河南省新乡市封丘县2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题

河南省2022－2023学年第一学期学情分析一九年级数学（B）（华东师大）注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔直接答在试卷上．2.答卷前请将装订线内的项目填写清楚．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内．1.下列图形中，不是相似图形的一组是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．【详解】解：、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意，故选：．2.若为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化．依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：当或或时，“□”中添上“”，其运算的结果都不可能为有理数，∴选项ABC都不符合题意；当时，“□”中添上“”，则，其运算的结果为有理数，∴D选项符合题意；故选：D．3.如图，王林用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点在数轴上表示的数是2，则点在数轴上表示的数是（）A. B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，以及数轴上两点之间的距离，根据平行线分线段成比例定理建立等式并进行计算即可．【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的刻度上，直尺的3刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行，点在数轴上表示的数是2，设点在数轴上表示的数为，，即，解得：，即点在数轴上表示的数为5，故选：D．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查根式的运算，根据，，直接求解即可得到答案；详解】解：由题意可得，，故A选项错误，不符合题意，，故B选项错误，不符合题意，，故C选项正确，符合题意，，故D选项错误，不符合题意，故选：C．5.设，是方程的两个实数根，则的值为（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再将化为，最后整体代入即可求解．【详解】解：，是方程的两个实数根，即，，，故选：A．6.若等腰三角形底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A.9 B.12 C.9或12 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】先求出这个方程，再根据等腰三角形及三角形的构成即可求出周长.【详解】解方程得x1=2,x2=5,∵三角形为等腰三角形，∴腰为5，底为2,（腰为2，底为5舍去）故周长为12，故选B.【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.7.是线段上一点，若满足，则称点是线段的黄金分割点．如图，一片树叶的叶柄与叶脉的总长（）为，为的黄金分割点，求叶脉的长度．设，则符合题意的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了黄金分割，以及由实际问题抽象出一元二次方程，根据黄金分割点的特征，代入数据即可解题．【详解】解：由题可得：，，，（），，即，故选：B．8.如图，矩形的对称轴分别交于点，交于点．已知矩形与矩形相似，若，则的值为（）A.4 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，轴对称的性质．根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵矩形的对称轴分别交于点，交于点，∴，∵矩形与矩形相似，，即，，，故选：B．9.《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”李华按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为27，则该方程的正数解为（）A.3 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，观察图形，根据正方形的构造方法，正确列出一元二次方程是解题的关键．观察图2，可得出构造的大正方形的面积为，整理后解之，即可得出结论．【详解】解：观察图2，可知：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为：，依图2可列方程为，即，解得正数解．故选：A．10.如图，在矩形中，，过点作，垂足为，射线交于点，连接，若，则的长是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题根据题意证明，得到，作于点，证明，得到，，，再证明，得到，根据勾股定理，算出，推出、、，再次利用勾股定理，即可解题．【详解】解：四边形为矩形，，，，，，射线交于点，，，，，，作于点，，，，，，，，，，，，，，，，，解得：，，，，，解得：，，，．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、平行线性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据被开方数即可求解．【详解】解：由题意可得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．12.写出一个以2为一根且二次项系数是1的一元二次方程：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程根的计算．根据题意一元二次方程以2为一根且二次项系数是1，由此给出一元二次方程即可．【详解】解：一元二次方程以2为一根且二次项系数是1，一元二次方程的形式可以是的形式，其中取任意实数，取时，一元二次方程为，满足以2为一根且二次项系数是1，故答案为：（答案不唯一）．13.如图，交于点，，，，当______时，可与平行．【答案】【解析】【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案；【详解】解：当时，∵，∴，∵，，，∴，解得：，∴，故答案为：．14.对任意实数，，定义一种运算：，若有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．