专题三：函数解析式的求法专题总结-文档

函数专题之专题三：函数解析式的求法专题三：函数解析式的求法一、待定系数法方法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。【例题】设是一次函数，且，求解：设，则配凑法方法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。【例题】已知，求的解析式解：，换元法方法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。【例题】已知，求解：令，则，代入法方法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。【例题】已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点则，解得：，点在上把代入得：整理得构造方程组法方法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。【例题1】设求解=1\*GB3①显然将换成，得：=2\*GB3②解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得：【例题2】设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解为偶函数，为奇函数，又=1\*GB3①，用替换得：即=2\*GB3②解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得，六、赋值法方法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。【例题】已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令得函数解析式为：七、递推法方法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【例题】设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求解，不妨令，得：，又=1\*GB3①分别令=1\*GB3①式中的得：将上述各式相加得：，【练习】(1)已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式。(2)已知f（x＋）＝x3＋，求f(x)的解析式。(3)已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式。分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f及其定义域.(1)解法一：【换元法】设t＝＋1≥1，则＝t－1，∴x＝（t－1）2∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）∴f（x）＝x2－1（x≥1）解法二：【凑配法】由f(+1)=x+2=-1，∴f(x)=-1(x≥1)【评注】①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。(2)∵x3＋＝（x＋）（x2＋－1）＝（x＋）[（x＋）2－3]∴f（x＋）＝（x＋）[（x＋）2－3]∴f（x）＝x（x2－3）＝x3－3x∴当x≠0时，x＋≥2或x＋≤－2∴f（x）＝x3－3x（x≤－2或x≥2）(3)设f（x）＝ax＋b则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17∴a＝2，b＝7∴f（x）＝2x＋7评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。已知，求；（5）已知，求；（6）已知是一次函数，且满足，求；（7）已知满足，求．解：（4）∵，∴（或）．（5）令（），则，∴，∴．（6）设，则，