中考数学重难点14 圆与正多边形（老师版）

专题14圆与正多边形

选择题

1.（2022•浙江嘉兴•中考真题）如图，在回。中，0BOC=130°,点A在8AC上，则回BAC的度

数为（）

A.55°B.65°C.75°D.130°

【答案】B

【分析】利用圆周角直接可得答案.

【详解】解：团BOC=130。，点A在8AC上，\?BACBOC65?,故选B

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握"同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所

对的圆心角的一半”是解本题的关键.本

2.（2022•山东滨州•中考真题）如图，在。中，弦48,8相交于点P,若

ZA=48°,ZAPD=80°,则D8的大小为（）

A.32°B.42°C.52°D.62°

【答案】A

【分析】根据三角形的外角的性质可得NC+NA=NAPD,求得NC=32。，再根据同弧所对

的圆周角相等，即可得到答案.

【详解】.NC+NA=NA叨，ZA=48°,ZAP£>=80°,

;.NC=32。.•./8=/。=32°故选：A.

【点睛】本题考查/圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

3.（2022•江苏连云港•中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧

长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）

A.）^B.|万一右

c.31-26D.—7r->/3

33

【答案】B

【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的

面积即可.

【详解】解：如图，过点0C作。。_1_人8于点D

360°

・.・ZAOB=2x------=60°,

12

；・AOAB是等边三角形，

/.ZAOD=ZBOD=300OA=OB=AB=2AD=BD=-AB=1,

9f2

.••。。力•一心=G，

阴影部分的面积为60•"x2--Lx2xg=2%一小,故选：B.

36023

【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的

面积的计算方法是正确解答的关键.

4.（2022•湖北武汉•中考真题）如图，在四边形材料A8CD中，AD//BC,ZA=9（）。，AD=9cm,

AB=20cm,BC=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（)

A.-j^-cmB.8cmC.6&cmD.10cm

【答案】B

【分析】如图所示，延长8A交CO延长线于E,当这个圆为鼬CE的内切圆时，此圆的面积

最大,据止匕求解即可.本号姿料全就来谡于箓信公众弓：数学第六感

【详解】解：如图所示，延长BA交CO延长线于E,当这个圆为E1BCE的内切圆时，此圆的

面积最大，

^AD//BC,回&4。=90°,

EEEADEBEBC,0B=9O°,

EAADEA_9

团---=---,即

EBBCEA+20-24

团E4=12cm,

0EB=32cm,

0EC=4EB2+BC2=40cm，

设这个圆的圆心为O，与EB,BC,EC分别相切于凡G,H,

®OF=OG=OH,

回SAEBC=S&EOB+S&COB+S&EOC>

S-EBBC^-EBOF+-BCOG+-ECOH,

2222

团24x32=(24+32+40)-O尸，

0OF=8cm,

回此圆的半径为8cm,

故选B.

E

卜

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助

线是解题的关键.

5.（2022•湖北宜昌•中考真题）如图，四边形ABCD内接于O,连接。8,OD,BD,若

ZC=110°,则NO3D=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】根据圆内接四边形的性质求出NA，根据圆周角定理可得N8OD，再根据08=8

计算即可.本

【详解】自四边形ABC。内接于；O,

0ZA-18O°-ZBC£>=7OO,

由圆周角定理得，NBOD=2NA=140。，

@OB=OD

0NOBD=NODB=故-"加"=2Qo

2

故选：B.

【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题

的关键.

6.（2022•四川德阳•中考真题）如图，点E是；ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆

相交于点。，与BC相交于点G,则下列结论：①N8AD=NC4D；②若NBAC=60。，则

ZB£C=120°；③若点G为8c的中点，贝ljN3GQ=90。；@BD=DE.其中一定正确的个

数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据点E是AABC的内心，可得NBAL>=NC4£>,故①正确；连接BE,CE,可得

EMBC+EMCB=2(回CBE+回BCE),从而得到EIC8E+E)8CE=60°,进而得到I3BEC=12O°,故②正确；

ZBAD=ZCAD,得出BD=C£)，再由点G为8c的中点，则N8GD=90。成立，故③正确；

根据点E是A5c的内心和三角形的外角的性质，可得N8EO=g(NBAC+NA8C),再由圆

周角定理可得NOBE=g(N8AC+N48C),从而得到团。8E=E)8ED,故④正确；即可求解.

