平面汇交力系

关于平面汇交力系若各力的作用线在同一平面内且汇交于一点,则称为平面汇交力系.平面汇交力系第2页,共76页，2024年2月25日，星期天

在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多例如:起重机的吊钩受钢绳拉力Tl、T2和

T3的作用第3页,共76页，2024年2月25日，星期天例如:砖砌基座上的锅炉受重力G和反力

NA和NB的作用

在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多第4页,共76页，2024年2月25日，星期天2.1求平面汇交力系的合力1几何法:⑴两个汇交力的合成:

应用平行四边形法则(力三角形法)第5页,共76页，2024年2月25日，星期天合力等于两分力的矢量和或几何和，如图所示。OAF1BF2CR合力的大小和方向由F2和F1所构成的平行四边形的对角线表示合力的作用点即为原来两力的交点。第6页,共76页，2024年2月25日，星期天

在用力的平行四边形法则求合力时，只要画出其中任一半，即力三角形成够了．如图所示．因此力的平行四边形法则又称为力三角形法OAF1CF2ROBF1CF2R第7页,共76页，2024年2月25日，星期天(2)平面汇交力系的合成:应用力的多边形法则:

设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用，它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。(如图所示)第8页,共76页，2024年2月25日，星期天(2)平面汇交力系的合成:应用力的多边形法则:

设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用，它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。(如图所示)F1A1F2F3A2A4A3O

F4求合力时，连续利用力的三角形法则，依次求出合力R1,R2,R3和R.第9页,共76页，2024年2月25日，星期天求整个力系的合力，中间的合力R1R2可以不必画出，可顺次将力Fl、F2、F3…等首尾相接，最后将F1的起点和F4的终点连接起来，即得合力R(如图)。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER第10页,共76页，2024年2月25日，星期天所得出的多边形ABCDE称为力多边形，AE称为力多边形的封闭边。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER第11页,共76页，2024年2月25日，星期天平面汇交力系的合成结果是一个力它的作用线:过交汇点大小和方向:由力多边形的封闭边表示用矢量公式表示为:第12页,共76页，2024年2月25日，星期天画力多边形时，各力的次序是任意的，改变各力的次序，只影响力多边形的形状，而不影响合力R的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER第13页,共76页，2024年2月25日，星期天画力多边形时，各力的次序是任意的，改变各力的次序，只影响力多边形的形状，而不影响合力R

的大小和方向AF1BF2CF3DF4EREAF1BF2CF3DF4ER第14页,共76页，2024年2月25日，星期天画力多边形时，各力的次序是任意的，改变各力的次序，只影响力多边形的形状，而不影响合力R的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER第15页,共76页，2024年2月25日，星期天

已知平面汇交力系受力图求合力时，按比例作矢量合成图。此法多用于理论推导，求解实际问题时不方便、不准确，特别当分力多于两个以上时，更不用此法求解。！第16页,共76页，2024年2月25日，星期天⑴力在轴上的投影ABFabFXαABFabFXαXX①力在轴上投影的大小:等于此力的模乘以此力与投影(不一定是与投影轴的正向)所夹锐角的余弦2解析法求平面汇交力系的合力第17页,共76页，2024年2月25日，星期天ABFabFXαABFabFXαXX②力在轴上投影的正负:则可直接观察确定:当α为锐角时,力的投影为正;当α为钝角时,力的投影为负.第18页,共76页，2024年2月25日，星期天⑵力在坐标轴上的投影XYOABFaba’b’FXFYαβ当力F在直角坐标轴分解为FX和FY两分力时，这两分力的大小分别等于力在两轴上的投影的绝对值。第19页,共76页，2024年2月25日，星期天⑶合力投影定理:合力在任一轴上的投影等于各分力在同轴正投影的代数和.这就是合力投影定理.XYOABF1CF2DF3Rabcd合力的投影为:ad各分力投影的代数和为:ab+bc+cd=第20页,共76页，2024年2月25日，星期天⑷解析法平面汇交力系的合力:①将分力投影在直角坐标轴上;②求分力在坐标轴上的代数和:RX=∑FXRY=∑FY③合力的大小和方向用R,

角度α,β表示RYYXRXRαβ第21页,共76页，2024年2月25日，星期天大小方向RYYXRXRαβ第22页,共76页，2024年2月25日，星期天

例1一吊环受到三条钢丝绳的拉力，如图所示,已知F1=2000N，水平向左；F2＝2500N，与水平成30°角；F3＝l500N,铅直向下.试用解析法求合力的大小及方向，F1F2F3YX第23页,共76页，2024年2月25日，星期天

解:⑴取坐标轴如图。分别计算各力的投影。F2X=-F2cos30°=-2500×0.866=-2170NF3X=0F1F2F3YXF1X=-F1=2000N第24页,共76页，2024年2月25日，星期天F1Y=0F2Y=-F2sin30°=-2500×0.5=-1250NF3Y=-F3=-1500N

