高三数学备考冲刺140分问题18等差数列等比数列的证明问题含解析

PAGE问题18等差数列、等比数列的证明问题一、考情分析等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全．二、经验分享1.等差数列证明方法主要有：(1)定义法：an－an－1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：验证数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；【点评】证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))成等比数列的关键是利用已知得出eq\f(an＋2－\f(1,2)an＋1,an＋1－\f(1,2)an)＝eq\f(1,2).【小试牛刀】【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12联盟）2018届高三上学期期末】已知数列满足，且．（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）令，，求数列的前项和．（2）由（1）知，∴，∴，．(二)运用等差或等比中项性质是等差数列,是等比数列,这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列,成等比数列．证明：数列为等差数列．【点评】本题依据条件得到与的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差数列,使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算．【小试牛刀】已知等比数列{an}的公比q＝－eq\f(1,2).(1)若a3＝eq\f(1,4),求数列{an}的前n项和；(2)证明：对任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差数列．【解析】(1)由通项公式可得a3＝a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4),解得a1＝1,再由等比数列求和公式得Sn＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n－1),3).(2)证明：∵k∈N*,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)＝a1qk－1·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－1))＝0,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0,∴对任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差数列．(三)反证法解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．如：【例3】设是公比不相等的两等比数列,．证明数列不是等比数列．【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列,只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性

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【小试牛刀】【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有。（1）若0，，求r的值；（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列。【解析】（1）令n＝2，得：，即：，化简，得：，因为，，，所以，，解得：r＝1.（2）假设是等比数列，公比为，则，且，解得或，由，可得，所以，两式相减，整理得，两边同除以，可得，因为，所以，【小试牛刀】已知等比数列{an}的公比为q,记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列,公差为qmB．数列{bn}为等比数列,公比为q2mC．数列{cn}为等比数列,公比为qm2D．数列{cn}为等比数列,公比为qmm【答案】C【解析】bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1),eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(amn＋1,amn＋1－m)＝qm,故数列{bn}为等比数列,公比为qm,选项A,B均错误；cn＝aeq\o\al(m,m（n－1）＋1)·q1＋2＋…＋(m－1),eq\f(cn＋1,cn)＝(qm)m＝qm2,故数列{cn}为等比数列,公比为qm2,D错误,故选C.五、迁移运用1.已知数列满足,则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A2已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时,不是等比数列；若数列是等比数列,当时,与数列是等比数列矛盾,所以,因此““是“数列是等比数列”的必要不充分条件,选B.因为对任意，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显.若，当时，有，不符合题意，舍去；若，当时，有，不符合题意，舍去；故.8．【山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟】已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前10项和.9．【云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考】已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.【解析】（1）由得：∵，∴，从而由得，∴是以为首项，为公比的等比数列．10．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得，恒成立：数列的前项和，且对任意正整数，恒成立.（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若，记，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵①∴②，，①-②得：，即，，又∴，，时，；时，.∵为正数又因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，因为，所以，所以.13．【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】已知数列数列的前项和且，且.（1）求的值，并证明：；（2）求数列的通项公式.14．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】已知各项为正数的数列，，前项和，是与的等差中项（）．（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求前项和．15．【湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考】设数列的前项和为，点在直线上.（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，记（其中为