【详解】解：团点E是*ABC的内心，

ABAD=ACAD,故①正确；如图，连接8E,CE,

回点E是ABC的内心，0EMBC=20CBE,EMCB=20BCE,

QSABC+QACB=2(^CBE+QBCE),

回回BAC=60°,E]l2LABC+EL4CB=120o,

^CBE+^BCE=60°,008EC=12O°,故②正确；

团点E是ABC的内心，0ZBA£>=ZG4D,©BD=CD，

国点G为BC的中点，团线段4)经过圆心。，ISNBG£>=90°成立，故③正确；

回点E是ABC的内心，0NBAD=NCAD=gZBAC,ZABE=NCBE=|NA8C,

SSBED^BAD+SABE,0ZBED=^(ZBAC+ZABC),

0l2CBD=aC4D,^DBE=^CBE+^CBD=SCBE^CAD,

0ZD/?£=1（Za4C+ZABC）,^EDBE=^BED,国BD=DE，故④正确；

团正确的有4个.故选：D

【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌

握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键.

7.（2022•湖南株洲•中考真题）如图所示，等边ABC的顶点A在回O上，边AB、AC与团O

分别交于点。、E,点F是劣弧QE上一点，且与。、E不重合，连接。尸、EF,则SEE

的度数为（）

A.115°B.118°C.120°D.125°

【答案】C

【分析】根据等边三角形的性质可得乙4=60。，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答

案.

【详解】解：.&ABC是等边三角形，

.•.ZA=60°,ADFE=180°-ZA=120°,故选C.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对

角互补是解题的关键.

8.（2022•甘肃武威・中考真题）大自然中有许多小动物都是"小数学家"，如图1,蜜蜂的蜂

巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都

是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm,

则正六边形A8CDE尸的边长为（）

图1图2

A.2mmB.20mmC.26mmD.4mm

【答案】D

【分析】如图，连接CF与AD交于点。，易证回C。。为等边三角形，从而CD=OC=OD=gAD,

即可得到答案.

（详解】连接CF与AD交于点O,^ABCDEF为正六边形，

36001

国COD=-------=60°,CO=DO,AO=DO=-AD=4mm,

62

EEC。。为等边三角形，I3CD=CO=DO=4mm,

即正六边形A8CDE"的边长为4mm,故选：D.

【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系

是解题的关键.本弓堂以全先来建于径常公众弓：败学第六首

9.（2022・湖南邵阳・中考真题）如图，田。是等边ZkABC的外接圆,若A8=3,则回。的半径是

-O

B

A.-B.C.D.一

222

【答案】C

【分析】作直径AD,连接CD,如图，利用等边三角形的性质得到姐=60。，关键圆周角定理

得到m8=90。，回。=团8=60。，然后利用含30度的宜角三角形三边的关系求解.

【详解】解：作直径AD,连接8,如图，

0L48C为等边三角形，006=60",

射。为直径，0EACD=9O。，

00D=S]B=6O°,贝岫DAC=30°,13cA。，

EMD2=CD2MC2,即AD2=（g/W产+32,MD=2百，

回。4=。8=；4。=6故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分

线的交点，叫做三角形的外心.也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角

三角形三边的关系.

10.（2022•四川眉山•中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿Q4,

户8分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若NQ48=28。，则Z4P8的度数为

A.28°B.50°C.56°D.62°

【答案】C

【分析】连。8,由4。=。8得，00/48=0084=28°,&4。8=180°-2团。43=124°；因为小、PB分

别相切于点A、8,则回OAP=taOBP=90°,利用四边形内角和即可求出MP8.

【详解】连接。8,本号密缉全貌来源于箓信公众弓：数学第六惠

B0A=0B,

03。48=回。班=28°,

00408=124",

回外、PB切00于A、8,

0O40R4,0PSAB,

EBOAP+回。8P=180°,

回附。8+蜘。8=180°；

03/38=56。.故选：C

【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题.

