第1节 n阶行列式的定义

第第页第1节n阶行列式的定义线性代数

第一章

行列式

行列式是一个重要的工具，它在数学的各个领域及其它各学科都有着广泛的应用

内容提要1234n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行(列)开展克拉默法那么

1●●●

n阶行列式的定义二阶与三阶行列式排列与逆序n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组由消元法，得

a11*1a12*2b1a21*1a22*2b2

(a11a22a12a21)*1b1a22a12b2(a11a22a12a21)*2a11b2b1a21

当a11a22a12a210时，该方程组有唯一解

b1a22a12b2*1a11a22a12a21

a11b2b1a21*2a11a22a12a21

二元线性方程组

a11*1a12*2b1a21*1a22*2b2求解公式为请观测，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.

b1a22a12b2*1aaaa11221221*a11b2b1a212a11a22a12a21

二元线性方程组

a11*1a12*2b1a21*1a22*2b2其求解公式为

我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.

数表a

a1121

a12a22

记号a21

a11

a12a22

b1a22a12b2*1aaaa11221221*a11b2b1a212a11a22a12a21

表达式a11a22a12a21称为由该数表所确定的二阶行列式，即

D

a11a21

a12a22

a11a22a12a21

a其中，ij(i1,2;j1,2)称为元素.i为行标，说明元素位于第i行；j为列标，说明元素位于第j列.

a11*1a12*2b1二元线性方程组a21*1a22*2b2

假设令

D

a11a21

a12a22D2

(方程组的系数行列式)

D1

b1b2

a12a22

a11a21

b1b2

那么上述二元线性方程组的解可表示为

b1a22a12b2D1*1a11a22a12a21Da11b2b1a21D2*2a11a22a12a21D

2.三阶行列式定义对于有9个元素aij排成3行3列的式子

a11a21记主对角线副对角线

a12a22a32a13a23a33

a13a23a33

a31a11a21a31a12a22a32

a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32二阶行列式的对角线法那么并不适用！

称为三阶行列式.

三阶行列式的计算——对角线法那么

a11Da21a31

a12a22a32

a13a23a33实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.

a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32留意：对角线法那么只适用于二阶与三阶行列式.

3

2

3

例1计算行列式

D2-344-52

解按对角线法那么，有D3(3)22442(5)3

3(3)422234

(5)

1830323660872

11

1*0.*2

例2

求解方程

1264

解方程左端

D2*26*412*24**22*8,由*22*80得*2或*4.

(i1i2in)

二、排列与逆序定义由正整数1,2,,n组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为i1i2in。42316534121523是一个4级排列是一个6级排列不是一个排列

例如

n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义在一个n级排列(i1i2isitin)中，假如数isit,那么称数is与it构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为(i1i2in)例如在排列32514中，逆序32514逆序逆序

思索题：还能找到其它逆序吗？

答：2和1,3和1也构成逆序.

计算排列的逆序数的方法设i1i2in是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比i1大的数排在i1前面，记为t1;

再看有多少个比i2大的数排在i2前面，记为t2;……最末看有多少个比in大的数排在in前面，记为tn;那么此排列的逆序数为tt1t2tn

例1:求排列32514的逆序数.解：由于3排在首位，故其逆序的个数为0;在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1;在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0;在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3;在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。易见所求排列的逆序数为

(32514)010315练习：求排列453162的逆序数.解：

t9

定义

逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。把一个排列(i1i2isitin)中某两个数is,it的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列(i1i2itisin),这样的变换称为一个对换，记为is,it。

定义

将两个相邻元素对换，称为相邻对换

定理1

任意一个排列经过一个对换后，转变奇偶性。

即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。证明：第一种情形。先看相邻对换的状况

设排列为a1alabb1bm,对换a与b,变为a1albab1bmb显着，a1al,1bm这些元素的逆序数经过对换并不转变，

a与b两元素的逆序数转变为：

当ab时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减削1;

当ab时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变；;所以，排列aaabbb与排列aababb的奇偶性转变。1l1m1l1m