【答案】；【解析】【分析】本题考查新运算的应用及一元二次方程根与判别式的关系，根据新运算列方程，再根据一元二次方程根与判别式的关系求解即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，即：，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，故答案为：．15.如图，点为直角边上一动点，连接，作线段的垂直平分线交边于点，连接，已知，当为直角三角形时，的长为______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．分两种讨论，当和时，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解．【详解】解：设，由线段垂直平分线的性质知，∵，，∴，当时，∵，∴，∴，∴，即，解得；当时，∴，∴，即，解得；综上，的长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算；；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）本题考查零指数幂和实数的混合运算，掌握相关运算法则，即可解题．（2）本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程方法步骤，即可解题．【详解】（1）解：；（2）解：或，解得，．17.已知：，，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）本题考查平方差公式的运用，直接代入数值再利用平方差公式计算即可求解．（2）本题考查了分式的加法运算，以及平方差公式和完全平方公式的运用，将化为，再代入数值计算即可求解．【小问1详解】解：将，代入原式得：，，；【小问2详解】解：，将，代入上式，有上式，．18.关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根大于0，找出关于k的一元一次不等式．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【小问1详解】证明：∵在方程中，，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：∵，∴∴，，∵方程有一根大于0，∴，解得：，∴k的取值范围为．19.钉板作为益智教具，颇受大众青睐．如图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E．（1）求证：；（2）试求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．（1）设钉点，证明，推出，证明，即可得到结论；（2）证明，利用勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【小问1详解】证明：如图，设钉点，在和中，，，，，，，；【小问2详解】解：，，，在中，，，即，．20.改造老旧小区、建设美丽瓠城，汝南县2020年投入资金500万元，2022年投入资金720万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元．2022年为提高老旧小区生活品质，每个小区改造费用增加15%，如果投入资金年增长率保持不变，求该县在2023年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】（1）汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率为；（2）该县在2023年最多可以改造9个老旧小区．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用．（1）设汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据等量关系列出一元二次方程并解方程即可求解．（2）设该县在2023年可以改造y个老旧小区，根据不等关系列出一元一次不等式并解不等式即可求解．【小问1详解】解：设汝南县改造老旧小区投入资金年平均增长率为x，依题意，得，解得，（不合题意，舍去），答：汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率为；【小问2详解】解：设该县在2023年可以改造y个老旧小区．依题意，得，解得：，又∵y为整数，∴y的最大值为9，答：该县在2023年最多可以改造9个老旧小区．21.关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值．小明同学的解题过程如下；解：，，又已知，，整理得：，解得：，，的值为或4．（1）已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______；（2）请写出正确的解答过程．【答案】（1）没有验证是否符合题意（2）见解析【解析】【分析】（1）的值需要代入，看是否可使方程由两个实数根，（2）将代入验证，即可求解，本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．【小问1详解】解：的值需要代入，看是否可使方程有两个实数根，故答案为：没有验证是否符合题意，【小问2详解】解：，，又已知，，整理得：，解得：，，当时，代入，得：，，不符合题意，舍去，当时，代入，得：，解得：，，符合题意，所以的值为．22.延时课上，王老师带领部分同学在暗室中做了激光笔的镜面反射实验．激光笔的光源点发出的入射光线照到镜面点，反射光线经过木条顶端点，落到墙面的点处．已知点到地面的高度，点到地面的高度，光源点到木条的水平距离，墙面与木条的水平距离为．（图中点在同一水平面上）．（1）求的长；（2）求光源点到地面的高度．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）本题考查相似三角形的判定与性质，根据，即可得到，即可得到，从而得到即可得到答案；（2）本题考查相似三角形的判定与性质，根据光的反射得到，结合，即可得到即可得到答案；【小问1详解】解：由题意可得，，，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；【小问2详解】解：∵激光笔的光源点发出的入射光线照到镜面点，反射光线经过木条顶端点，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：．23.书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的的纸张长与宽的比值都相等．如A系列的制定基础首先是求取一张长宽比为．且面积为1平方米的纸张，因此这张纸的宽长分别为841毫米和1189毫米（长宽比为定值），并且编号为，若将纸张的长边对切为二，则得到两张的纸张，其宽长分别为