中学数学公式

因整数自然数)

整数舂

〔负整数

有理数'

实数的分类】实数，分数匹鳖?”无限循环小数

［负无理数J

无理数［氏胃k限不循环小数

、［负无理数j

【自然数】表示物体个数的1、2、3、4…等都称为自然数

一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个

【质数与合数】数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除,

那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。

【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。

一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。

若&是实数，则：

fa(a>0)

【绝对值】

|a|=sO(a=0)

、a(a<0)

从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。

【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。

【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b,那么这个有理数b叫做完全平方数。

【方根】如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数叫做a的n次方根。

【开方】求一数的方根的运算叫做开方。

【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。

用有限次运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结所得

【代数式】

的式子，叫做代数式。

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的

【代数式的值】

代数式的值。

代数式卜理式｛分式

【代数式的分类】

无理式

【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式

【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式

【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式

【分式】除式中含字母的有理式叫分式

加法交换律：&+b=b+a

＜卜加法结合律：(。+与+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

【有理数的运算律】

乘法交换律：ba

乘法对加法的分配律：a(b+c)=岫+4c

若贝1］口±c=b±c

【等式的性质】若&=b贝必c=be

若&=b且c#0则&L=5.L

cC

平方差公式:g+妨（"3=>->

【乘法公式】立方和(差)公式@士颁JTab+b2')=a3±b3

完全平方公式Q土歹"2±2海+廿

提取公因式法：ma+mb-mc=m(a+b-c)

应用公式法：

(a+&)(a-b)=a2-b2

(a土以『铀8+七2)=1±63

(a±b)2=a2±2ab+b2

十字相乘法：

【因式分解】x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

求根公式法：

ax+bx+c=&(K-XD(K->2)

-b+yb^—4ac

Xi=-------------------

其中超______

-4ac

x2二--------------------------------

22a

方程含有未知数的等式叫做方程。

【方程】方程的解在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。

一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方

【无次方程】程它的标准形式是：&>+b=0(a#0)

一元二次方程：ax2+bx+c=03*0)

求根公式：x=「±'¥@2-4ac>0)

2a

根的判别式：A=b2-4ac

/当A>0B寸，有两个不相等的实数根

［当时，有两个相等的实数根

【一元二次方程】A=0

［当时，没有实数根

根与系数的关系：设勺、心为一元二次方程：

ax2+bx+c=0(a工0)的两个根，贝U：

bc

勺+与=一一勺•n=一

aa

【集合】指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。

J有限集：含有有限个元素的集合

【集合的分类】［无限集：含有无限个元素的集合

［列举法：把集合中的元素一一列举，马在在括号内表示集合的方法

【耒”的表小万法】［描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内的方法

性质

(r)A^A

⑵中〜

(3)若4=8

BQC

则AcC

(1冲uA

真(人为非空子集)

/£5至少有beB

子(2)若H£B

b交A^Ac:B

集BgC

则AcC

(I)A^A=A

父AcB={x\x€AS.X€E\(2)J4c中=中

集(3)Ar.BQA

J4c8cB

(Y)A^>A=A

并(2)J4U中=A

A^JB={x\x^A^x€E}

集(3)A^B^A

(1)/DN=A

补A={x\xeI^,xeA,Q)J4CN=B

集R6(3)Ar.B=A^B

(4)不7§=Nc百

函数的性质定义判定方法

①利用定义

函如果对一函数f(x)定义域内任意一个X,Q)用等价例题：

都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数；是奇函数o

函数的奇偶性

函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,/(*)+/(-*)=0

都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数/③是偶函数o

对于给定的区间上的函数f(x):

(1)如果对干属于这个区间的任意两个

自变的值*卜孙,当为<》2时，都有(1)利用定义

f</(心),则/'(力在这个区间是增(2)利用己知函数的单调性

函数的单调性函数(3)利用函数图象

①如果对于属干这个区间的任意两个(4)根据复合函数单调性的有

自变的值为、心，当、1<彳2时，都有关结论

/(%1)>“心)，则/。)在这个区间是减

函数

对于函数f(x),如果存在一个不为零的常(1)利用定义

数T,使得当x取定义域内的每一个值时，

函数的周期性f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)(2)利用己知函数的周期

叫做周期函数。不为零的常数T叫做这个

函数的周期。的有关定理。

函数

解析式定义域值域奇偶性单调性

名称

正比

兀>0增函数

例函y=从然#0)RR奇函数

比<0减函数

数

k>0Bt»在

(-oo,o),(0,+co)

反比

J=2(无*0)上减函数；

例函(-8,0)D(0,4€O)(-8,0)U(0,E)奇函数

X尢<0B寸，在

数

(-co,o),(0(+co)