11.（2022•浙江湖州•中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形

的顶点称为格点.如图，在6x6的正方形网格图形A8C。中，M,N分别是AB,BC上的格

点，BM=4,BN=2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM,PN,则所有满足

=45。的回PMN中，边PM的长的最大值是（）

A.4&B.6C.2MD.3石

【答案】C

【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点。为圆心，

国MON=90。的圆，则点P在所作的圆上，观察圆。所经过的格点，找出到点M距离最大的

点即可求出.

【详解】作线段MN中点Q,作MN的垂直平分线。Q,并使。Q=3MN,以。为圆心，0M

为半径作圆，如图，

因为0Q为MN垂直平分线且OQ=gMN,所以OQ=MQ=NQ,

03OMQ=EIONQ=45°,

mMON=90°,

所以弦MN所对的圆。的圆周角为45°,

所以点P在圆。上，PM为圆。的弦，

通过图像可知，当点P在P位置时，恰好过格点且经过圆心。，

所以此时PM最大，等于圆。的直径，

0BM=4,BN=2,

^MN=yj22+42=245-

0MQ=OQ=,

00M=可。=区后=回,

0P'M=2OM=2x/10,故选C.

【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，

会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键.

12.（2022・四川遂宁•中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开

图的面积是（）

p

A

24

7

Bo

175兀1175兀、

A.cm2B.cm2C.1757ccm2D.350兀cm2

32

【答案】C

【分析】先利用勾股定理计算出4>25cm,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的

弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出

圆锥的侧面积.本

【详解】解：在用△AOC中，AC=772+242=25cm,

团它侧面展开图的面积是gx2;rx7x25=175;rcm2.故选：C

【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键.

13.(2022・陕西•中考真题)如图，A8C内接于®O,NC=46。，连接。4,则N0A8=()

C.54°D.67°

【答案】A

【分析】连接。B,由213c=蜘。8,求出0AOB,再根据。4=。8即可求出EIOA8.

【详解】连接。8,如图,

o

瓯C=46°,

西4O8=2E1C=92°,

fflO4B+0OB4=18Oo-92o=88°,

团04二08,

00OAB二团084

^\0AB=^0BA=yx88°=44°,故选：A.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出蜘。8=2回C=92。是解答本题的关

键.本

14.（2022•浙江宁波•中考真题）已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则圆锥的侧

面积为（）

A.36兀cm?B.24兀cm?C.1bircm2D.127tcm2

【答案】B

（分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：%|=乃"；

【详解】5御=万八/=万・4-6=24万£7„2,故选儿

【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可.

15.（2022・甘肃武威•中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆

弧（A8），点。是这段弧所在圆的圆心，半径。4=90m,圆心角408=80。，则这段弯路

（AB）的长度为（）

A.20mnB.30mnC.40mnD.50mn

【答案】C

【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（AB）的长度.

【详解】解：团半径0A=90m,圆心角m。8=80°,

二这段弯路（AB）的长度为：=40万（m）,故选C

lol）

【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式/=覆.

1o（）

16.（2022•浙江温州•中考真题）如图,A5,AC是O。的两条弦,ODJ.A3于点D,OELAC

于点E,连结。B,OC.若NZX迫=130。，则ZBOC的度数为（）

A.95°B.1（X）°C.105°D.130°

【答案】B

【分析】根据四边形的内角和等于360。计算可得姐47=50。，再根据圆周角定理得到

SBOC=2SBAC,进而可以得到答案.

【详解】解：SOD^AB,OEBAC,

EEWDO=90°,加£。=90",

EBDOE=130°,

a2BAC=360°-90--90°-130°=50°,

00BOC=20B4C=1OOO,故选：B.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半.

17.（2022•山东泰安•中考真题）如图，点/为的A8C内心，连接4并延长交一ABC的外接

圆于点。，点E为弦AC的中点，连接CQ,EI,IC,当A/=2CD,IC=6,"）=5时，IE

的长为（）

D

A.5B.4.5C.4D.3.5

【答案】C

【分析】延长ID到M,使DM=ID,连接CM.想办法求出CM,证明IE是MC/W的中位线即

可解决问题.

