2023-2024学年河北省邢台市高二上学期1月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省邢台市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在数列中，已知，且，则，，.故选：A.2.已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，所以，整理得的方程为，又点在直线上，且点满足方程，综上所述，的方程为.故选：B.3.已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.4.圆与圆的公切线条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由可知圆心为，半径，由，即，则圆心为，半径，则两圆圆心距离为，，，故，即两圆相交，故公切线条数为2条.故选：B.5.已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗抛物线焦点为，则，且，解得，故该抛物线的准线方程为.故选：C.6.利用温室大棚等设施进行蔬菜种植，可以使得人们在一年四季吃上夏季的新鲜蔬菜，造福民生．某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空筒和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒底面圆的半径为3cm（纸质圆筒的厚度忽略不计），每层地膜的厚度为0.1mm，约定在计算每层地膜的长度时，以外层半径来进行，则一筒100层的地膜的总长度大约为（）（，结果精确到1m）A.18m B.19m C.20m D.21m〖答案〗D〖解析〗根据题意，圆柱形空筒的半径为30mm，地膜的半径是以0.1mm为公差的等差数列，所以每一层地膜的长度成等差数列，且首项为mm，公差为，第100项为，所以．故选：D.7.若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为、、为三个不共面的空间向量，由题意可知，存在、，使得，即，所以，，解得.故选：C.8.在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中点，连接，如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.因为是棱上一动点，设，且，所以.因为，所以.令，则.又函数在上为增函数，所以线段的长度的取值范围为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线，下列结论正确的是（）A.当时，曲线是一条直线B.当时，曲线是一个圆C.当曲线是圆时，它的面积的最小值为D.当曲线是面积为的圆时，〖答案〗AB〖解析〗对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对；对于B选项，当时，曲线的方程可化为，因为，此时，曲线是一个圆，B对；对于C选项，当曲线是圆时，其半径为，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错；对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为，即，解得或，D错.故选：AB.10.已知等比数列的首项为，公比为，前项和为.若，则下列结论正确的是（）A.的取值为或或B.当时，C.当时，D.当时，为递增数列〖答案〗AB〖解析〗因为，即，即，因为，则或，A对；当时，，B对；当时，，C错；当时，，则，，，，，可知，数列为摆动数列，D错.故选：AB.11.在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，设点，其中，则，，所以，，当时，，则，则，所以，，因为，所以，，故选：BD.12.已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（）A.的标准方程为B.C.四边形的周长随的变化而变化D.当不与的上、下顶点重合时，直线的斜率之积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由题意知，解得，故的标准方程为，A正确；对于B，因为关于原点对称，且也关于原点对称，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，B正确；对于C，，故四边形的周长为，为定值，C错误；对于D，设，则，因为在上，所以，整理得，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.〖答案〗①②〖解析〗因为直线与互相平行，所以，解得，则，所以与之间的距离.故〖答案〗为：；.14.已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为__________.〖答案〗〖解析〗由题意设为三角形的边上的高，而，因为三点共线，设，因为，所以，解得，所以，所以点到直线的距离为.故〖答案〗为：.15.已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗将代入椭圆的方程可得，可得，因为上位于第一象限的点满足，则，又因为，即，即，即，等式两边同时除以可得，因为，解得.故〖答案〗：.16.已知为等比数列，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为为等比数列，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上.（1）求圆的方程；（2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.解：（1）由题意，设圆心的坐标为，因为直线，半径为的圆与相切，则，因为，解得，因此，圆的方程为.（2）由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.18.已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.解：（1）由已知可得，设等差数列的公差为，则，解得，所以，.（2），所以，.故对任意的，.19.如图，在中，，，.将绕旋转得到，、分别为线段、的中点：（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角余弦值.解：（1）在中，，，，将绕旋转得到，则，因为，、平面，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，点到平面的距离为，因此，点到平面的距离为.（2）设平面的法向量为，，，则，取，可得，因为，因此，平面与平面夹角的余弦值为.20.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和，并求的最值.解：（1）由题意，，所以，即，所以，，当时，也满足，所以数列的通项公式为（2）由（1）可知，则，则①，②，①②可得，，，则，由于单调递增，则.21.已知为抛物线上的一点，为的焦点.（1）设的准线与轴交于点，过点作，垂足为，求四边形的面积；（2）若、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，且直线、的斜率之积为，证明：直线过定点.解：（1）将点坐标代入抛物线的方程得，解得，所以，抛物线的方程为，其焦点为，抛物线的准线方程为，易知点，，，，，则四边形为直角梯形，且，所以，四边形的面积为.