2020-2021学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.经过点P（5,2）且平行于直线/：3x-y+l=O的直线方程为（）

A.x+3y+ll=0B.3x-y+13=0C.x+3y-11=0D.3x-y-13=0

2.5名同学报名参加4个活动小组，每人限报1个活动小组，不同的报名方法种数为（）

A.45B.54C.A5D.4!

3.如图1,从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如图2,篮球的外轮廓为圆

O,将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的

周长八等分，且AB=30=0C=CO=l,则该双曲线的方程为（）

图I

图2

222

A.x2-y2=1B__V__1C__y_=1D__Y_=1

234

4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长

与短半轴长的乘积.已知椭圆C的面积为2«兀，Fi,B分别是C的两个焦点，过B

的直线交C于A,2两点，若△ABF2的周长为8,则C的离心率为（）

A.—B.返C.返D.—

2223

,5

5.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为则C的渐近线方程为（）

O

A.3%±5y=0B.5%±3y=0C.3x±4y=0D.4x±3y=0

6.使得（x+T=）"的展开式中含有常数项的最小正整数〃为（）

XVx

A.2B.4C.5D.6

7.圆C与圆（X+1）2+y2=l相外切，与圆（尤-1）-+y2—9相内切，则圆C的圆心在（）

A.一个椭圆上B.双曲线的一支上

C.一条抛物线上D,一个圆上

8.已知A,8为二面角a-/-0棱/上不同两点，C,O分别在半平面a,0内，ACM,BD

±/,AC^BD=2AB,若直线AB与CO所成角的余弦值为艰，则二面角a-/-0的大

5

小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

二、选择题（共4小题）・

9.若（2-X）6=ao+〃ix+“2x2+Q3x3+a4T4+〃5%5+。6%6,贝（J（）

A.6zo=64

B.〃o+〃l+〃2+。3+〃4+〃5+〃6=1

C.-〃1+〃2-〃3+。4-。5+。6=36

D.。3是〃0、41、〃2、〃3、〃4、"5、。6中的最大值

22

io.已知曲线c：——，—=i，（）

m+lm-3

A.若机＜-1,则C表示椭圆

B.若相＞3,则C表示椭圆

C.若-1＜机＜3,则C表示双曲线

D.若机＞-1且机W3,则C的焦距为4

11.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加

公益活动的安排方法种数为（）

A.A422

B.24-2

「3A2

J2H2“'3H2

D.C4C2+CJC3A2

12.已知”为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线

与他，〃都垂直，斜边以直线AC为旋转轴旋转，则（）

A.直线AB与机所成角的最小值为45°

B.直线A8与机所成角的最大值为60°

C.当直线A3与相成60°角时，A2与〃成60°角

D.当直线AB与机成90°角时，与九成45°角

三、填空题(共4小题).

13.已知｝=(1,2,-1)为平面a的一个法向量，之=(-2,入，1)为直线/的方向向

量.若/〃a,贝！|入=.

14.已知抛物线C：V=8x的焦点为R/为C上一点，点N(0,4),若/MNF=90。，

则|明=.

15.(尤2-X+2)5的展开式中尤3的系数为.

16.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有种.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是菱形，PA=AB=2,P4_L平面ABC。，E

为PO的中点.

(1)证明：尸8〃平面AEC；

(2)在①NABC=60°,②EC_LA。这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并

18.如图，已知台风中心从。地以每小时20衣碗的速度向东北方向移动，f小时后到达〃

地，距离台风台风中心不超过12立kir的地区为危险区域.设直线型高速公路/与正东

方向夹角为。(tan0=2),且经过。地正东处的点P.

(1)在平面直角坐标xOy系内，写出直线/的方程，写出在f时刻台风危险区域边界轨

迹C的方程；

(2)计算高速公路/处于危险区域内的时间长.

Wkm)\f型方向

19.在平行六面体A8CD-AiBCbDi中，瓦=（2,-1,4）,AD=（4,2,0），

西=（-1,2,1）.

（1）证明：平面A8CD；

）

（2）对于空间向量a=（x］,了］,Z［）,b=（x2,y2>z2）>c=（口，”，Z3,

定义运算：（软义b），《=尤1》223-尤U3Z2+X2_X3Z1-尤2ylz3+X3V1Z2-X3y2Zl.

证明：（屈xM）•西的绝对值等于平行六面体ABC。-A1B1C1D1的体积.

