专题17-三元一次方程组的解法(解析版)

*专题17三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法：通过“代入〞或“加减〞进行消元,将“三元〞化为“二元〞,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程．【例1】〔2021·上海市静安区实验中学课时练习〕【答案】【解析】,①＋②＋③得：,即,④－①得：④－②得：④－③得：故方程组的解为：【名师点睛】此题考查加减消元法求解三元一次方程组,解题的关键是利用加减消元法求出．【举一反三】1．〔2021·上海市静安区实验中学课时练习〕【答案】【解析】把①代入②得：,把,代入③得：,故方程组的解为【名师点睛】此题考查解三元一次方程组,解题的关键是掌握代入消元法．2．〔2021·上海市静安区实验中学课时练习〕【答案】【解析】把②分别代入方程①③得：,解得,,所以,,故原方程组的解为【名师点睛】此题考查解三元一次方程组,解题的关键是经过代入消元法把原方程组变成二元一次方程组求解．3．〔2021·上海市静安区实验中学课时练习〕【答案】【解析】③－①得：即,④＋②得：,把代入④得：把代入①得：故方程组的解为：【名师点睛】此题考查解三元一次方程组,解题的关键是熟练运用消元法将其转化为二元一次方程组．1．〔2021·四川省初一期末〕以下四组数中,是方程组的解是()A．B．C．D．【答案】A【解析】把x=1,y=-2代入〔2〕得,z=3,∴.应选D.2．〔2021·云南省初一期中〕如果方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8,那么k＝〔〕A．B．﹣C．3D．﹣3【答案】A【解析】①﹣②,得x﹣z＝2④③+④,得2x＝6,解得,x＝3将x＝3代入①,得y＝5,将x＝3代入③,得z＝1,故原方程组的解是,又∵方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8,∴3k+2×5﹣3×1＝8,解得,k＝,应选：A．【名师点睛】此题考查了解方程组的问题,掌握解方程组的方法是解题的关键．3．〔2021·南昌二中高新校区初三期中〕三元一次方程组,那么〔〕A．20B．30C．35D．70【答案】C【解析】,①+②+③得：2〔x+y+z〕=70,那么x+y+z=35．应选C．【名师点睛】此题考查了解三元一次方程组,此题的关键是将三个方程相加得出结果.4．〔2021·山东省初三零模〕在国家倡导的“阳光体育〞活动中,老师给小明30元钱,让他买三样体育用品；大绳,小绳,毽子．其中大绳至多买两条,大绳每条10元,小绳每条3元,毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下,买法共有〔〕A．6种B．7种C．8种D．9种【答案】D【解析】试题解析：设大绳买了x条,小绳条数y条,毽子z个,那么有：根据,得x=1或2,当x=1时,有z=20-3y,此时有：y值可取1,2,3,4,5,6；共六种；当x=2时,有z=10-3y,此时有：y值可取1,2,3；共三种.所以共有9种买法.应选D.5．〔2021·许昌市第二中学初一月考〕假设二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1,y＝kx－9有公共解,那么k的取值为()．A．3B．－3C．－4D．4【答案】D【解析】由题意,得：解得：将代入y=kx-9中,得：-1=2k-9,解得：k=4.应选D.【名师点睛】此题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法,有加减法和代入法两种,一般选用加减法解二元一次方程组较简单.6．〔2021·全国初一课时练习〕解方程组,把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组,需要经过如下的步骤,请你选出正确的步骤〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】A选项：得,得,故正确；B选项：得,得,故错误；C选项：得,得,故错误；D选项：得,得,故错误.应选：A.【名师点睛】考查了解三元一次方程组,解题关键是利用了消元的思想,消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．〔2021·湖北省初一期中〕解三元一次方程组【答案】【解析】②-①,得；④③-①,得.⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组,得把代入①,得.因此8．〔2021·灵璧县邱庙初级中学初二月考〕解以下方程组(1)(2)【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】(1),①-②得y-z=-2,与③联立得2y=17,那么y=,那么分别代入①,③求得x=,z=.故〔2〕,由①可得：,代入②中得：,解得x=,代入①中得y=7故.【名师点睛】此题考查二元一次方程组、三元一次方程组,解题关键在于掌握消元法解方程组.9．〔2021·福建省初一期末〕由不同生产商提供套校服参加比选,甲、乙、两三个同学分别参加比选,比选后结果是：每套校服至少有一人选中,且每人都选中了其中的套校服．如果将其中只有人选中的校服称作“不受欢送校服〞,人选中的校服称作“颇受欢送校服〞,人都选中的校服称作“最受欢送校服〞,那么“不受欢送校服〞比“最受欢送校服〞多________________套．【答案】2【解析】设“最受欢送校服〞的套数为x,“颇受欢送校服〞的套数为y,“不受欢送校服〞的套数为z,根据题意可得②-①得2x+y=8③①-③得z-x=2即“不受欢送校服〞比“最受欢送校服〞多2套故答案为：2．【名师点睛】此题主要考查三元一次方程组的应用,解题的关键是根据题意找到数量关系得到方程组求解．10．〔2021·永州市李达中学初一月考〕有甲、乙、丙三种商品,如果甲购3件,乙2件,丙1件共需420元,购甲1件,乙2件,丙3件共需380元,那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需__________．【答案】200元．【解析】设购甲,乙,丙三种商品各一件需要x元、y元、z元．

根据题意,得,两方程相加,得

4x+4y+4z=800,

∴x+y+z=200．

那么购甲,乙,丙三种商品各一件共需200元．故答案是：200元．【名师点睛】此题考查三元一次方程组的应用,要注意观察方程组的系数,能够运用加减法整体求解．11．〔2021·山东省初一期中〕解关于、、的三元一次方程组,得______．【答案】2【解析】,由①+②得：2x+4y=−2,即x+2y=−1,由②×3+③得：3x+11y=−8,解方程组,解得：,将y=−1代入②得：z=−2,∴,故答案为：2．【名师点睛】此题主要考查了三元一次方程组的解法,在解题的过程中用到了转化思想、消元法等重要的数学思想方法,应熟练掌握．12．〔2021·江苏省初一期中〕x+2y﹣3z=0,2x+3y+5z=0〔〕,那么=_____．【答案】【解析】由题意得：,①×2-②得y=11z,代入①得x=-19z,原式=．故此题答案为：．点睛：此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做数来处理,转化为二元一次方程组来解．13．〔2021·全国初一课时练习〕一个三位数,各个数位上数字之和为10,百位数字比十位数字大1,如果百位数字与个位数字对调,那么所得新数比原数的3倍还大61,那么原来的三位数是____.【答案】217【解析】设个位上的数字是x,那么十位上的数字为y,百位上的数字为z

依题意得:

解得

所以,原来的三位数字是217.【名师点睛】此题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法,解答此题的关键是列出方程组,用代入消元法或加减消元法求出方程组的解.14．〔2021·全国初一课时练习〕有A,B,C三种不同的货物,如果购置A种货物3件、B种货物7件、C种货物1件,需付人民币315元；如果购置A种货物4件、B种货物10件、C种货物1件,需付人民币420元,某人想购置A,B,C各一件,需付________元.【答案】105【解析】设A,B,C三种不同