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文档简介
安徽省合肥市2023-2024学年高三第二次调研数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格2.()A. B. C. D.3.某程序框图如图所示,若输出的,则判断框内为()A. B. C. D.4.已知非零向量满足,若夹角的余弦值为,且,则实数的值为()A. B. C.或 D.5.已知函数,若恒成立,则满足条件的的个数为()A.0 B.1 C.2 D.36.函数(其中,,)的图象如图,则此函数表达式为()A. B.C. D.7.若函数的图象过点,则它的一条对称轴方程可能是()A. B. C. D.8.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数9.是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()A.π B.π C.π D.2π11.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.312.已知定义在上的函数在区间上单调递增,且的图象关于对称,若实数满足,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是_______.14.已知双曲线C:()的左、右焦点为,,为双曲线C上一点,且,若线段与双曲线C交于另一点A,则的面积为______.15.的展开式中常数项是___________.16.如图,在中,,,,点在边上,且,将射线绕着逆时针方向旋转,并在所得射线上取一点,使得,连接,则的面积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)(1)已知数列满足:,且(为非零常数,),求数列的前项和;(2)已知数列满足:(ⅰ)对任意的;(ⅱ)对任意的,,且.①若,求数列是等比数列的充要条件.②求证:数列是等比数列,其中.18.(12分)已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)如图,已知四棱锥的底面是等腰梯形,,,,,为等边三角形,且点P在底面上的射影为的中点G,点E在线段上,且.(1)求证:平面.(2)求二面角的余弦值.20.(12分)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照,,,分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天,求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率;试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱瓶,批发成本元;小箱每箱瓶,批发成本元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为时看作销量为瓶).①设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,求和的分布列和数学期望;②以利润作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?注:销售额=销量×定价;利润=销售额-批发成本.21.(12分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及.22.(10分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,点Q为AE的中点.(1)求证:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC与平面DQF所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.2、B【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3、C【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表:KS是否继续循环循环前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循环的条件应为k>5?本题选择C选项.点睛:使用循环结构寻数时,要明确数字的结构特征,决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数.尤其是统计数时,注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.4、D【解析】
根据向量垂直则数量积为零,结合以及夹角的余弦值,即可求得参数值.【详解】依题意,得,即.将代入可得,,解得(舍去).故选:D.【点睛】本题考查向量数量积的应用,涉及由向量垂直求参数值,属基础题.5、C【解析】
由不等式恒成立问题分类讨论:①当,②当,③当,考查方程的解的个数,综合①②③得解.【详解】①当时,,满足题意,②当时,,,,,故不恒成立,③当时,设,,令,得,,得,下面考查方程的解的个数,设(a),则(a)由导数的应用可得:(a)在为减函数,在,为增函数,则(a),即有一解,又,均为增函数,所以存在1个使得成立,综合①②③得:满足条件的的个数是2个,故选:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属难度较大的题型.6、B【解析】
由图象的顶点坐标求出,由周期求出,通过图象经过点,求出,从而得出函数解析式.【详解】解:由图象知,,则,图中的点应对应正弦曲线中的点,所以,解得,故函数表达式为.故选:B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质,三角函数的解析式等基础知识;考查考生的化归与转化思想,数形结合思想,属于基础题.7、B【解析】
把已知点坐标代入求出,然后验证各选项.【详解】由题意,,或,,不妨取或,若,则函数为,四个选项都不合题意,若,则函数为,只有时,,即是对称轴.故选:B.【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴,掌握正弦函数的性质是解题关键.8、D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.9、B【解析】
分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】所以(逆否命题)必要性成立当,不充分故是必要不充分条件,答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件,属于简单题.10、C【解析】
两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故选C.11、C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;12、C【解析】
根据题意,由函数的图象变换分析可得函数为偶函数,又由函数在区间上单调递增,分析可得,解可得的取值范围,即可得答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,由于函数的图象关于直线对称,则函数的图象关于轴对称,即函数为偶函数,由,得,函数在区间上单调递增,则,得,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式,注意分析函数的奇偶性,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用坐标表示成圆的方程,与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理,则更为简洁.【详解】方法1:由题意可知,由中位线定理可得,设可得,联立方程可解得(舍),点在椭圆上且在轴的上方,求得,所以方法2:焦半径公式应用解析1:由题意可知,由中位线定理可得,即求得,所以.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.14、【解析】
由已知得即,,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.【详解】由已知得,又,,所以,解得或,由在双曲线C上,所以或,所以或(舍去),因此双曲线C的方程为.又,所以线段的方程为,与双曲线C的方程联立消去x整理得,所以,,所以点A坐标为,所以.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.15、-160【解析】试题分析:常数项为.考点:二项展开式系数问题.16、【解析】
由余弦定理求得,再结合正弦定理得,进而得,得,则面积可求【详解】由,得,解得.因为,所以,,所以.又因为,所以.因为,所以.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,考查运算求解能力,是中档题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)①;②证明见解析.【解析】
(1)由条件可得,结合等差数列的定义和通项公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,运用已知条件和等比数列的性质,即可得到所求充要条件;②当,,,由等比数列的定义和不等式的性质,化简变形,即可得到所求结论.【详解】解:(1),,且为非零常数,,,可得,可得数列的首项为,公差为的等差数列,可得,前项和为;(2)①若,可令,,且,即,,,,对任意的,,可得,可得,,数列是等比数列,则,,可得,,即,又,即有,即,数列是等比数列的充要条件为;②证明:对任意的,,,,,当,,,可得,即以为首项、为公比的等比数列;同理可得以为首项、为公比的等比数列;对任意的,,可得,即有,所以对,,,可得,,即且,则,可令,故数列,,,,,,,,,是以为首项,为公比的等比数列,其中.【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法和推理、运算能力,属于难题.18、(1);(2).【解析】试题分析:(1)设公差为,列出关于的方程组,求解的值,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)可得,即可利用裂项相消求解数列的和.试题解析:(1)设公差为.由已知得,解得或(舍去),所以,故.(2),考点:等差数列的通项公式;数列的求和.19、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证;(2)取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】(1)在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,,,,,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.(2)取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由(1)易知,,,又,,,为等边三角形,,则,,,,,,,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面与平面的夹角为θ,则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.20、;①详见解析;②应该批发一大箱.【解析】
酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为,设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.①若早餐店批发一大箱,批发成本为元,依题意,销量有,,,四种情况,分别求出相应概率,列出分布列,求出的数学期望,若早餐店批发一小箱,批发成本为元,依题意,销量有,两种情况,分别求出相应概率,由此求出的分布列和数学期望;②根据①中的计算结果,,从而早餐应该批发一大箱.【详解】解:根据图中数据,酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为.设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批发一大箱,批发成本为元,依题意,销量有,,,四种情况.当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元.随机变量的分布列为所以(元)若早餐店批发一小箱,批
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