上减函数。

b=0,时

&>O0t

奇函数

一次增函数

y=手0)RRb#。,时

函数&<0时

非奇非

减函数

偶函数

a>0吐在

(-8,一刍上

2a

是减函数

a>OBt,u

&=0,时在［--,+aS)

2/4ac-b'、2a

y=ax+bx+c(--7—，内)奇函数

二次4a上增函数

(0、b、c为常量Rb#。,时

函数a<。时，a<0吐在

其中a#0)非奇非

,4ac-b'

S，—：——]偶函数

4a

是增函数

上减函数

不等式用不等号把两个解析式连结起来的式r叫做不等式

⑴对称性：a>b<^>b<a

(2)传递性：a>b,b>c^>a>c

(3)加法单调性：a>b=>a+c>b+c

(4)乘法单调性：a>b,c>Q=>ac>be

a>b.c<0ac<bc

不等式

，/一(5)不等式相加：a>bfc>d+c>b+d

"JllJ"⑹不等式相乘：a>b>Q,c>d>Q>bd

(7)乘方法则：a>b>0=>an>bK(M€Mfiw>1)

G)开方法贝人a>b>U=痂>纸(n€NS-n>1)

(9)倒数法则：a>bfab>0^—<-

ab

含绝对值不等式的性质

(1)1昨。⑵10”

(3)||&|-田依&+》国口|+2|(4)M-网凶。-5国。1+网

(5)\a\<b^>-b<a<b。>0)(6)\a\>b<^a>b或a<-b(b>0)

几个重要的不等式

(1)«2>0(2)a2+b2>2abR)

(3)若>寂9、b€R+)当且仅当a=b时，取“=”号

(4)-+->2(ab>0)当且仅当a="寸，取“=”号

ab

(5)&+；+:2弘访c(a、b、6€尺当且仅当&=匕时，取“=”号

&]+。2+・・・+&xJ-------------.

(6)±―----------------2母&1&2…4(01、电、…、aneR

M€NKM>1)当且仅当。1=与=-，=%时，取"=”号

形式解集

元

>0{”x>-)

a

次

*<3

不a<Q

a

等ax>b

式b<QR

的

a=Q

解d>0中

法

一x\x<勺或r＞彳外

元1

ax+bx+c>0x\xeR^_x#-^-)

A=0

Q>0)

次

其中X「X।是一元二

不A<0R

次方程ax'+bx+c=。

等

A>031>1<xvx?}的两个根,且X1＜与

式

2

的ax+bx+c>0

A=0

解(a<6

法A<0

绝

a>。时{x\x<-a或x>a}

对

|x\>aa=OBt{x|x€R£X#0}

值

a<口时{x\xeR}

不

等

式

a>0时{x\-a<x<a}

的|x\<a0时中

解a<0时

法

无%>o

0x)2。H

理质5>g(x))rg(x)>0或

W<o

不i/«>ts«)2

等

式

%)>0'

的

x[.

解

If«<[§«)2

法

名

定义通项公式前n项的和公式其它

称

数按照一定次序排成一列的如果一个数列

列数叫做数列，记为{%}{aj的第n项3n

与n之间的关系

可以用一个公式

来表示，这个公

式就叫这个数列

的通项公式

等

&X一为常„*+%)

5及--等差中项

差2

数，Me2)4叫&怨=+(«-1)^a+b

数A=

做这个数列的公差=+----------d2

列2

等

为常数i-q

aa等比中项

比&-1l~~nQ/二八

4=生胃"Sx=«_Mqwi)

数n€N且x>2)q叫1-qG=

列这个数列的公比=1)

to

数列前n项和与通项的关系:

川16=1)

无穷等比数列所有项的和:s=

1-g

适用范围证明步骤注意事项

数

学设P(n)是关于自然n的一个命题，如果(1)

(1)第一步是递推的基础，第二步的推理根据,

归当n取第一个值n<)(例如：n=l或n=2)时,命

只适用于证明与自然数n有两步缺一不可

题成立(2)假设n=k时，命题成立，由此推出

纳关的数学命题

n=k+l时成立。那么P(n)对于一切自然数n

法(2)第二步的证明过程中必须使用归纳假设。

都成立。

•条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终

角

边，射线的端点叫做角的顶点。

角的单位制关系弧长公式扇形面积公式

1。=事弧度,nnr

角度制1801=----S

180南搀360

=0.01745弧度

疑度MS燃羚=前村户

弧度制i=\a\r

«57°18'

2

角位置角的集合

的在X轴正半轴上{a\a=nw%

终在X轴负半轴上{a|a=2月代+%月wN}

边在X轴上{a\a=€W)