20.世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”--500机口径抛物面射电

望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），

其边缘距离底部的落差约为156.25米，是由我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，

历时22年建成，于2016年9月25日落成启用，2020年1月11日，“中国天眼”通过

国家验收，投入正式运行，截至2020年11月，“中国天眼”发现脉冲星数量超过240

颗.它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图所示的平面直角坐

标系内.

（1）求C的方程；

（2）一束平行于y轴的脉冲信号射到C上的尸点，反射信号经过C的焦点尸后，再由

C上点Q反射出平行脉冲信号，试确定点P的坐标，使得从入射点P到反射点Q的路程

最短.

21.如图，直三棱柱ABC-中，AC=BC=CG,ACLBC.

（1）求直线AG与CBi所成的角;

9

（2）在线段AB是否存在点M,使平面BiMC与平面ACCiAi所成锐二面角的余弦值为仔?

O

若存在，求衰的值，若不存在，说明理由.

22.已知椭圆C的焦点坐标为（飞/耳，0）,（V3-0），且经过点。（2,1）.

（1）求C的方程；

（2）设直线/不经过。点且与C相交于M,N两点，若以线段MN为直径的圆经过。

点，证明：/过定点.

参考答案

一、选择题（共8小题）.

1.经过点尸（5,2）且平行于直线/：3x-y+l=0的直线方程为（）

A.x+3y+ll=0B.3x-y+13=0C.x+3y-11=0D.3x-y-13=0

【分析】利用平行直线系方程设出所求直线方程，再将点尸代入求解即可.

解：因为所求直线平行于直线/：3x-y+l=0,

故设所求直线的方程为3尤-y+c=0,

又直线经过点P（5,2）,

所以3X5-2+c=0,解得c=-13,

故所求直线方程为3x-y-13=0.

故选：D.

2.5名同学报名参加4个活动小组，每人限报1个活动小组，不同的报名方法种数为（）

A.45B.54C.A：D.4!

【分析】根据题意，分析可得5名同学每人都有4种报名方法，由分步计数原理计算可

得答案.

解：根据题意，5名同学报名参加4个活动小组，每人限报1个活动小组，

则每人都有4种报名方法，则5人有4X4X4X4X4=45种报名方法，

故选：A.

3.如图1,从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如图2,篮球的外轮廓为圆

O,将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点将圆的

周长八等分，且A2=30=0C=a）=l,则该双曲线的方程为（）

图I

222

A.x23-y2=lx2-^-=lc2y7D.~~~=1

J4

【分析】建立坐标系，利用已知条件求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，然后求解

双曲线方程即可.

解：以。为原点，所在直线为无轴建系,

AB=BO=OC=CD=1,

则该双曲线过点（衣，衣）且。=1,

将点（J5，代入方程¥'-2y=l，可得

ay

2

2

所以双曲线方程为：x-^-=i.

3

故选：C.

4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长

与短半轴长的乘积.已知椭圆C的面积为2次兀，Fl,尸2分别是C的两个焦点，过八

的直线交C于A,8两点，若△ABB的周长为8,则C的离心率为（）

A1R版「V32

D.----------D.

-2223

【分析】由新定义可知。与6的等量关系，由三角形ABB的周长可知。的值，即可解出

离心率.

（兀=ab兀r-

解：由题意可知：《,解得，a=2,b=M，

14a=8

又c2=d2-b1,c—1,

■"eT"7'

故选：A.

一5

5.中心在坐标原点，焦点在1轴上的双曲线。的离心率为玲，则。的渐近线方程为（）

O

A.3%±5y=0B.5x±3y=0C.3%±4y=0D.4x±3y=0

【分析】利用双曲线的离心率，转化求解双曲线的渐近线方程即可.

一R

解：中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线。的禺心率为合，

O

可得£=言，所以1片=给

2

a3a9

所以包

a3

所以双曲线的渐近线方程为：尸土条，即4x±3y=0.

O

故选：D.

6.使得（x+-4=）"的展开式中含有常数项的最小正整数w为（）

XVx

A.2B.4C.5D.6

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得〃的最小正值.

15r

解：•・•（XH—=）"的展开式的通项公式为T,+1=Cr：・n-,

xVXnx/

5r

令〃-可得2〃=5r,r=0,1,2,•,,,几,

故〃的最小正值为5,此时，丫=2,

故选：C.

