第9章《整式（一）-整式及其加减》知识讲练（教师版）【培优课堂】 沪教版（上海五四制）数学七年级上册章节复习讲义（导图+知识点+新题拔高卷）

2023-2024学年沪教版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：整式的相关概念1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．易错点拨：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．易错点拨：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是次，有个单项式，我们就把这个多项式称为次项式．3.多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．易错点拨：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；

（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．知识点02：整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．易错点拨：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．易错点拨：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“＋”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“－”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•宝山区校级期末）下列用代数式表示“a、b两数差的平方的2倍”正确的是（）A．2a2﹣b2 B．2（a﹣b）2 C．a2﹣2b2 D．2（a2﹣b2）解：b的差为：a−b，那么差的平方为：（a−b）2，差的平方的2倍为2（a﹣b）2，故选B．2．（2分）（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．A．25 B．10a C．25+5a D．25+10a解：原正方形的面积＝a2（cm2）新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面积＝（10a+25）cm2．故本题选D．3．（2分）（2022秋•上海期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy B．x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1） C．x2﹣x﹣30＝（x﹣1）x﹣30 D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．4．（2分）（2022秋•上海期末）代数式，，x+y，，中是整式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：代数式，，x+y，，中整式有，x+y，，中，共4个．故选：D．5．（2分）（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7 B．2 C．﹣2 D．﹣7解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．6．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列计算中错误的有（）①（﹣x3）2+x3•x2＝0；②（﹣x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；③2x2•3x4＝6x8；④（﹣x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①（﹣x3）2+x3•x2＝x6+x6＝2x6，原计算错误；②（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误；③2x2•3x4＝6x6，原计算错误；④（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，原计算错误；故选：D．7．（2分）（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．8．（2分）（2022秋•黄浦区期中）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，图2拼成的是长为a+b，宽为a﹣b的矩形，因此面积为（a+b）（a﹣b），∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．9．（2分）（2022秋•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，5，3 B．3，7，2 C．2，3，7 D．2，5，7解：长方形的面积为（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．故选：C．10．（2分）（2022秋•闵行区期中）当x＝2时，整式ax3+bx﹣1的值等于﹣19，那么当x＝﹣2时，整式ax3+bx﹣1的值为（）A．19 B．﹣19 C．17 D．﹣17解：∵当x＝2时，整式ax3+bx﹣1的值为﹣19，∴8a+2b﹣1＝﹣19，即8a+2b＝﹣18，则当x＝﹣2时，原式＝﹣8a﹣2b﹣1＝18﹣1＝17．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•长宁区校级期中）计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝1﹣16a4．解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝（1﹣4a2）（1+4a2）＝1﹣16a4．故答案为：1﹣16a4．12．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝7．解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．13．（2分）（2022秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例＝，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为﹣36．解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案为：﹣36．14．（2分）（2021秋•浦东新区期末）计算：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝．解：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝﹣3x+2y﹣；故答案为：﹣3x+2y﹣．15．