（2）设点、，因为、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，则，且，，，同理可得，因为，整理可得，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，可得，所以，直线的方程为，由，可得，故直线过定点.22.已知双曲线的左､右顶点分别为是坐标原点，焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线的另一个交点为是双曲线上异于两点的一动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：.解：（1）渐近线方程为，焦点坐标为，由题意可知，解得.将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，所以双曲线的方程是.（2）由对称性可知，点的坐标为.设直线的方程为，联立方程组消去得，解得，代入，得，即.中，令得，故，由题意知，点不与点重合，故，解得且，其中直线的方程为，直线的方程为，即，联立方程组解得即.所以，所以.河北省邢台市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在数列中，已知，且，则，，.故选：A.2.已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，所以，整理得的方程为，又点在直线上，且点满足方程，综上所述，的方程为.故选：B.3.已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.4.圆与圆的公切线条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由可知圆心为，半径，由，即，则圆心为，半径，则两圆圆心距离为，，，故，即两圆相交，故公切线条数为2条.故选：B.5.已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗抛物线焦点为，则，且，解得，故该抛物线的准线方程为.故选：C.6.利用温室大棚等设施进行蔬菜种植，可以使得人们在一年四季吃上夏季的新鲜蔬菜，造福民生．某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空筒和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒底面圆的半径为3cm（纸质圆筒的厚度忽略不计），每层地膜的厚度为0.1mm，约定在计算每层地膜的长度时，以外层半径来进行，则一筒100层的地膜的总长度大约为（）（，结果精确到1m）A.18m B.19m C.20m D.21m〖答案〗D〖解析〗根据题意，圆柱形空筒的半径为30mm，地膜的半径是以0.1mm为公差的等差数列，所以每一层地膜的长度成等差数列，且首项为mm，公差为，第100项为，所以．故选：D.7.若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为、、为三个不共面的空间向量，由题意可知，存在、，使得，即，所以，，解得.故选：C.8.在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中点，连接，如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.因为是棱上一动点，设，且，所以.因为，所以.令，则.又函数在上为增函数，所以线段的长度的取值范围为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线，下列结论正确的是（）A.当时，曲线是一条直线B.当时，曲线是一个圆C.当曲线是圆时，它的面积的最小值为D.当曲线是面积为的圆时，〖答案〗AB〖解析〗对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对；对于B选项，当时，曲线的方程可化为，因为，此时，曲线是一个圆，B对；对于C选项，当曲线是圆时，其半径为，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错；对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为，即，解得或，D错.故选：AB.10.已知等比数列的首项为，公比为，前项和为.若，则下列结论正确的是（）A.的取值为或或B.当时，C.当时，D.当时，为递增数列〖答案〗AB〖解析〗因为，即，即，因为，则或，A对；当时，，B对；当时，，C错；当时，，则，，，，，可知，数列为摆动数列，D错.故选：AB.11.在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，设点，其中，则，，所以，，当时，，则，则，所以，，因为，所以，，故选：BD.12.已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（）A.的标准方程为B.C.四边形的周长随的变化而变化D.当不与的上、下顶点重合时，直线的斜率之积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由题意知，解得，故的标准方程为，A正确；对于B，因为关于原点对称，且也关于原点对称，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，B正确；对于C，，故四边形的周长为，为定值，C错误；对于D，设，则，因为在上，所以，整理得，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.〖答案〗①②〖解析〗因为直线与互相平行，所以，解得，则，所以与之间的距离.故〖答案〗为：；.14.已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为__________.〖答案〗〖解析〗由题意设为三角形的边上的高，而，因为三点共线，设，因为，所以，解得，所以，所以点到直线的距离为.故〖答案〗为：.15.已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗将代入椭圆的方程可得，可得，因为上位于第一象限的点满足，则，又因为，即，即，即，等式两边同时除以可得，因为，解得.故〖答案〗：.16.已知为等比数列，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为为等比数列，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上.（1）求圆的方程；（2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.解：（1）由题意，设圆心的坐标为，因为直线，半径为的圆与相切，则，因为，解得，因此，圆的方程为.（2）由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.18.已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.解：（1）由已知可得，设等差数列的公差为，则，解得，所以，.（2），所以，.故对任意的，.19.如图，在中，，，.将绕旋转得到，、分别为线段、的中点：（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角余弦值.解：（1）在中，，，，将绕旋转得到，则，因为，、平面，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且