解:⑴取坐标轴如图。分别计算各力的投影。F1F2F3YX第25页,共76页，2024年2月25日，星期天YXORXRRYRX=∑FX=-2000–2170+0=-4170NRY=∑FY=0–1250-1500=-2750N⑵合力的大小:第26页,共76页，2024年2月25日，星期天YXORXRRYRX=∑FX=-4170NRY=∑FY=-2750N⑵合力的方向:由于RX和RX都是负值，所以合力只应在第三象限α=33.5°

α第27页,共76页，2024年2月25日，星期天2.2平面汇交力系的平衡条件

及应用1平衡的几何条件:要使平面汇交力系成为平衡力系，力的多边形自行封闭．必要充分条件第28页,共76页，2024年2月25日，星期天设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按力的多边形法则合成:F1F2F3F4若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好互相连接而构成一个自行封闭的力多边形，即表示力系的合力R等于零，则此力系为平衡力系.第29页,共76页，2024年2月25日，星期天例刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小相等,彼此夹72°角F4F3F2F1F5F1F2F3F4F5力多边形为正五边形,力矢量自行闭合第30页,共76页，2024年2月25日，星期天用作图法求解平面汇交力系的平衡问题:⑴按比例先画出封闭的力多边形⑵用尺和量角器在图上直接量得所要求的未知量也可采用数解法，即根据图形的边角关系，用三角公式计算出所要求的未知量。第31页,共76页，2024年2月25日，星期天

起重机吊起的减速箱盖重W＝900N，两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为α＝45°，β

＝30°试求箱盖匀速吊起时，钢丝绳AB和AC的张力。例1第32页,共76页，2024年2月25日，星期天

例1起重机吊起的减速箱盖重W＝900N，两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为α＝45°，β

＝30°试求箱盖匀速吊起时，钢丝绳AB和AC的张力。⑴选箱盖为研究对象，画它的受力图解:⑵三个力必汇交于吊环中心A。⑶画力三角形第33页,共76页，2024年2月25日，星期天⑴选箱盖为研究对象，画它的受力图解:⑵三个力必汇交于吊环中心A。⑶画力三角形bcTABaTACW45°30°

如果力三角形的几何关系不复杂，可以选用数解法，运用三角公式来计算:第34页,共76页，2024年2月25日，星期天bcTABaTACW45°30°

如果力三角形的几何关系不复杂，可以选用数解法，运用三角公式来计算:TABTAC第35页,共76页，2024年2月25日，星期天bcTABaTACW45°30°

如果力三角形的几何关系不复杂，可以选用数解法，运用三角公式来计算:如果在画力三角形时，主动力W是按比例尺画出，则可在力三角形中直接量出结果TAB=460NTAC=660N第36页,共76页，2024年2月25日，星期天平面汇交力系平衡力系中各个力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。平面汇交力系平衡的解析条件由:得:该式为平面汇交力系的平衡方程2平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程)第37页,共76页，2024年2月25日，星期天2平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程)在列平衡方程时注意:①坐标轴是可以任意选取的，②可以列出任意数目的平衡方程，③独立的平衡方程只有两个,

因而可以求解两个未知量。第38页,共76页，2024年2月25日，星期天

支架如图所示，出AB和AC杆组成。A、B、C三点均为铰链连接，在A点悬挂重力PkN的重物.杆自重忽略不计.求AB和AC杆所受的力。BCAP例2第39页,共76页，2024年2月25日，星期天解(1)根据题意，选销钉A为研究对象。(2)画受力图。显然这是一个平面汇交的平衡力系。BAACSAC’SACSAB’SABBCAP30°60°ASAB’’SAC’’T第40页,共76页，2024年2月25日，星期天解(1)根据题意，选销钉A为研究对象。(2)画受力图。显然这是一个平面汇交的平衡力系。BCAP30°60°ASAB’’SAC’’T⑶列平衡方程式，求末知量。选坐标轴如图所示。YX第41页,共76页，2024年2月25日，星期天BCAP30°60°ASAB’’SAC’’T⑶列平衡方程式，求末知量。选坐标轴如图所示。YX∑X=0∑Y=0SAB’’=0.5TSAC’’=0.866T60°-SAB’’+Tcos60°=0SAC’’-Tcos30°=0第42页,共76页，2024年2月25日，星期天BCAP30°60°ASAB’’SAC’’TYX60°SAB’’SAC’’均为正值，表示假定指向与实际相同.AB受拉伸，AC受压缩。∑X=0∑Y=0SAB’’=0.5TSAC’’=0.866T-SAB’’+Tcos60°=0SAC’’-Tcos30°=0第43页,共76页，2024年2月25日，星期天