7.圆。与圆（x+l）2+y2=i相外切，与圆（X-1）2+y2=9相内切，则圆C的圆心在（）

A.一个椭圆上B.双曲线的一支上

C.一条抛物线上D.一个圆上

【分析】根据两圆的位置关系，利用圆心距和半径的关系得到点C的轨迹是以G、C2

为焦点（c=l）,长轴长2a=4的椭圆.

解：：动圆C与圆C1：（尤+1）2+y2=l相外切，与圆C2:（X-1）2+y2=9相内切，

.-.|CCi|=r+l,|CC2|=3-r,

.,.|CCI|+|CC2|=4,

...点c的轨迹是以Cl、C2为焦点（c=l）,长轴长2a=4的椭圆，

故选：A.

8.己知A,8为二面角a-/-0棱/上不同两点，C,。分别在半平面a,0内，ACLl,BD

±/,AC=BD=2AB,若直线AB与CD所成角的余弦值为艰，则二面角a-/-0的大

5

小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】由题意画出图形，作出直线A8与C。所成角及二面角a-/-0的平面角，设

AC=8D=2AB=2a,由已知直线AB与CD所成角的余弦值为理，即可求解二面角a-

l-P的大小.

解：如图，

在a内，过8作BE//AC,且BE=AC,连接CE,

则四边形ACEB为矩形，可得CE=AB,

由BEVI,得为二面角a-/-0的平面角，

设AC=B£）=2AB=2a,则A3=CE=a,

又直线AB与CD所成角的余弦值为点，...cos/DCEn'Sn*

5CD5

得CO=J^CE=V^a,则DE=2a,

.•.△OBE为等边三角形，即ND8E=60°.

故二面角a-/-P的大小为60°.

故选：B.

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.若(2-x)6=ao-^-a[x+a2X1+a3X3+a4J^+a5X5+a6X6,贝U()

A.＜20=64

B.〃0+41+〃2+的+〃4+。5+〃6=1

C.〃0-41+〃2-〃3+〃4-。5+〃6=36

D.〃3是。0、0、〃2、〃3、〃4、〃5、〃6中的最大值

【分析】先利用赋值法验证选项A、B、。的正误，再计算出的的值，验证选项。的正

误即可.

6

解：*.*(2-X)6=〃0+〃1%+〃加2+4313+〃4A4+4515+q6x,

・••令x=0,有26=〃O=64,故选项A正确；

令X=l,有(2-1)6=1=〃0+〃1+〃2+…+Q6,故选项B正确；

令％=-1,有(2+1)6=〃0-〃1+。2-的+〃4-〃5+〃6=36,故选项C正确，

又。3=煜・23(-1)3＜〃0,故选项。错误，

故选：ABC.

22

io.已知曲线c：3一J—=i，()

m+lm-3

A.若/〃＜-1,则C表示椭圆

B.若加＞3,则C表示椭圆

C.若-1＜相＜3,则C表示双曲线

D.若相＞-1且〃层3,则C的焦距为4

【分析】通过机的范围，判断曲线的形状，判断选项即可.

解：m＜-1,则C表示的轨迹不存在，所以A不正确；

若机＞3,则C表示焦点坐标的龙轴上的椭圆，所以B正确；

若-1＜冽＜3,则C表示焦点坐标在x轴上的双曲线，所以C正确；

若相＞-1且相#3,则C的焦距为4,正确，所以。正确；

故选：BCD.

11.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加

公益活动的安排方法种数为()

A.A422

B.24-2

J2H2乜。3H2

D.C4C2+C4C3AI

【分析】利用整体排除法和分类法计算出结果即可.

解：当使用整体排除法时，安排方法有（C；）4-C；C：=24-2种；

当使用分类法时，安排方法有C久分C：C理种，

故选：BD.

12.已知加，"为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线

与根，〃都垂直，斜边A8以直线AC为旋转轴旋转，则（）

A.直线A8与机所成角的最小值为45°

B.直线A8与〃2所成角的最大值为60°

C.当直线AB与相成60°角时，42与"成60°角

D.当直线AB与加成90°角时，AB与“成45°角

【分析】由题意知，m、n、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方

体，|AC|=1,|AB|=&,斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，8点的运动轨

迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以C。为无轴，CB为y轴，CA为z

轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.