江

在y轴上{a\a=M«-+y,M€N}

rr

在第一象限内{a\2Mrr<a<2nrr+y,»€Z}

衣

在第二象限内{a\2nrr+-<a<2Mrr€2}

3

在第三象限内{a|2月江+江<a<2wrr+—«：,«€Z)

3

在第四象限内{a|2wrr+—+2}

■一江江庐江3历

函数/角0——

特643iT

1点

sina0———10-10

殊222

.若虎1

cosa1————-0-101

222

角

忑

「不存

tana0—•175,o不存在o

3在

的

三

角

二§0不存在0不存在

cota不存在V51

函

数

fl'L

函数定义域值域奇偶性周期性单调性

i5[2kff-1,2fcrr+y]

三(尢€Z)上是增函数

［

y=sinxR-1』奇函数T=2点

角i3t[2krr+y,2k^+y]

（）上是减函数

函AeZ

在[2年加-€Z)

数

上是增函数

R17』偶函数

y=cosxT=2丸

在［2上%,2兀江+充］（上€Z）

的

上是减函数

性

在（从江一］,上"）

{x\KKXR+y

y=tanx%R奇函数T=北

质k/r+y,fc€/?)（A€Z）上是增函数

{x\X€夫且K关在（无明kn+庐）（小€Z）

y=cotxR奇函数

krr,比w?}上是减函数

角/函数正弦余弦正切余切

-a-sinacosa-tana-cota

90°acosasinacotatana

900+acosa-sina-cota-tana

180°-asina-cosa-tana-cota

180°+a-sina-cosatanacota

270°-a-cosa-sinacotatana

2700+a-cosasina-cota-tana

360°-a-sinacosa-tana-cota

葭360°+&

sinacosatanacota

(fc€Z)

倒数关

sina-csca=1cosasec。=1tanacota=1

系

商数关sin£3cosa

tana=-------cota=-------

同角公式系cosasina

平方关sinn+cosa=11+tan2a=sec2a

2

系1+cot2a=esca

和差角公式

sin24=2sinacosa

cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina

倍角公式

_2tana

tan2g=------—

1-tan2a

2

2tan-1-tan^2tan—

F■台匕/X#2

1+tan—1+tan—1-tan2—

222

.a,|1-cosa

sin-=±.--------

272

a[14-COSa

半角公式cos—-±V2

2

a,/l-cosa1-cosdasina

tan―-土

2VI+cosasina1+cosa

sinacos尸=—[sin(a+0+sin(a-/5)]

cosasin?=，[sin(a+为-sin(4-/?)]

积化和差公

式cosacosF=；[cos(i?+⑶+cos(a-创

sin£2sin?=-；[cosQ+Q)-cosQ-JJ)]

sina+sinp=2sin--——cos---

-双+?.a-P

sina-sinQa=2Qcos--——sin---

和差化

积公式--2+/a-0

cosa+cosp-2cos--——cos---

cosa-cosp=-2sin--——sin―--

引入虚数单位i,规定『=l,i可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原有加乘运算仍

复数的定义

然成立。形如：a+bi(a,b为实数)a—实部b--虚部

代

数

z=a+bi(a,beR)

形

式

笑数的表示形式

角z=r(cosa+isina)r='Ja2+b2

形模a—-辐角

式

(a+bi)土(c+di)=(a±c)+(h土切，

代(a+bi)(c-di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

数a+友—(a+b1)(c-di)ac+bdbe-ad

式c+di(c+di)(c-di)

(c、林同时为弯：)

rj(cos8]+»sin向)•^(cos62+，sin%)

复数的运算=7?[cos*1+%)+isin(6+8?)]

ri(cos8[+isin&)力

其='[COS©-&2)+"遮母-呢]

勺1(co:s/%+i.s.in%)r

角2

[r(cos^+isin5)]R=rn(cosn6+isinw0

式

r(cos8+，sin的的衿次方根是：

乳广，8+2上方.8+2k北、八一.、

w(cos------+Jsin------)(儿=1,2,­,M-1)

分类计数原理分步计数原理

做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办

做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有时

法中有g种方法，第二类办法中有m2种方

种方法，第二步中有m2种方法……，第n步中有小种

法……，第n类办法中有m0种方法，则完成这件

方法，则完成这件事共有：N=m1.m2.…•m”种方法。

事共有：N=mi+rri2+…+m”种方法。

注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还

是“分步骤”。

排歹U

组合

从n个不同的元素中取m(mWn)个元素，按照一

从n个不同的元素中，任取m(mWn)个元素并成一组,

定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中

叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。

取m个元素的排列。

排列数

组合数

从n个不同的元素中取m(mWn)个元素的所有从n个不同的元素中取m(mWn)个元素的所有组合的

排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,

元素的排列数，记为PJ