高考数学二轮复习压轴题专题16 平面向量（选填压轴题）（教师版）

专题16平面向量（选填压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①向量模问题（定值，最值，范围） 1②向量数量积（定值，最值，范围） 12③向量夹角（定值，最值，范围） 21④向量的其它问题 27①向量模问题（定值，最值，范围）1．（2023春·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两两的夹角相等，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．2 B．4或SKIPIF1<0 C．5 D．2或5【答案】D【详解】因为平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两的夹角为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当夹角为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当夹角为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D．2．（2023春·广西玉林·高一校联考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知非零向量SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以要使SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0也最小，显然SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.4．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知O为坐标原点，SKIPIF1<0，设动点C满足SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．2SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部或圆周上，又动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0三点不重合时，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为直径的圆，如图：当点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内时，延长SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0两点重合，SKIPIF1<0两点重合，所以SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上时取等号，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线时取等号，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0重合时取等号，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线且点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点处时取等号，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选：D.5．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0．向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【详解】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0,向量SKIPIF1<0均为单位向量，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.如图，设SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0是等边三角形.SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外且SKIPIF1<0为定值,所以SKIPIF1<0的轨迹是两段圆弧,SKIPIF1<0是弦AB所对的圆周角.因此：当AC是SKIPIF1<0所在圆(上述圆弧)的直径时,SKIPIF1<0取得最大值|AC|,在SKIPIF1<0中,由正弦定理可得:SKIPIF1<0.SKIPIF1<0取得最大值2.故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0可知,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，如图建立坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的终点在以SKIPIF1<0为圆心,1为半径的圆上，所以SKIPIF1<0，几何意义为SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离的2倍，由儿何意义可知SKIPIF1<0，故选：D.7．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且SKIPIF1<0，M为线段AB中点，其坐标为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0为直径的圆过点O，因为M为线段AB中点，坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，几何意义为圆M的半径与点M到直线SKIPIF1<0的距离相等，即圆M与直线SKIPIF1<0相切，则圆M的半径最小值为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的一半，即SKIPIF1<0.故选：B8．（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，如图示，设SKIPIF1<0，故不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，所以C点在以AB为直径的圆上运动，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,AB的中点为SKIPIF1<0，则以AB为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B9．（2023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则对任意实数t，SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，如图，

由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的终点SKIPIF1<0在以点SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆上，显然对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的终点的轨迹是线段SKIPIF1<0确定的直线SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的点与直线SKIPIF1<0上的点的距离，过SKIPIF1<0作线段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<010．（2023春·浙江金华·高二学业考试）已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】由向量数量积公式可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由基本不等式可得：SKIPIF1<0，当仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<011．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且对任意的实数SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的正方向建立平面直角坐标系，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆上，因为对任意的实数SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，因为SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上一动点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上一动点，所以点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最小距离为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离减去圆的半径SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与圆的交点时等号成立，因为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离大于等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0垂直于直线SKIPIF1<0且点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与圆的交点时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.

12．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是【答案】SKIPIF1<0【详解】解：如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取BD的中点O，则有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，根据三角形的三边关系可知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当A，O，C三点共线时取等号，记SKIPIF1<0向量的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.13．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为单位向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：建立如图所示坐标系，不妨设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0或SKIPIF1<0上，由题意SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由定弦所对的角为顶角可知点SKIPIF1<0的轨迹是两个关于SKIPIF1<0轴对称的圆弧，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由对称性不妨只考虑第一象限的情况，因为SKIPIF1<0的几何意义为：圆弧SKIPIF1<0的点到直线SKIPIF1<0上的点的距离，所以最小值为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．②向量数量积（定值，最值，范围）1．（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为中线SKIPIF1<0的三等分点（接近点SKIPIF1<0），点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.2．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是两个单位向量，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是夹角为60°的两个单位向量，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023春·广东河源·高一校考阶段练习）设SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若角SKIPIF1<0的内角平分线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．8 B．4 C．16 D．12【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A．4．（2023春·北京石景山·高一北京市第九中学校考期末）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是半径为SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的任意一点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0取得最大值．当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0．故选：C．5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，当点SKIPIF1<0在对角线SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0的最小值为（

）

A．-2 B．SKIPIF1<0 C．-1 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0.故选：B6．（2023春·山东枣庄·高一校考阶段练习）已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据等面积法得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C

7．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为正八边形的中心，点SKIPIF1<0是其内部任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】正八边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，过点O作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由余弦定理得，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当P与M重合时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，当P与N重合时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0，因为点P是其内部任意一点，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A．8．（2023春·江西吉安·高一江西省峡江中学校考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0①.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0②.联立①②，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入①中，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0.故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0.故选：C.9．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0内动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】平面SKIPIF1<0内动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆，因为SKIPIF1<0，由勾股定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又向量SKIPIF1<0是长度为SKIPIF1<0的一个向量，由此可得，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线反向时，SKIPIF1<0取最小值，且这个最小值为一SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10．（2023春·四川凉山·高一统考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形面积公式得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0等号成立，此时SKIPIF1<0为等边三角形.故答案为：SKIPIF1<0.

11．（2023春·山东淄博·高一统考期末）圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上有两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及两动点C，D，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，令射线SKIPIF1<0与x轴正方向所成的角为SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0的对称性，不妨令射线SKIPIF1<0与x轴正方向所成的角为SKIPIF1<0，

由三角函数定义知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023春·广东深圳·高一统考期末）四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值1，即SKIPIF1<0有最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013．（2023春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对任意实数x，y都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若对任意实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影最长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.14．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0面积的一半，则SKIPIF1<0的最小值为【答案】2【详解】设SKIPIF1<0，由向量共线的充要条件不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0面积的一半可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0重合时取得最小值SKIPIF1<0.故答案为：2③向量夹角（定值，最值，范围）1．（2023春·福建福州·高一校考期末）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0．若向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0为直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为斜边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，如图：则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0.故选：B3．（2023春·宁夏吴忠·高一统考期末）若SKIPIF1<0是夹角为SKIPIF1<0的单位向量，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C4．（2023春·江西宜春·高一灰埠中学校考期中）已知单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为60°，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，必有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：D．5．（2023春·全国·高一专题练习）在平面中，已知单位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为单位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，由平面向量数量积的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，必有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.6．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0