解：由题意知，7小〃、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，

不妨设图中所示正方体边长为1,

故|AC|=1,|48|=五，

斜边A3以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

8点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以C。为x轴，C8为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则。（1,0,0）,A（0,0,1）,

直线机的方向单位向量7=（0,1,0）,苒=1，

直线”的方向单位向量7=（1，0,0）,前=1,

设B点在运动过程中的坐标中的坐标夕（cose,sine,0）,

其中。为2,C与CD的夹角，0£[0,2TT）,

•'•ABr在运动过程中的向量，杷，'=（cos6,sin6,-1）,|杷，•尸加，

设AB''与7所成夹角为5],

|(-COS0p

-sin©,1)(0,*=冬皿9厮,

贝！Jcosa=---------

lal'lAB7^|

7U兀.

aG[——,—T—],•'.A正确，B错乐.

42

设AB'•与1所成夹角为此[0,；],

I(-cos0sinS,1)•(1,0,0)多四,

cosk叵「以

|AB'Idb|Ibl-lAy'|

当市L与7夹角为60°时，即a=3,

|sin0|=V^cosa=^/^sin~^-=^^

V2,川1

cos20+sin20=1COS0=—|cos9|=—,

Vpe[0,—],Ap=—,此时咫尸与W的夹角为60°

/o

C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知言=（1，2,-1）为平面a的一个法向量，2=（-2,入，1）为直线/的方向向

量.若/〃a,则入=4.

一2一

【分析】由/〃a,可得；2=0,即可得出.

解：'：l//a,-2+2A-1=0,

可得入

故答案为：.

14.已知抛物线C：V=8x的焦点为F,M为C上一点,点N(0,4),若NMNF=90。，

则|MF|=10.

【分析】设M的坐标，由抛物线的方程可得尸的坐标和准线方程，由/跖\4=90°,可

得而•而=0,求出M的坐标，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，

可得阿川的值.

解：由题意设M(―,6),

8

由抛物线的方程可得焦点尸(2,0),准线方程为：x=-2,

因为/跖\不=90。，N(0,4),

所以可得而•1^=0,

即(B_,6-4)•(2,-4)=0,

8

整理可得：b=8,

所以M(8,8),

所以|MF|=8+2=10,

故答案为：10.

15.(x2-x+2)5的展开式中2的系数为-200.

【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令尤的幕指数等于3,求得八/的值，即

可求得x3项的系数.

解：式子(%2-尤+2)5=[-X)+2]5的展开式的通项公式为7什1=(X2-x)5'r,2r,

25rr102rr

对于Cx-x)~,它的通项公式为7>+i=(-1),Cg_r,x-',

其中，OWNW5-r,0WrW5,r、r'都是自然数.

令lOf=3,可得卜了，或卜了，

lr=3lr=1

故一项的系数为吟22•(-C3)+C|«23«(-Cj)=-200,

故答案为:-200.

16.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有72种.

【分析】可以先做出3个人在6个位置的所有做法，再减去不是恰有两个空座位相邻的

结果，其中空坐各不相邻的坐法和三个空坐相连的坐法.

解：3人坐6个座位，坐法共有A63

其中空坐各不相邻的坐法为C43A33

三个空坐相连的坐法C4%3

.•.满足条件的坐法共有A63-C43A3^-C41A3^=72

故答案为：72.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8C。是菱形，PA=AB=2,PA_L平面48C。，E

为尸。的中点.

(1)证明：尸8〃平面AEC；

(2)在①NABC=60°,②EC,这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并

作答.若，求EC与平面PAO所成的角.

【分析】(1)连接交AC于O,连接OE,推导出OE〃尸8,由此能证明〃平面

AEC.

(2)选①：以。为原点，。2为无轴，OC为y轴，过。作平面A2CD的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，由此能求出EC与平面PAD所成的角.

选②：以。为原点，为x轴，OC为y轴，过。作平面ABCD的垂线为z轴，建立

空间直角坐标系，取中点R连接所，CF,推导出EF〃尸4从而平面ABC。,

CF±AD,AC=C£>=2,利用向量法能求出EC与平面24。所成的角.

解：(1)证明：连接8。，交AC于。，连接OE,

:底面A8CD是菱形，是8。中点，

为尸。的中点，J.OE//PB,

平面AEC,OEu平面AEC,

.•.P8〃平面AEC.