第二种情形。再看一般状况。设排

列为a1alab1bmbc1cn,对它做m次相邻对换，变成a1alabb1bmc1cn

再做m1次相邻对换，变成a1albb1bmac1cn总之，经2m1次相邻对换，排列a1alab1bmbc1cn变成a1albb1bmac1cn

所以这两个排列的奇偶性转变。

定理2证明

n个自然数n1共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。n级排列的总数为n!个。

设其中奇排列为p个，偶排列为q个。

假设对每个奇排列都做同一对换，那么由定理1,

p个奇排列均变成偶排列，故pq;同理，对每个偶排列做同一变换，那么

q个偶排列均变成奇排列，故qp。从而，

pq

n!2

线性代数

第一章

行列式

行列式是一个重要的工具，它在数学的各个领域及其它各学科都有着广泛的应用

内容提要1234n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行(列)开展克拉默法那么

1●●●

n阶行列式的定义二阶与三阶行列式排列与逆序n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组由消元法，得

a11*1a12*2b1a21*1a22*2b2

(a11a22a12a21)*1b1a22a12b2(a11a22a12a21)*2a11b2b1a21

当a11a22a12a210时，该方程组有唯一解

b1a22a12b2*1a11a22a12a21

a11b2b1a21*2a11a22a12a21

二元线性方程组

a11*1a12*2b1a21*1a22*2b2求解公式为请观测，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.

b1a22a12b2*1aaaa11221221*a11b2b1a212a11a22a12a21

二元线性方程组

a11*1a12*2b1a21*1a22*2b2其求解公式为

我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.

数表a

a1121

a12a22

记号a21

a11

a12a22

b1a22a12b2*1aaaa11221221*a11b2b1a212a11a22a12a21

表达式a11a22a12a21称为由该数表所确定的二阶行列式，即

D

a11a21

a12a22

a11a22a12a21

a其中，ij(i1,2;j1,2)称为元素.i为行标，说明元素位于第i行；j为列标，说明元素位于第j列.

a11*1a12*2b1二元线性方程组a21*1a22*2b2

假设令

D

a11a21

a12a22D2

(方程组的系数行列式)

D1

b1b2

a12a22

a11a21

b1b2

那么上述二元线性方程组的解可表示为

b1a22a12b2D1*1a11a22a12a21Da11b2b1a21D2*2a11a22a12a21D

2.三阶行列式定义对于有9个元素aij排成3行3列的式子

a11a21记主对角线副对角线

a12a22a32a13a23a33

a13a23a33

a31a11a21a31a12a22a32

a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32二阶行列式的对角线法那么并不适用！

称为三阶行列式.

三阶行列式的计算——对角线法那么

a11Da21a31

a12a22a32

a13a23a33实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.

a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32留意：对角线法那么只适用于二阶与三阶行列式.

3

2

3

例1计算行列式

D2-344-52

解按对角线法那么，有D3(3)22442(5)3

3(3)422234

(5)

1830323660872

11

1*0.*2

例2

求解方程

1264

解方程左端

D2*26*412*24**22*8,由*22*80得*2或*4.

(i1i2in)

二、排列与逆序定义由正整数1,2,,n组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为i1i2in。42316534121523是一个4级排列是一个6级排列不是一个排列

例如

n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义在一个n级排列(i1i2isitin)中，假如数isit,那么称数is与it构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为(i1i2in)例如在排列32514中，逆序32514逆序逆序

思索题：还能找到其它逆序吗？

答：2和1,3和1也构成逆序.

计算排列的逆序数的方法设i1i2in是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比i1大的数排在i1前面，记为t1;

再看有多少个比i2大的数排在i2前面，记为t2;……最末看有多少个比in大的数排在in前面，记为tn;那么此排列的逆序数为tt1t2tn

例1:求排列32514的逆序数.解：由于3排在首位，故其逆序的个数为0;在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1;在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0;在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3;在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。易见所求排列的逆序数为

(32514)010315练习：求排列453162的逆序