【详解】解：延长/D到使OM=/D,连接CM

^EIAC=SIAB,0/C4=a/Cfi,

00D/C=（3MC+0/CA,0DC/=l3BCD+0/CB,

WDIC=^DCI,

EID/=DC=DM,

03/CM=9O°,

SCM=yjlM2-IC2=8,

a4/=2CD=10,

BAI=IM,

SAE=EC,

0/£是幽CM的中位线，

0/£=yCM=4,故选：C.

【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判

定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.

18.（2022•浙江丽水•中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形

的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m,高为2Gm,则改建后门

洞的圆弧长是（)

【答案】c

【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC,再利用矩形的性质证得ACOD是等

边三角形，得到NCOE>=60。，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360。-60。=300。，利用

弧长公式即可求解.

【详解】如图，连接AD,BC,交于O点，

SZBDC=90°,

回8c是直径,

0BC=VCD2+BD2=2?+(2可=4.

团四边形ABQC是矩形,

0OC=OD=—BC=2,

2

回8=2,

0OC=OD=CD,

团AC。。是等边一角形，

0ZCO£)=6O%

0门洞的圆弧所对的圆心角为360°一60。=300°,

1/H300°^x*BC300°^x'x4in..

回改建后门洞的圆弧长是2_2_l°Jm),

——7l

故选：c

【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模

型是解题的关键.

19.（2022•四川成都•中考真题）如图，正六边形AB8EF内接于回O,若回。的周长等于6乃,

则正六边形的边长为（）

A.百B.76C.3D.273

【答案】C

【分析】连接。8,OC,由团。的周长等于6兀，可得回。的半径，又由圆的内接多边形的性质,

即可求得答案.

【详解】解：连接。8,0C,

瓯。的周长等于6n,

03。的半径为:3,

00BOC=-x360°=60°,

6

（aos=oc,

ElfflOBC是等边三角形，0BC=OB=3,

回它的内接正六边形A8CDEF的边长为3,故选：C.

【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

20.（2022•四川凉山•中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇

形家具部件，已知扇形的圆心角I3BAC=9O。，则扇形部件的面积为（）

A

【分析】连接BC,先根据圆周角定理可得BC是。。的直径，从而可得8c=1米，再解直角

三角形可得AB=4C=①米，然后利用扇形的面积公式即可得.

2

【详解】解：如图，连接8C

ABAC=90°,..BC是。的直径，,♦.8C=1米，

又・AB=AC,:.ZABC=ZACB=45°,

:.AB=AC=BC-sinZABC=—（米），

2

则扇形部件的面积为9°万X（）21（米2）,故选：C.

------------——=-7t

3608

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆周

角定理和扇形的面积公式是解题关键.

二.填空题

21.（2022•江苏宿迁•中考真题）如图，在正六边形4BCDEF中，AB=6,点M在边AF上，且

AM=2.若经过点M的直线/将正六边形面积平分,则直线/被正六边形所截的线段长是.

BE

CD

【答案】4币

【分析】如图，连接AD,CF,交于点。，作直线M。交CD于“，过。作。甩AF于P,由正

六边形是轴对称图形可得：SWABC0=SmDEF0,由正六边形是中心对称图形可得：

S“=S7DOH，SVMOF=S7CH。、OM=OH,可得直线MH平分正六边形的面积，。为正六边

形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案.本

【详解】解：如图，连接AD,CF,交于点。，作直线M。交CD于“，过。作。PQAF于P,

由正六边形是轴对称图形可得：S网边窗“co=S四边收郎。，

由正六边形是中心对称图形可得：SVAOM=S7DOH，SVMOF=SVCHO,OM=OH,

回直线MH平分正六边形的面积，。为正六边形的中心，

由正六边形的性质可得：.AOF为等边三角形，?AFO60?,而AB=6,

\AB=AF=OF=OA=6,AP=FP^3,

\。［:府-3?=3瓜

QAM=2,则〃尸=1,

\OM=J+（3可=2近，

\MH=20M=45/7.

故答案为：4币.

【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握"正六边形既是轴对称图形也是中心对称

图形"是解本题的关键.

22.（2022•湖南衡阳•中考真题）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋

转了120。，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm.（结

果保留乃）

【答案】4笈

【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120。所对应的弧长，然后根据弧长公式

计算即可.