(2)选①：

以。为原点，08为尤轴，OC为y轴，过。作平面48CO的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系，

:底面A8CD是菱形，PA=AB=2,ZABC=60°,

：.D(-e，0,0),尸(0,-1,2),E(-二-5，1),C(0,1,0),A(0,

22

-1,0),

前=(舁，亭-1)，AP=(。，。,2)，AD=(-"行1’0),

设平面PAD的法向量(x,y,z),

[npAP=2z=0-i—

则-,，取％=1,得口=(1,E，0),

n*AD=-V3x+y=0

设EC与平面PAD所成的角为e,

_|EC>n|_2V3_V3

则。

sinlECl-lnl^22

：.EC与平面PAD所成的角为〒.

o

选②：

以。为原点，为x轴，OC为y轴，过O作平面A8C。的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系,

取中点尸，连接EF,CF,

:底面ABCZ）是菱形，PA=AB=2,ECLAD,PA_L平面ABC。，E为P。的中点.

J.EF//PA,J.EFV^^ABCD,：.CF1AD,；.AC=CZ)=2,

：.D(-V3-o,0),P(0,-1,2),E(-孚-卷，1),C(0,1,0),A(0,

乙乙

-1,0),

前=(洋右T)，AP=(O,O,2),AD=(-«,1,0),

设平面PAD的法向量若=(x,y,z),

n*AP=2z=0宣

则_.,取尤=1,得n=(1，M，0),

n"AD=-v3x+y=0

设EC与平面PAD所成的角为e,

|EC>n|_2V3_V3

则sin0

lECl-lnl尔'"2"

；.EC与平面PAD所成的角为〒.

o

18.如图，已知台风中心从。地以每小时20衣碗的速度向东北方向移动，，小时后到达M

地，距离台风台风中心不超过12jMkir的地区为危险区域.设直线型高速公路I与正东

方向夹角为。(tan0=2),且经过。地正东40历w处的点P.

(1)在平面直角坐标xOy系内，写出直线/的方程，写出在f时刻台风危险区域边界轨

迹C的方程；

(2)计算高速公路/处于危险区域内的时间长.

【分析】(1)利用/与x轴正方向的夹角为180°-&且tan0=2,求出直线/的斜率，

再利用点斜式写出直线的方程；台风在f小时后到达M地，利用OM=20&t,解出/

点的坐标，从而得到台风危险区域边界轨迹C的方程；

(2)设R时高速公路/恰好处于危险区域内，f2时高速公路/恰好离开危险区域，分别

求出两种状态下的台风中心，然后利用01。2=002-°01=4岫，结合台风的移动速度，

即可得到答案.

解：(1)因为/与x轴正方向的夹角为180°-0,且tan®=2,

所以tan(180°-0)=-tan0=-2,

故直线/的斜率为-2,

所以直线I的方程为y-0=-2(尤-40),即2x+y-80=0,

当台风中心在O地时，台风危险区域是一个以。为圆心，以12小kir为半径的圆，

因为台风中心从。地以每小时的速度向东北方向移动，

设台风在t小时后到达M地，

所以OM=20&t,设M（a,a）,则有a2+a2=（20加）？，解得。=20f,

所以M（20/,20t）,所以移动后的圆心为（20f,20r）,

故/时刻台风危险区域边界轨迹C的方程为（x-20t）2+（y-20t）2=（12jQ2,即（x

-20?）2+（y-2002=720；

（2）台风方向满足的方程为y=x,

设fi时高速公路/恰好处于危险区域内，历时高速公路/恰好离开危险区域，

设G时台风中心为。1（XI,尤1）,f2时台风中心为。2（尤2,尤2）,

①九时台风中心到高速公路I的距离恰好为半径12泥，

|2xi+x「80|20、140

贝U有J.2=12V5»确星得x]■"或x]=（舍）

所以台风中心0]巧~）;

OO

②f2时台风中心到高速公路I的距离也恰好为半径1275，

|2x]+xi-80|Un90

则有一1===^—=1275.解得xi符•或xi再•（舍），

12+133

所以台风中心为0?（」铛，等）.

贝100[翁）2+翁）2驾

Wig）?+苧丁学”

故0[02=0。2-00[=4啦，

。1。24072

则时间t'=20V2=20V2=2

所以高速公路I处于危险区域内的时间为2小时.

19.在平行六面体A8CZ)-AiBiGDi中，标=(2,-1,4),丽=(4,2,0)，

AD[=(T,2,1).

（1）证明：AP_L平面A8CD；

（2）对于空间向量a=（x],yj,勺），b=（x2»y2，工3=（后，”，Z3）

定义运算：・]=Xiy2Z3-Xiy3Z2+X2y3Zl-X2yiZ3+X3yiZ2-X3y2Zl.

