19.3 一次函数的图象与性质（解析版）

八年级下册数学《第十九章一次函数》19.3一次函数的图象与性质知识点一知识点一一次函数的概念◆一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④当b=0时,y＝kx+b即y＝kx，一次函数转化为正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数．⑤若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．知识点二知识点二一次函数的图象和性质◆1、一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（-bk，0我们称它为直线y＝kx+b（k≠0）.◆2、一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．◆3、一次函数图象与系数的关系直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．◆4、一次函数图象的画法：（1）两点法：经过两点（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．平移法：将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；题型一一次函数的概念题型一一次函数的概念【例题1】（2022秋•九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（）A．y＝x2+1 B．y=1x C．y＝x D．y＝x（x﹣【分析】根据一次函数的定义解答即可．【解答】解：A、y＝x2+1，是二次函数，故此选项不符合题意；B、x在分母中，不是一次函数，故此选项不符合题意；C、y＝x是一次函数，故此选项符合题意；D、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数，故此选项符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．解题技巧提炼判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数.【变式1-1】（2021春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（）A．y=2x-1 B．y＝xC．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意；B．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；C．当k＝0时，不是一次函数，故本选项不符合题意；D．是一次函数，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数．【变式1-2】（2022秋•任城区校级期末）下列函数中，一次函数是（）A．y=1x+2 B．y＝﹣C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数逐一判断即可．【解答】解：A．y=1B．y＝﹣2x是一次函数，符合题意；C．y＝x2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；D．y＝mx+n（m，n是常数）中m＝0时，不是一次函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【变式1-3】（2021秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（）A．y=7x B．y=25x C．y=12-3x【分析】直接根据一次函数的定义进行判断．【解答】解：y＝﹣x+4，y=25x，y=12-3故选：A．【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数．【变式1-4】（2022春•衡阳月考）下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y=1A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据一次函数的定义解答即可．【解答】解：①y＝x是一次函数；②y＝11﹣2x是一次函数；③y＝x2+2是二次函数；④y=1一次函数有2个，故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式1-5】（2022秋•陈仓区期中）已知下列函数：（1）y＝8x；（2）y=-8x；（3）y＝8x2；（4）s＝8tA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据一次函数的定义（一次函数的一般形式为y＝kx+b，其中k，b为常数，k≠0）即可得．【解答】解：由一次函数的定义可知，函数y＝8x和s＝8t+1是一次函数，函数y=-8x和y＝8x即一次函数有2个，故选：C．【点评】本题考查了一次函数，熟记定义是解题关键．【变式1-6】（2022春•南关区校级月考）下列函数中，y是x的一次函数的有（）①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【解答】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④y=18x，共故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．题型二利用一次函数的定义求字母的值题型二利用一次函数的定义求字母的值【例题2】（2022春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）xk2-3+b是关于x的一次函数，则k的值为【分析】根据一次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的值即可．【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）xk2-3+∴k-2≠0k∴k＝﹣2．故答案为：k＝﹣2．【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．解题技巧提炼根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的解析式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0.【变式2-1】（2022秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为．【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解．【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0且|m|＝1，则m＝﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，是解题关键．【变式2-2】（2022春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2-8+4是关于是（）A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可．【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）xm2-8+∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+m+2是关于x的一次函数，则m满足的条件是．【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值．【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，由|m|﹣1＝1，解得：m＝﹣2或2，又m﹣2≠0，m≠2，则m＝﹣2．故答案为：m＝﹣2．【点评】此题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题关键，难度不大，注意基础概念的掌握．【变式2-4】（2022秋•碑林区校级月考）一次函数y=(a-32)x|2-a|+a【分析】根据一次函数的定义和性质列式计算即可．【解答】解：∵一次函数y＝（a-32）x|2﹣a|+a2∴|2-a|=1a-解得：a＝1或a＝3，∵1-32∴a＝1不符合题意舍去，∴a＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义和性质．【变式2-5】已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得3-|m|=1m-2≠0解得m＝﹣2．故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；（2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x=1故当x=12时，y的值为【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式2-6】（2022春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，解得：m≠2；（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．题型三画一次函数的图象题型三画一次函数的图象【例题3】（2021春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．（1）y＝﹣3x+4．（2）y＝3x+4．【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4，当y＝﹣2时，x＝2，因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）；（2）当x＝0时，y＝0+4＝4，当y＝﹣2时，x＝﹣2，因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）；如图所示：【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法．