福建省部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期开学质量监测数学试题

准考证号：姓名：（在此卷上答题无效）2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合N的元素，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得，故，故选：D2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】.故选：A3.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由作差法逐一判断即可.【详解】对于A，由题意，即，故A错误；对于B，由题意，即，故B错误；对于C，由题意，即，故C正确；对于D，由题意，即，故D错误.故选：C.4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据逆否命题的等价性，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由题意“不破楼兰终不还”只可知，“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A.5.已知命题.若为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到为真命题，从而根据根的判别式列出不等式，求出答案.【详解】为真命题，即，解得：，故实数的取值范围是.故选：B6.函数的图象大致为（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】的定义域为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项.，排除A选项.所以正确的为C选项.故选：C7.“学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过参考数据：，（）A.天 B.天 C.天 D.天【答案】B【解析】【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解.【详解】经过天后，“进步”的是“落后”的比，所以，两边取以10为底的对数得，解得.要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过11天.故选：B8.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（）A.10千里 B.12千里 C.14千里 D.16千里【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答.【详解】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸，于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，所以甲、乙两地之间的距离是12千里.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数的部分图象如图，则（）A.是函数的一条对称轴 B.是函数的一条对称轴C. D.【答案】ABD【解析】【分析】点是函数图象的对称中心，且在函数的一个单调增区间内，则，令函数周期为T，由图象知，由，得函数图象的对称轴：，，据此分析即可.【详解】依题意，点是函数的图象对称中心，且在函数的一个单调增区间内，则，，即，，令函数周期为T，由图象知，即有，而，则有，因此，，解得，而，则，，，故C错误D正确；由，得函数图象的对称轴：，，当时，，当时，，故AB正确.故选：ABD．10.已知函数，的定义域均为R，且，．若是的对称轴，且，则下列结论正确的是（）A.是奇函数 B.是的对称中心C.2是的周期 D.【答案】BD【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到，判断A；结合已知条件变形得到，判断B；利用赋值法求得，判断C；根据条件得到的周期为4，对称中心为，从而得到函数值即可求解，判断D.【详解】对于A，因为是的对称轴，所以，又因为，所以，故，即为偶函数，故A错误；对于B，因为，所以，又因为，联立得，所以的图像关于点中心对称，故B正确；对于C，因为，，则，即；因为，则，即，则；显然，所以2不是的周期，故C错误；对于D，因为是的对称轴，所以，又因为，即，则，所以，所以，即，所以周期为4，因为周期为4，对称中心为，所以，当时，代入，即，所以，所以，又是的对称轴，所以，所以，故D正确，故选：BD.11.波恩哈德·黎曼（～）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（）A. B.C. D.关于的不等式的解集为【答案】AB【解析】【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】对于选项A，当时，，当时，，而，当时，，若是无理数，则是无理数，有，若是有理数，则是有理数，当（为正整数，为最简真分数），则（为正整数，为最简真分数），此时，综上，时，所以选项A正确，对于选项B，当和无理数时，，显然有，当是正整数，是最简真分数时，，，故，当时，，有当时，，，有当为无理数，时，，有综上，所以选项B正确；对于选项C，取，则，而，所以选项C错误，对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立，当（为正整数，互质），由，得到，整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，所以可以取或，所以选项D错误，故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是______..【答案】【解析】【分析】根据集合运算求得，可得，结合Venn图中阴影部分表示的集合为，即可得答案.【详解】由于全集，，，故，则，故Venn图中阴影部分表示的集合为，故答案为：13.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据倍角公式即的取值范围从而可求解.【详解】由题意知，，所以，所以，，所以．故答案为：.14.已知函数，若，则关于的不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】计算出，函数关于点中心对称，得到有唯一的解，求出函数的单调性，结合题目条件得到，进而得到分段函数解析式，计算出，故，结合函数单调性得到不等式.【详解】由题意，得，，所以，即函数关于点中心对称．因为恒成立，所以当时，，当时，．所以有唯一的解．，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，又，，故在R上单调递增，，由对称性可知，下面证明，过程如下：若时，则，且，则，，，此时，同理可得当时，，当，即时，，，满足，即．故，当时，，当时，令，解得，当时，，又不等式，所以．由，得．由，得．所以原不等式的解集为．故答案为：【点睛】函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象经过点．（1）求的值，判断的单调性并说明理由；（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；是上的单调递增函数，理由见解析；（2）,【解析】【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围．【小问1详解】函数经过点，所以，解得，即，，则是上的单调递增函数，理由如下：任取、x2∈R，且，则，则，所以，即，所以是定义域上的单调递增函数．【小问2详解】因为，故是奇函数且在上单调递增，则不等式等价于，所以，即，即存在,不等式有解，即在,上有解，由,，可得，由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，且，故在的最大值为，所以，即所以，即实数的取值范围是,．16.杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.（1）若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?（2）现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米.3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，.“汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且则哪台机器狗用的时间最少?请说明理由.【答案】（1）（2）“汪1”用的时间最少，理由见解析【解析】【分析】（1）平均成本为，利用比较不等式，即可求解函数的最值；（2）利用速度，时间和路程的关系，分别求解，，，再根据不等式，比较时间大小，即可求解.【小问1详解】由题意，购买台“机器狗”的总成本为，则每台机器狗的平均成本为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台.【小问2详解】由题意，“汪1”满足，可得，“汪2”满足，可得，“汪3”满足，，，所以，因为，，且，所以可得，则，所以，所以“汪1”用的时间最少.17.筒车（chinesenoria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为．（1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式；（2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t．（参考公式：，）【答案】（1）（2），或．【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，根据题意求出得到函数的解析式；

（2）由，求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可．【小问1详解】以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，由题意知，，，∴，，即，当时，，解得，结合图像初始位置可知，又因为，所以，综上．【小问2详解】经过后A距离水面的高度，由题意知，所以经过后B距离水面的高度，则盛水筒B与盛水筒A的高度差为，利用，，当，即时，H取最大值，又因为，所以当或时，H取最大值，综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为，此时或．18.某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．（1）若注射药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于时对应的时间段；（2）由两次注射血药浓度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．【小问1详解】注射该药品，其浓度为当时，，解得；当时，，解得．所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时．【小问2详解】设从第一次注射起，经小时后，其浓度，则，因，当时，即时，等号成立．，当时，，所以，因为，解得，所以．当时，，，所以不能保证持续有效，答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为．【点睛】方法点睛：分段函数模型的应用：在现实生活中，很多问题的两变是之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，分段函数模型适用于描述在不同区间上函数值的变化情况，分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规