证明：（ABXAD）-ADi的绝对值等于平行六面体ABC。-A1B1C1D1的体积.

【分析】（1）由已知结合数量积为0证明ADi±AD,再由直线与平面垂直的

判定可得平面ABCD；

（2）由定义求得（豆X标）.西的值，再由棱柱体积公式求出直平行六面体A3CD-

A\B\C\D\的体积，则结论得证.

【解答】证明：(1)•••瓦=(2)-1,4),AD=(4,2,0)，AD^C-l,2,1),

...--•

/.ADj,AB=-2-2+4=0,ADj-AD=-4+4=0,

可得SUB,ADi±AD,又AOriAB=A,

平面ABC。；

(2)(ABXAD)-AD1=2X2X1-2X2X0+4X2X4-4X(-1)X1+(-1)X(-1)

xo

-(-1)X2X4=4+32+4+8=48；

设标与正的夹角为。，AB>AD_8-2_3

COS0|AB|-|AD|-V21-2V5W105

••sin6=Vl-cos29•

则丫=|AB|•|AD|,sinQ•|ADj|=61"2A/5'"V6=48.

/.(ABXAD)-ADi的绝对值等于平行六面体ABC。-AbBCiOi的体积.

20.世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”--500%口径抛物面射电

望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），

其边缘距离底部的落差约为156.25米，是由我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，

历时22年建成，于2016年9月25日落成启用，2020年1月11日，“中国天眼”通过

国家验收，投入正式运行，截至2020年11月，“中国天眼”发现脉冲星数量超过240

颗.它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图所示的平面直角坐

标系内.

(I)求C的方程；

(2)一束平行于y轴的脉冲信号射到C上的尸点，反射信号经过C的焦点P后，再由

C上点。反射出平行脉冲信号，试确定点P的坐标，使得从入射点P到反射点。的路程

最短.

【分析】(1)利用题中给出的信息，设出抛物线的标准方程，然后求出p,即可得到答

案；

(2)问题即求过焦点尸最短的弦长，转化为求抛物线的通径，即可得到答案.

解：(1)设抛物线C的方程为尤2=2Q(0>0),

因为边缘距离底部的落差约为156.25,

吗F56.25,

所以p=312.5,

故抛物线C的方程为N=625y；

(2)由题意可知，求过尸点最小的弦长尸。，

根据抛物线的性质，抛物线的通径时最短的弦长，即当与y轴垂直时弦长最短，

由无2=625y,则焦点为(0,156.25),

故当>=156.25时，X2=625X156.25=156.252X4,

所以x=±V156.252X4=±312.5，

所以PQ加“=312.5X2=625,

故从入射点P到反射点Q的路程最短为625m.

21.如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC=BC=CCi,AC±BC.

(1)求直线ACi与CBi所成的角；

9

(2)在线段A3是否存在点使平面与平面ACGAi所成锐二面角的余弦值为母？

O

若存在，求色的值，若不存在，说明理由.

H

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出直线的方向向量，利

用公式求解即可；

（2）假设存在点M符合条件，设设绊=入（0W入W1）,求出两个平面的法向量，利用

AB

9

二面角的余弦值为母，列出关于人的方程，求解即可.

o

解：（1）由已知ACL8C,三棱柱为直三棱柱，故CC底面ABC,

以C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线为无轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设AC=BC=CG=1,则C(0,0,0),A(1,0,0）,Ai（1,0,1）,B（0,1,0）,

Bi(0,1,1),Ci(0,0,1),

故商=(-1,o,1),国=(o,1,1),

,,AC1,CB<1

则COS、A"，Cb[/",——.，，——=r-r-=[,

11|ACj|ICBj|V2XV22

TT

因为异面直线所成角的范围为（0,—

所以直线AC1与CB1所成的角为:；

（2）设存在点M满足条件，设黑=入（0W入W1）,

AB

则正入屈，

所以M(1-X,入，0),

因为CC」底面ABC,BCu平面ABC,

所以BC_LCG,又AC_LBC,且CCiCAC=C,CCi,ACc^ffiACC1A1,

所以平面ACC1A1,

则平面ACC1A1的一个法向量为取=（0,1,0）,

又西=（O,1,1）,而=（1-入，入，0）,

设平面的法向量为n=（x,y,z）,

则CBjn=。产0

lcii-n=O11-入)x+WO

令尸1，则U*’1，-1)'

因为平面BiMC与平面ACCiAi所成锐二面角的余弦值为泉9