解题技巧提炼一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（-bk，0）作直线y＝kx+【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（）A． B． C． D．【分析】直接根据一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：一次函数y＝x﹣1中，∵k＝1＞0，b＝﹣1＜0，∴函数图象经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限是解题的关键．【变式3-2】画出函数y＝﹣2x+1的图象．【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．【解答】解：函数y＝﹣2x+1经过点（0，1），（12，0图象如图所示：【点评】本题考查一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线，属于中考常考题型．【变式3-3】在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1．【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3；先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1．【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x．当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3；作直线y＝2x．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示．将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1．方法二：作直线y＝﹣2x+3．当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．作直线y＝2x﹣1．当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示．【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在．【变式3-4】（2022春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．（1）求m的值；（2）在如图中画出该函数图象；（3）y的值随x的值的增大而．（填“增大”或“减小”）【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案；（2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可；（3）根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得m-2≠0|m-1|=1解得m＝0，函数解析式为y＝﹣2x+4，（2）∵y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0，过（0，4）和（2，0）画一条直线即可，〇（3）∵k＝﹣2，∴y的值随x的值的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式3-5】（2021春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象．（1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（2）求三角形AOB的面积．【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可找到A、B两点的坐标．（2）由图象易知△AOB为直角三角形，找到OA、OB的值即可计算出其面积．【解答】解：y＝x﹣2图象如下图所示：（1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2；故A（2，0）、B（0，﹣2），（2）由图象可知：△AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2，∴S△AOB=12【点评】本题考查一次函数的图象特点，熟练一次函数性质以及数形结合是解决本题的关键．题型四题型四一次函数的图象的位置与系数的关系【例题4】（2022秋•武侯区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围．【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．解题技巧提炼一次函数图象与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．【变式4-1】（2022秋•阜宁县期末）一次函数y＝kx+b如图，则下列结论正确的是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【解答】解：如图所示，一次函数y＝kx+b的图象，y随x的增大而减小，所以k＜0，直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．故选：D．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．【变式4-2】（2022秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（）A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限，即可得出﹣m＞0、n﹣2＞0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象经过第一、二、三象限，∴-m＞∴m＜0，n＞2．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．【变式4-3】（2022秋•市中区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【分析】由图象得y随x的增大而减小，那么自变量系数应小于0；图象与y轴的交点在y轴的负半轴可以确定b的符号．【解答】解：∵由图象得y随x的增大而减小，∴k＜0，∵图象与y轴交于y轴的负半轴，∴b＜0，故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象性质：y随x的增大而减小，比例系数小于0，难度不大．【变式4-4】（2022秋•锦江区校级期末）下列图象中，是一次函数y＝kx+b（其中k＞0，b＜0）的图象的是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0可得出函数图象经过的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中k＞0，b＜0，∴函数图象经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．【变式4-5】（2021秋•济南期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k＜0）的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k＜0），b＝3，∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【变式4-6】（2022秋•迎江区校级期末）一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝mx﹣m的图象经过第一、三、四象限或一、二、四象限，此题得解．【解答】解：由A选项：由一次函数经过第一、三象限，则m＞0，则﹣m＜0，故图象经过第一、三、四象限，C选项图象经过原点，则m＝0，不合题意；由D选项一次函数经过第二、四象限，则m＜0，则﹣m＞0，故图象经过第一、二、四象限，故只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．【变式4-7】（2022秋•沭阳县期末）直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．【解答】解：A、两条直线反映出k＞0和b＜0，一致，故本选项正确；B、一条直线反映b＞0，一条直线反映b＜0，故本选项错误；C、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误；D、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误．故选：A．【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．【变式4-8】（2022秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】先根据题意判断出k、b的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小，∴k＜0．∵kb＜0，∴b＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．题型五一次函数与正比例函数之间的关系题型五一次函数与正比例函数之间的关系【例题5】（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（）A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6【分析】根据函数图象平移的法则得出平移后的解析式，求出k，b的值即可．