杆AC，BC在C处铰接，另一端均与墙面铰接.如图所示.Fl

和F2

作用在销钉C上，F1=445(N)，F2=535(N)，不计杆重，试求两杆所受的力。30°ABCF2F134

解：1．取销钉C为研究对象画受力图,此为平’面汇交力系的平衡问题。例3第44页,共76页，2024年2月25日，星期天30°ABCF2F134CF2F134SACSBCXY2.选力系汇交点C为坐标原点.建立坐标如图所示.3．列平衡方程第45页,共76页，2024年2月25日，星期天CF2F134SACSBC2.选力系汇交点C为坐标原点.建立坐标如图所示.XY3．列平衡方程∑Y=0∑X=030°第46页,共76页，2024年2月25日，星期天30°ABCF2F134解方程:SAC=207(N)SBC=164(N)CF2F134SACSBCXY30°第47页,共76页，2024年2月25日，星期天

水平力P作用在刚架的B点.如题图所示。如不计刚架重量,试求支座A和D的约束反力。Pa2aABCDRDRA

解：1几何法．取刚架为研究对象.受力如图所示.图中反力的指向为假设方向。例4第48页,共76页，2024年2月25日，星期天PABCDRDRA2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向有误，则应把受力图中力的指向改正过来[力三角形见图]第49页,共76页，2024年2月25日，星期天2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向有误，则应把受力图中力的指向改正过来[力三角形见图]PRDRA21PRDRA21第50页,共76页，2024年2月25日，星期天PRDRA213列算式:由自行封闭的力三角形中的几何关系求反力的大小．第51页,共76页，2024年2月25日，星期天解，2解析法:1．取刚架为研究对象，受力如图所示:2．选力系汇交点C为坐标原点，建立坐标轴:XYPABCDRDRA123．列平衡方程:第52页,共76页，2024年2月25日，星期天PABCDRDRAXY12第53页,共76页，2024年2月25日，星期天

在简支梁AB的中点C作用一个倾斜45°的力F，力的大小等于20(KN)，如题图所示。若梁重不计，试求二支座的反力。ABCF45°ABCF45°45°

解一：几何法:1．取梁AB为研究对象，受力如图所示。未知力的指向可由力三角形中“首尾相接”的条件确定其正确的指向45°RBORA例5第54页,共76页，2024年2月25日，星期天2．画力三角形。在力三角形中标注出必要的几何关系，如图所示。45°αβFRBRA3．列算式:

由力三角形的几何关系求反力的大小．ABCF45°45°RBORA31第55页,共76页，2024年2月25日，星期天45°αβFRBRA3．列算式:

由力三角形的几何关系求反力的大小．第56页,共76页，2024年2月25日，星期天解二：解析法1．取梁AB为研究对象，画受力图，如图所示。ABCF45°45°RBRA312．选力系汇交点0为坐标原点，建立坐标如图:YXO3．列平衡方程第57页,共76页，2024年2月25日，星期天3．列平衡方程∑X=0∑Y=0

ABCF45°45°RBRA31YXO

RA=22.4(KN)RB=10(KN)第58页,共76页，2024年2月25日，星期天

结构由两弯杆ABC和DE构成。构件重量不计，图中的长度单位为cm。已知F=200(N)，试求支座A和E的约束反力.AECBDF4668AECBDF4668REORA解：解析法1.取整体研究，受力如图所示例6第59页,共76页，2024年2月25日，星期天2.建立坐标轴.3．列平衡方程YXAECBDF4668REORAθ43RA=RE=167N第60页,共76页，2024年2月25日，星期天

解：几何法;1．取整体为研究对象，受力如图所示。反力RA、RE的方位由高宽比3：4表示。AECBDF4668REORAθ432．画力三角形。力三角形是一个等腰三角形。第61页,共76页，2024年2月25日，星期天AECBDF4668REORAθ432．画力三角形。力三角形是一个等腰三角形。RERAF433．列算式：由力三角形的几何关系求支座反力的大小。第62页,共76页，2024年2月25日，星期天2．画力三角形。力三角形是一个等腰三角形。RERAF433．列算式：由力三角形的几何关系求支座反力的大小。

第63页,共76页，2024年2月25日，星期天

重为G的圆柱搁在倾斜的板AB与墙面之间，如题图所示。若板与铅垂线的夹角是30°,圆柱与板的接触点D是AB的中点，BC绳在水平位置，各接触点是光滑的.试求绳BC的拉力T和A铰的约束反力NA的大小。例730°ABCEDG第64页,共76页，2024年2月25日，星期天EG30°ABCEDG

解：1．取圆柱为研究对象，画受力图.并建立坐标，列平衡方程。NENDXY30°第65页,共76页，2024年2月25日，星期天30°ABCEDG30°ABD2．取板AB为研究对象，画受力图TNDO再作力三角形，由力三角形的几何关系求T和RA的大小:RA30°30°第66页,共76页，2024年2月25日，星期天2．取板AB为研究对象，画受力图再作力三角形，由力三角形的几何关系求T和RA的大小:30°ABDTNDORA30°30°TRAND30°30°第67页,共76页，2024年2月25日，星期天2．取板AB为研究对象，画受力图再作力三角形，由力三角形的几何关系求T和RA的大小:TRAND30°30°第68页,共76页，2024年2月25日，星期天例8

压紧机构如图