【详解】解：根据题意，重物的高度为本

120x4x6

=44(cm).

180

故答案为：44.

n'7T'R

【点睛】本题考查了弧长公式：/=**（弧长为/,圆心角度数为"，圆的半径为R）.

18（）

23.（2022•浙江杭州•中考真题）如图是以点。为圆心，A8为宜径的圆形纸片，点C在回。

上，将该圆形纸片沿直线C。对折，点8落在回。上的点。处（不与点人重合），连接CB,

CD,AD.设CD与直径AB交于点E.若AD=ED,则姐=________度：空的值等于__________.

AD

【分析】由等腰三角形的性质得出自以E=MEA,证出回BEC=（D8CE,由折叠的性质得出

SECO=^BCO,设EIECO=iaOC8=ElB=x,证出回BCE=EIECO+ElBCO=2x,0CEB=2x,由三角形内角和定

CEBE

理可得出答案；证明aCEO函BEC,由相似三角形的性质得力二;二，设EO=x,EC=OC=OB=a,

EOCE

得出/=x（x+a）,求出。£=或二1°,证明△BCEaa/ME,由相似三角形的性质得出与g=隹，

2ADAE

则可得出答案.本

【详解】解：^AD=DEf

^\DAE=WEAf

^IDEA^BEC.回。AE=(28CE,

团团8EC二团8CE,

团将该圆形纸片沿直线CO对折，

^ECO=^\BCO,

又回。8二。C,

瓯。CBR18,

设团EC。二团0C8二团8二X,

^\BCE=^\EC0^BC0=2xf

fflCEB=2x,

^BEC+^BCE^B=13Q°,

[3x+2x+2x=180o,

0x=36°,

团团8二36°；

团回EC。二团8,^CEO=^CEBf

团团CEQS团8EC,

CEBE

回---=---,

EOCE

BCE2=EO»BE,

设£0=x,EC=OC=OB=a,

回。2=x(%+a),

解得，x=@二1。(负值舍去)，

2

团。E=@zlo,

2

^AE=OA-OE=a-a=3-^a,

22

^AED=^\BECf回DAE典BCE,

BCEC

团团8CE0团£ME,团-------,

ADAE

BC_a3+逐r-

回罚一二^―二―•故答案为：36,山｝.

--------a2

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质,

三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

24.（2022•浙江湖州•中考真题）如图,已知A8是回。的弦，0406=120",OOSAB,垂足为C,

OC的延长线交回。于点D.若MPD是AQ所对的圆周角，则MPD的度数是.

【分析】根据垂径定理得出0408=（38。。，进而求出04。。=60。，再根据圆周角定理可得蜘PD=

-SiAOD=30".

【详解】团。®8,OD为直径，本号姿料全英来源于给售公众W：效学第六雷

^BD=AD-

0EWO6=S）BOD,

00408=120",

配1AOD=60°,

回朝。404。。=30°,

故答案为：30°.

【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键.

25.（2022•云南•中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的

圆锥，母线长为30cm,底面圆的半径为10cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是.

【答案】120。

【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为。，4鬻=2x11x10,进行解答即可得.

180

【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为

迎町=2XTTX10”=12（）。故答案为：120°.

180

【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式.

26.（2022•浙江宁波・中考真题）如图，在HBC中，AC=2,BC=4,点。在8c上，以。8为

半径的圆与AC相切于点4。是BC边上的动点，当AACD为直角三角形时，AD的长为

A

C

BO

【答案】

【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可.

【详解】解：连接。人

①当。点与。点重合时，团CA。为90。，设圆的半径=r,回。A=r,OC=4-r,

33

MC=4,在RtAAOC中，根据勾股定理可得：/+4=(4-r)2,解得：r=-,即/»0=40=彳；

22

②当如1DC=9O。时，过点A作AD08c于点。，

11AOAC356

^-AO»AC=-OC»AD,团4。=-------,040=-,AC=2,0C=4-r=-,04D=-,

22OC225

综上所述，A。的长为5或不，故答案为：5或二.

【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键.

27.(2022•四川自贡•中考真题)一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦

AB长20厘米，弓形高8为2厘米，则镜面半径为____________厘米.