（2分）（2022秋•闵行区期中）如果单项式xa+by3与5x2yb的和仍是单项式，则a﹣b的值为﹣4．解：∵单项式y3与5x2yb的和仍是单项式，∴y3与5x2yb是同类项，∴a+b＝2，3＝b，解得：a＝﹣1，b＝3，∴原式＝﹣1﹣3＝﹣4，故答案为：﹣4．16．（2分）（2022秋•浦东新区期中）计算：＝．解：原式＝（1﹣）×××…×＝×…×＝＝．故答案为：．17．（2分）（2022秋•闵行区期中）如果代数式﹣2a2+3b+8的值为1，那么代数式4a2﹣6b+2的值等于16．解：∵﹣2a2+3b+8的值为1，∴﹣2a2+3b+8＝1，∴﹣2a2+3b＝﹣7，∴4a2﹣6b+2＝﹣2（﹣2a2+3b）+2＝﹣2×（﹣7）+2＝14+2＝16故答案为：16．18．（2分）（2022秋•长宁区校级期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d，对应密文2a+3，3b+1，4c+5，d﹣c2，当接收方收到密文11，16，29，13时，解密得到明文a，b，c，d，则a+b+c+d＝64．解：由题意可得，2a+3＝11，3b+1＝16，4c+5＝29，d﹣c2＝13，解得，a＝4，b＝5，c＝6，d＝49，∴a+b+c+d＝4+5+6+49＝64，故答案为：64．19．（2分）（2022秋•嘉定区校级期中）当a＝4时，代数式的值为8．解：当a＝4时，原式＝＝8，故答案为：8．20．（2分）（2022秋•青浦区校级期中）计算：（6x2﹣2xy）•（﹣x2y）＝﹣2x4y+x3y2．解：（6x2﹣2xy）•（﹣x2y）＝6x2•（﹣x2y）﹣2xy•（﹣x2y）＝﹣2x4y+x3y2．故答案为：﹣2x4y+x3y2．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（4分）（2022秋•宝山区期末）计算：（21x6y6﹣42x5y4）÷7x5y3+2y．解：（21x6y6﹣42x5y4）÷7x5y3+2y＝3xy3﹣6y+2y＝3xy3﹣4y．22．（6分）（2022秋•徐汇区期末）已知（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7．（1）求a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7的值．（2）求a0+a2+a4+a6的值．解：（1）令x＝﹣1代入原式，则（﹣2﹣1）5＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7，∴a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（﹣3）5＝﹣243；（2）令x＝1代入原式，则（2﹣1）3＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7，∴a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝1①，由（1）知：a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（﹣3）5＝﹣243②，①+②得：2（a0+a2+a4+a6）＝﹣242，∴a0+a2+a4+a6＝﹣121．23．（6分）（2022秋•长宁区校级期中）若关于x的多项式2x+a与x2﹣bx﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a、b的值．解：（2x+a）×（x2﹣bx﹣2）＝2x3﹣2bx2﹣4x+ax2﹣abx﹣2a＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（4+ab）x﹣2a．∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，∴a﹣2b＝0，﹣2a＝10，∴a＝﹣5，b＝﹣2.5．24．（6分）（2022秋•静安区校级期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①am⋅an＝am+n，②（am）n＝amn，③（ab）n＝anbn，④am÷an＝am﹣n，反过来，这4条运算法则可以写成：①am+n＝am•an，②amn＝（am）n，③anbn＝（ab）n，④am﹣n＝am÷an．问题解决：已知，且b满足等式（27b）2＝312，（1）求代数式a、b的值；（2）化简代数式（x﹣y）（x2+xy+y2），并求当x＝a，y＝b时该代数式的值．解：（1）＝[（﹣）×]2022＝（﹣1）2022＝1，∵b满足等式（27b）2＝312，∴（33b）2＝312，∴36b＝312，∴6b＝12，∴b＝2，即a＝1，b＝2；（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3＝x3﹣y3，当x＝a＝1，y＝b＝2时，原式＝13﹣23＝1﹣8＝﹣7．25．（6分）（2022秋•浦东新区期中）已知A＝3x2+ax﹣3y+2，B＝bx2﹣x﹣2y+4，且A与B的3倍的差的值与x的取值无关，求代数式﹣ab[a+（4b﹣a+6）]﹣3（2ab2﹣a2b﹣ab）的值．解：∵A﹣3B＝3x2+ax﹣3y+2﹣3（bx2﹣x﹣2y+4）＝3x2+ax﹣3y+2﹣3bx2+2x+6y﹣12＝（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10，∵A与B的3倍的差的值与x的取值无关，∴3﹣3b＝0，a+2＝0，∴b＝1，a＝﹣2，﹣ab[a+（4b﹣a+6）]﹣3（2ab2﹣a2b﹣ab）＝﹣a2b﹣3ab﹣2ab2+a2b﹣6ab2+a2b+ab＝﹣2ab﹣8ab2，把b＝1，a＝﹣2代入得：原式＝﹣2×（﹣2）×1﹣8×（﹣2）×12＝4+16＝20．26．（8分）（2022秋•宝山区校级月考）某市出租车收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x千米（x＞5）．（1）请用含x的代数式表示出他应该支付的车费；（2）若该乘客乘坐了20千米，那他应该支付多少钱；（3）如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程吗？解：（1）10+（x﹣3）×2＝2x+4（元）；（2）当x＝20时，2x+4＝44（元）；（3）34﹣2＜2x+4≤34，解得14＜x≤15．∴他乘坐的里程应在14﹣15千米之间，不包括14千米．27．（8分）（2022秋•宝山区校级期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示．计算中一般用KB（千字节）、MB（兆字节）或GB（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为1KB＝210B，1MB＝210KB，1GB＝210MB．一种新款电脑的硬盘存储容量为160GB，它相当于多少千字节？（结果用a×2n千字节表示，其中1＜a＜2，n为正整数）解：160GB＝160×210×210KB＝1.6×222KB．答：它相当于1.6×222千字节．28．（8分）（2022秋•宝山区校级期中）先阅读材料：已知：不论x取何值，代数式a（x﹣2）﹣2x+5的值都相同，求a