【解答】解：直线y＝kx向右平移3个单位的解析式为y＝k（x﹣3）＝kx﹣3k，∵直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，∴k＝2，b＝﹣3k，∴b＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．解题技巧提炼一次函数与正比例函数图象之间的关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．【变式5-1】（2022秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（）A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到 C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝2x+1．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．【变式5-2】（2023•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为．【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（m，0），即可求出m的值．【解答】解：将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到y＝3（x+2）﹣3，即y＝3x+3，∵平移后的直线与x轴交于（m，0），∴0＝3m+3，解得m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【变式5-3】（2022秋•烟台期末）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是．【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”即可确定平移后的函数表达式．【解答】解：根据题意，平移后的直线表达式为y＝﹣2x﹣3，故答案为：y＝﹣2x﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．【变式5-4】（2021春•白云区期末）函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向平移个单位长度而得到．【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的．故答案为：上，1．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．【变式5-5】（2022秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是．【分析】根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．【解答】解：直线y＝2x向上平移6个单位长度得到：y＝2x+6，令y＝0，即2x+6＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，得y＝6，所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣3，0）与（0，6），所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：12故答案为：9．【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．【变式5-6】（2022秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）．（1）求平移后的函数表达式；（2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）根据平移不改变k的值可设y＝3x+b，然后将点（1，4）代入即可得出直线的函数解析式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）设平移后的函数解析式为y＝3x+b，则由题意，得4＝3×1+b，解得：b＝1．∴函数解析式为：y＝3x+1．（2）令x＝0，则y＝1；令y＝0，则3x+1＝0，解得x=-1∴直线y＝3x+1与坐标轴的交点坐标为（-13，0），（0，∴平移后的函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积=1【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键．题型六题型六利用一次函数的性质解决问题【例题6】（2022秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．解题技巧提炼1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．【变式6-1】（2022秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【分析】先根据一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3中，y随x的增大而减小，∴k＜0，∴此函数图象必过二、四象限；∵b＝﹣3＜0，∴此函数图象与y轴相交于负半轴，∴此函数图象经过二、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，此函数图象经过二、四象限；当b＜0时，此函数图象交y轴于负半轴．【变式6-2】（2022秋•蒲城县期末）若点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，则y1，y2的大小关系是．（用“＜”连接）【分析】由k＝﹣4＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜5，即可得出y2＜y1．【解答】解：∵k＝﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点（﹣2，y1），（5，y2）在一次函数y＝﹣4x﹣3的图象上，﹣2＜5，∴y2＜y1．故答案为：y2＜y1．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-3】（2022秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a2．（填＞，＜，＝）【分析】由当x1＜x2时，y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质，可得出a﹣2＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴y随x的增大而减小，∴a﹣2＜0，∴a＜2．故答案为：＜．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x1﹣x2＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•东平县校级期末）一次函数y＝kx+m（k＜0）的图象过点A（1-2，a），B（1，b），C（﹣1，c），则a，b，cA．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜1-2＜1，即可得出c＞a＞【解答】解：∵k＜0，∴y随x的增大而减小，又∵一次函数y＝kx+m的图象过点A（1-2，a），B（1，b），C（﹣1，c），且﹣1＜1-2∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式6-6】（2023•南岸区校级开学）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项是（）A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）【分析】根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：直线y＝﹣x﹣3中，k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，A、∵k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；B、∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；C、∵当y＝0时，x＝﹣3，∴与x轴交于（﹣3，0），原说法错误，故本选项符合题意；D、∵当x＝0时，y＝﹣3，∴与y轴交于（0，﹣3），正确，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．【变式6-7】（2021秋•九龙坡区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围．（2）若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．【分析】（1）若这个函数的图象与y轴交于负半轴，可得m﹣3＜0且2m+1≠0，依此即可求解；（2）根据图象不经过第四象限，说明图象经过第一、三象限或第一、二、三象限，要分情况讨论．【解答】解：（1）由已知得，m﹣3＜0且2m+1≠0，解得m＜3且m≠-1m的取值范围是m＜3且m≠-1（2）若图象经过第一、三象限，得2m+1＞0且m﹣3＝0，解得m＝3；若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0m-3＞0故m的取值范围是m≥3．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，需熟练掌握①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．【变式6-8】已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m），（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；（4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．