【答案】26

【分析】令圆。的半径为。8=r,则。C=r-2,根据勾股定理求出。。2+8。2=。82,进而求出半

径.

【详解】解：如图，由题意，得。D垂直平分A8,回8c=10厘米，令圆。的半径为。8=r,则

OC=r-2,

22

在RtI38OC中O（72+8C2=O82,0（r-2）+10=^,解得r=26.故答案为：26.

【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关

键.

28.（2022•浙江温州•中考真题）若扇形的圆心角为120。，半径为则它的弧长为

【答案】n

【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长.

【详解】解：回扇形的圆心角为120。，半径为弓，

倒它的弧长为：120万*|

------------=/F,

180

故答案为：71

【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式/=覆.

1X。

29.（2022•新疆•中考真题）如图，回。的半径为2,点A,B,C都在团。上，若4=30。.则

AC的长为（结果用含有兀的式子表示）

【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到ZAOC=60°，再利用弧长公式求解即可.

【详解】NAOC=2NB,ZB=30°...ZAOC=60°,

回。的半径为2,AC=----------=—兀，故答案为：一万.

18033

nnr

【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即/=—，熟练掌握知识点是解题的关键.

180

30.（2022•四川泸州•中考真题）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=26,

半径为1的。在RtZ\A8C内平移（。可以与该三角形的边相切），则点A到。上的点

的距离的最大值为.

【答案】2"+1

【分析】设直线A。交二。于M点（M在。点右边），当（。与A8、8c相切时，AM即为点

A到O上的点的最大距离.

【详解】设直线4。交CO于M点（M在。点右边），则点A到。。上的点的距离的最大值

为AM的长度

当：O与A8、BC相切时，AM最长

设切点分别为D、F,连接。8,如图本弓资料全纪来源于营喑公众弓：敷学第六感

ACr-I_________

=—=V3,AB=>JAC2+BC2=4X/3

DC

回NB=60°

0。与A8、BC相切

0ZOBD=-ZB=30°

2

0。的半径为1

SOD=OM=\

QBD=y/3OD=y/3

SAD=AB-DB=3y/3

团OA=y/AD2+OD2=7（3>/3）2+l2=2百

^AM=OA+OM=2>/1+1

回点A到。上的点的距离的最大值为2疗+1.

【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点A到

O上的点的最大距离的图形.

31.（2022•浙江嘉兴•中考真题）如图，在廓形4。8中，点C,。在A3上，将CD沿弦8折

叠后恰好与Q4，OB相切于点E,F.已知ZAQ8=120°,04=6,则切的度数为；

折痕C。的长为______.

D>.-------、

A

OFB

【答案】60。##60度476

【分析】根据对称性作。关于CD的对称点M,则点。、E、人8都在以M为圆心，半径为

6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可.本W要以全就来潺于弦信公众W：敷学第六感

【详解】作。关于CD的对称点M,则0N=MN

连接MD,ME,MF、MO.M0交.CD于N

回将CD沿弦CD折叠

回点。、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上

回将CD沿弦8折叠后恰好与。3相切于点£,F.

MF^OB

0ZMEO=ZMFO=90°

13ZAOB=120°

回四边形MEOF中ZEMF=360°-ZAOB-ZMEO-ZMFO=60°

即项的度数为60。；

0ZMEO=ZMFO=90°,ME=MF

aMEO=MFO(HL)

团/EMO=ZFMO=-/FME=30°

2

ME6

团OM==46

cosNEMOcos30°

0M7V=2A/3

0MO0DC

QDN=NDM?-MN。=而-色例=2&=gcD

0CD=4^

故答案为：60。；4戈

【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质

作出辅助线是解题的关键.本

三.解答题

32.（2022•四川成都•中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以BC为直径作回。，

交AB边于点。，在CD上取一点E,使8E=C£＞，连接DE,作射线CE交AB边于点尸.

4

⑴求证：NA=NACF：⑵若AC=8,cosZACF=-,求■及OE的长.

