、切于点、，由图可知，、分别与球、切于点、，故有，由椭圆定义可知，该椭圆以、为焦点，为长轴长，故B正确，由与球切于点，故，有，即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确；对C:由题意可得，则，故C正确；对D：由题意可得，，故，即，故D错误.故选：ABC.三、填空题12.已知函数，则关于x的不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗当时，得，当时，，得，所以，综上：的解集为，故〖答案〗为：.13.在矩形中，，，分别是的中点，将四边形沿折起使得二面角的大小为90°，则三棱锥的外接球的表面积为______．〖答案〗〖解析〗由题意，可将三棱锥补形成长方体，则长方体外接球也即三棱锥的外接球，设长方体外接球半径为R，则，得到，所以，故〖答案〗为：.14.已知在数列中，，数列的前和为，为等差数列，，则__________．〖答案〗〖解析〗为等差数列，所以设，为常数，，，当时，，，则（常数）.数列为等差数列，，，所以，即，即，则，，，，经检验可得，则，，，.故〖答案〗为：.四、解答题15.在平面四边形中，，，．（1）求的值；（2）若，求的长．解：（1）在中，由余弦定理可得：，又，，，所以.（2）由（1）知，所以，又，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，得到，所以.16.如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，，（1）若，求证：平面；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：连接与交于点，连接，，，，，即

，又，则，，，所以四边形是等腰梯形，且，，所以四边形是平行四边形，又面，面，所以平面.（2）解：因为平面平面，且四边形是矩形，为两平面的交线，，所以平面，建立如图所示空间直角坐标系，由与平面所成角为，易知面可得，所以，因为为等腰三角形，且，所以点的横坐标长度为，纵坐标长度为，，则，

，

，，设平面的法向量为，则，取，，设平面的法向量为，则，取，，，即平面与平面所成锐二面角的余弦值.17.2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计附：，其中．（1）完成上述列联表，依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）解：（1）学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，根据列联表中的数据，经计算得到，因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，所以，由题可知，n是10的倍数，（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A，B，C，则，，，记选择方案一通过的概率为，则；记选择方案二通过的概率为，则；，小华应该选择方案一.18.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．（1）求椭圆的标准方程：（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．解：（1）由题意得，又，解得，椭圆的标准方程为（2）（i）由（1）可得，连接，因为，，所以，，，所以，所以直线的方程为，联立，解得或（舍去），.（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：，又，，直线的方程为，由，解得，所以，由，得，由，则，所以，则，，依题意、不重合，所以，即，所以，直线的方程为，令即，解得，，，为定值.19.我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．（1）如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；（2）在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；（3）正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．解：（1）由题意可知，，.（2）设切点为，，切线的斜率为，则切线方程为，所以切线与轴的交点为，所以由题意可知围成的面积：,所以切点坐标为，切线方程为.（3）联立，由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为,令，（C为常数）,，，，则.湖北省十一校2024届高三下学期第二次联考数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式得，所以，由得故选：A.2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设复数，因为，可得，可得，解得，所以复数的虚部为.故选：B.3.若，则（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，.故选：B.4.已知向量，，满足，则（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得向量的夹角为，，.故选：C5.如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，因为点到点的距离相等，可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，又因为，直线与平面所成角为，取的中点，可得，则线段的最小值为.故选：A.6.的展开式中的系数是，则实数的值为（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对，有，故的展开式中的系数为：，即.故选：D.7.平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，，则，即，即点亦在圆上，圆心为，半径，又点P在圆上，圆心为，半径，故两圆相交，即有，整理可得且，解得.故选：D.8.若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由不等式恒成立，且，分离参数得，所以，即，设，得，，设，，则.，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.所以.故选：C.二、选择题9.若，则下列说法正确的有（

）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗由，可得期望为，方差为，对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；对于B中，因为，即，所以B不正确；对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；对于D中，由正态分布曲线的性质，可得，且，可得，所以D正确.故选：ACD.10.如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n行n列，表示第i行第j列的数，比如，，则（）234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………AB.数字65在这个数阵中出现的次数为8次C.D.这个数阵中个数的和〖答案〗AC〖解析〗对于A，C选项：第i行是以为首项，以为公差的等差数列，，所以，故A，C正确；对于B选项：故共出现7次，故B错误；对于D选项，令时，，而数阵中无1，故D错误；故选：AC.11.用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（）A.椭圆短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等C.所得椭圆的离心率D.其中为椭圆长轴，为球半径，有〖答案〗ABC〖解析〗对A，B：过点作线段，分别与球、切于点、，由图可知，、分别与球、切于点、，故有，由椭圆定义可知，该椭圆以、为焦点，为长轴长，故B正确，由与球切于点，故，有，即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确；对C:由题意可得，则，故C正确；对D：由题意可得，，故，即，故D错误.故选：ABC.三、填空题12.已知函数，则关于x的不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗当时，得，当时，，得，所以，综上：的解集为，故〖答案〗为：.13.在矩形中，，，分别是的中点，将四边形沿折起使得二面角的大小为90°，则三棱锥的外接球的表面积为______．〖答案〗〖解析〗由题意，可将三棱锥补形成长方体，则长方体外接球也即三棱锥的外接球，设长方体外接球半径为R，则，得到，所以，故〖答案〗为：.14.已知在数列中，，数列的前和为，为等差数列，，则__________．〖答案〗〖解析〗为等差数列，所以设，为常数，，，当时，，，则（常数）.数列为等差数列，，，所以，即，即，则，，，，经检验可得，则，，，.故〖答案〗为：.四、解答题15.在平面四边形中，，，．（1）求的值；（2）若，求的长．解：（1）在中，由余弦定理可得：，又，，，所以.（2）由（1）知，所以，又，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，得到，所以.16.如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，，（1）若，求证：平面；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：连接与交于点，连接，，，，，即

，又，则，，，所以四边形是等腰梯形，且，，所以四边形是平行四边形，又面，面，所以平面.（2）解：因为平面平面，且四边形是矩形，为两平面的交线，，所以平面，建立如图所示空间直角坐标系，由与平面所成角为，易知面可得，所以，因为为等腰三角形，且，所以点的横坐标长度为，纵坐标长度为，，则，

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，，设平面的法向量为，则，取，，设平面的法向量为，则，取，，，即平面与平面所成锐二面角的余弦值.17.2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计附：，其中．（1）完成上述列联表，依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）解：（1）学生群体关注度合计关注不关注大学生高中生合计零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，根据列联表中的数据，经计算得到，因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，所以，由题可知，n是10的倍数，（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A，B，C，则，，，记选择方案一通过的概率为，则；记选择方案二通过的概率为，则；，