【分析】根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号．【解答】解：（1）∵函数值y随自变量x的增大而减小，∴m﹣3＜0，解得，m＜3；（2）∵函数图象与y轴的交点于x下方，∴2﹣m＜0，解得，m＞2．又m﹣3≠0即m≠3．综上所述，m的取值范围是m＞2且m≠3；（3）∵函数图象经过二、三、四象限，∴m-3＜解得，2＜m＜3；（4）当m＝4时，该函数解析式为y＝x﹣2．当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝2，则该直线与两坐标轴所围成的面积是：12×|﹣2|×2＝【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．题型七题型七一次函数的平移【例题7】（2022秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（）A．将直线l1向上平移6个单位 B．将直线l1向上平移3个单位 C．将直线l1向上平移2个单位 D．将直线l1向上平移4个单位【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：设直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后的解析式为y＝﹣2x﹣2+k，∵将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+4，∴﹣2x﹣2+k＝﹣2x+4，解得：k＝6，故将l1向是平移6个单位长度．故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．解题技巧提炼一次函数图象式平移规律：一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”.①y=kx+b向左平移m个单位是y=k(x+m)+b,向右平移m个单位是y=k(x﹣m)+b；②y=kx+b向上平移n个单位是y=kx+b+n,向下平移n个单位是y=kx+b﹣n.【变式7-1】（2022秋•长安区校级期末）将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后得到的直线表达式是（）A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+9 D．y＝﹣2x﹣9【分析】根据一次函数图象的平移规律“上+下﹣”即可确定．【解答】解：将直线y＝﹣2x+7向上平移2个单位后，可得y＝﹣2x+7+2＝﹣2x+9，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．【变式7-2】（2022秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故选：D．【点评】本题考查”的原则是解答此题的关键．【变式7-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式为（）A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．【变式7-4】（2022秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数y＝2x+b的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．【解答】解：将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（﹣1+3，0+2），即（2，2），由题意，得：（2，2）在一次函数y＝2x+b的图象上，∴2＝2×2+b，∴b＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式是解题的关键．【变式7-5】（2022秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度 B．将1向左平移4个单位长度 C．将1向上平移4个单位长度 D．将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），∴6（x+a）﹣2＝6x+2，解得：a=2故将直线y＝6x﹣2向左平移23个单位后得到直线y＝6x+2同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．【变式7-6】（2022秋•汉台区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝2x+b+3，然后把（0，0）代入解得即可．【解答】解：将直线y＝2x+b沿y轴向上平移3个单位后得到y＝2x+b+3，∵经过原点，∴b+3＝0，解得b＝﹣3，故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．【变式7-7】（2022•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是．【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出平移后的解析式，从而求得k、b的值．【解答】解：∵一次函数y＝2x+1的左移2个单位，再向上移3个单位后所得图象的解析式是：y＝2（x+2）+1+3，即y＝2x+8，∴k＝2，b＝8，∴k+b＝10．故答案为：10．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．【变式7-8】（2022秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）．（1）求m的值；（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．【分析】（1）根据平移的性质可设一次函数的表达式为y＝x+m，再把点A（1，2）代入求出m的值即可；（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵一次函数的图象由函数y＝x向左平移m个单位长度得到，∴设一次函数的表达式为y＝x+m．∵一次函数的图象经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1；（2）由（1）得一次函数的表达式为y＝x+1，∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点B，令y＝0，则x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴SAOB∴△AOB的面积为1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．题型八题型八一次函数的图象上点的坐标特征【例题8】（2022秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A．(32)2022 B．(32)2003【分析】设点A2，A3，A4…，A2023坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．【解答】解：如图，∵A1（1，1）在直线y=1∴b=4∴y=15x设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2022（x2022，y2022），则有y2=15x2y3=15x3…y2021=15x2021又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，∴x2＝2y1+y2，x3＝2y1+2y2+y3，…x2023＝2y1+2y2+2y3+…+2y2022+y2023，将点坐标依次代入直线解析式得到：y2=12y1y3=12y1+12y2+1y4=32y…y2022=32y又∵y1＝1，∴y2=3y3＝（32）2y4＝（32）3…y2023＝（32）2022故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．解题技巧提炼一次函数解析式y＝kx+b（k≠0，且k,b为常数）的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是（-bk，0），与y轴的交点坐标是（0，b标都满足函数解析式y＝kx+b.【变式8-1】（2022秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3A．（1516，14） B．（3132，18） C．（34，1） D【分析】根据解析式，可得函数与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据S△ABC＝△ABD+△ACD，可得点D到x轴的距离，代入直线y＝﹣4x+4，可得答案．【解答】解：∵直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，0=43x+4，解得x＝﹣∴A（﹣3，0），B（0，4），∴AB=32∵直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴当y＝0时，0＝﹣4x+4，解得x＝1，∴C（1，0），∴AC＝4，过点D作DH⊥x轴于H，∵S△ABC＝△ABD+△ACD，点D到直线AB的距离DE长为3，∴12×4×4=12×5×∴DH=1∴点D的纵坐标为14∵点D在线段BC：y＝﹣4x+4上，∴14=-4x+4，解得x∴点D的坐标为（1516，1故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式8-2】（2022春•江汉区校级月考）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S．（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象；（