【答案】⑴见解析

(2)8F=5,DE=^

【分析】(1)根据中，Z4CB=90°,得至Ij04+回B=MCF+®8CF=90°,根据BE=CO，

得到回8=MCF,推出BARMCF；

(2)根据MWBCF,EW=EMCF,得至!jAF=CF,BF=CF,推出AF=8F=gAB,根据

Ar4_________

cosZACF=COSA=—=-,AC=8,得到A8=10,得到8F=5,根据BC=JAB?-AC」=6，

AD5

得到5访4=变=3,连接CO,根据8c是团。的直径，得到I38DC=9O。，推出回8+EIBCD=90。，

AB5

〃/)q1R7

推出凶=回88,得到sinNBC£>=—=-,推出8。=—,得到£>F=BF-BO=—，根据

555

P££)f

aFDER1BCE,团8二团8CE,得到团FDER18,推出。也8C,得到2kFD比△FBC,推出一=——,得

BCBF

至|］。£二4空2.

25

(1)解：团RtZiABC中，ZACB=90°,

团M+团8=MCF短8CF=90°,

@BE=CD，

幽8二姐CF,

豳A=MCF；

⑵幽8=团8。尸，M=MCF

MF=CF,BF=CF,

MF=8F=gAB,

AC4

0cosZ.ACF=cosA=---=—,AC=8,

AB5

M8=10,

@BF=5,

aBC=4AB?-AC?=6,

.人BC3

0sinA=---=-,

AB5

连接CD,团8c是团。的直径，

00BDC=9O°,

团姐+团8co=90°,

能14二团BCD,

0sinZBC£>=—=-,

BC5

5

7

⑦DF=BF-BD=w,

团团FOE二团BCE,姐二团BCE,

WFDE=^B,

团D由BC,

团△FDE121△F8C,

DEDF

团---=----,

BCBF

0D£=tt

【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键

是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定

和性质.

33.(2022•山东滨州•中考真题)如图，已知CC为O的直径，直线力与。相切于点A,

直线PD经过O上的点8且=连接。P交AB干点M.求证：

D

(1)PO是。的切线；(2)AM2=OMPM

【答案】⑴见解析⑵见解析

【分析】(1)连接OB,由等边对等角及直径所对的圆周角等于90。即可证明；

(2)根据宜线以4.。相切于点4得到NQ4P=90。，根据余角的性质得到

ZOAM=ZAPM,继而证明sQAMAPM,根据相似三角形的性质即可得到结论.

(1)连接OB,

A

,OA=OB=OC,

・•.ZOAB=NOBA,ZOBC=4OCB,

4c为。的直径，

・,.ZABC=NOBA+NOBC,

•//CBD=/CAB,

:.ZOBA=ZCBD,

NCBD+ZOBC=90°=/OBD,

•••P。是「。的切线；

(2).直线力与。相切于点4

\ZOAP=90°.

团P。是。的切线，

:.ZAMO=ZAMP=ZOAP=90o.

:.ZOAM+ZPAM=^PAM+ZAPM=90°,

：.ZOAM=ZAPM,

・•.OAMAPM,

AMOM

PMAM

•••AM?=OMPM.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角

形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.本

34.（2022•四川泸州•中考真题）如图，点C在以AB为直径的。上，CD平分N4C3交；O

于点。，交A8于点E,过点。作。的切线交CO的延长线于点尸.

⑴求证：⑵若AC=2逐，BC=后,求FD的长.

【答案】⑴见解析(2)与

O

【分析】(1)连接。D，由CD平分B4C8,可知AO=8O，得凶。。=加。。=90°,由DF是切

线可知回。。尸=90。=04。。，可证结论；

(2)过C作CA4EMB于M,已求出CM、BM,0M的值，再证明EIDOFEEIMC。，f#—=—,

ODFD

代入可求.

(1)证明：连接。D,如图，

国AD=BD，

团附。。二团8。。=90°,

回DF是团。的切线，

0SODF=9O°

团团00F二团8。。，

团。甩4B.

(2)解：过C作CMM8于M,如图，本号资料全第来源于榻信公众W：蚊学第六感

团团AC8=90°,

M8=^AC'+BC2=J（2⑹2+（府=5.

^-AB.CM=-AC.BC,

22

即-?5.CM」仓必石石，

22

0CM=2,

0BM=yjBC2-CM2=7（V5）2-22=1，

13

SOM=OB-BM=~751