河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若f'(x0)=2，则A.1 B.2 C.4 D.62.已知C126-x=C12A.3 B.6 C.9 D.3或93.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足A.32 B.1 C.-1 4.2023年9月第19届亚运会在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会招募了一批大学生志愿者.现安排某大学含甲、乙的六名志愿者到游泳馆、射击馆和田径馆参加迎宾工作，每个场馆安排两人，每人只能在一个场馆工作，则甲乙两人被安排在不同场馆的方法有(

)A.90种 B.120种 C.72种 D.270种5.已知f(x)是定义在R上的可导函数，y=ef'(xA.(-∞,-1) B.(-∞,2) C.(0,1) D.(1,2)6.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有(

)A.18种 B.16种 C.24种 D.20种7.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(

)A.240种 B.188种 C.156种 D.120种8.若函数f(x)=lnx与g(x)=1A.(-∞,5) B.(5,+∞) C.(5,6) D.(4,5)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(2x-1A.二项式系数之和为128 B.各项系数之和为1

C.常数项为15 D.x-410.下列说法正确的为(

)A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有C62C42C22种不同的分法

B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有C61C5211.f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有xfA.f(1)<4f(2) B.f(-1)<4f(-2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(1-x)5=a0+13.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f'(x)=(x-a)(x-2)，若函数f(x14.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm，且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒20cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大，假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则体积的最小值为______四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=13x3+x2+ax(a∈R)，曲线y16.(本小题15分)

为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者．

(1)共有多少种选法？

(2)如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？17.(本小题15分)

已知函数f(x)=a(ex+a)-x，(a∈R)18.(本小题17分)

设a为实数，函数f(x)=2x3-3x2+a，g(x)=x2(2lnx-3)．

(1)19.(本小题17分)

在(x2+x+1)n=Dn0x2n+Dn1x2n-1+Dn答案和解析1.【答案】C

【解析】解：f'(x0)=2，

则h→0limf(x0+h)-f(2.【答案】A

【解析】解：由题意得6-x=2x-3或6-x+2x-3=12，

解得x=3或x=9(舍)，3.【答案】D

【解析】【分析】已知函数f(x)的导函数为f'(x)，利用求导公式对f(x)进行求导，再把x【解答】解：∵函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=2xf'(1)+ln x，(x>0)

∴f'(4.【答案】C

【解析】解：将6个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，共有C62C42C22A33⋅A33=90(种)，

甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有C35.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，属于基础题．

根据函数的图象，求出f'(x)的符号，从而求出函数的单调区间即可．

【解答】

解：由图象得：x∈(-∞,2)时，f'(x)<0，

故f6.【答案】D

【解析】解：当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，

故有1+C21C21=5，

而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选择微信，或者其中一人选择微信，另一个只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5，

此时共有5+5=10种，

当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=57.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查计数原理与排列的实际应用，注意优先分析受到限制的元素的位置．

根据题意，由于任务A必须排在前三位，按A的位置分3种情况讨论，依次分析任务E、F以及其他三个任务的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的安排方案数目，由加法原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：

①.A排在第一位，

任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，

将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，

则此时有4×2×6=48种安排方案；

②.A排在第二位，

任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，

将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，

则此时有3×2×6=36种安排方案；

③.A排在第三位，

任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，

将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，8.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=lnx与g(x)=12ax-1(a>0)的图象有且仅有一个交点，

即y=lnx-12ax+1只有一个零点，即a=2⋅lnx+1x只有一个零点．

令h(x)=2⋅lnx+1x，则h'(x)=2⋅1-lnx-1x2=-2lnxx2，h'(1)=0．

当0<x<1时，h'(x)>0，所以h(x)在(0,1)上单调递增；

当x>1时，h'(x)<0，所以h(x)在(1,+∞)上单调递减，并且h9.【答案】AB

【解析】解：在(2x-1x)7的展开式中，二项式系数的和为27=128，所以A正确；

令x=1，可得展开式的各项系数的和为(2-1)7=1，所以B正确；

又由二项式(2x-1x)7展开式的通项为Tr+1=C7r(2x)7-r(-1x)r=(-1)r⋅10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用．

根据题意，依次分析选项：

对于A，分析三人每人2本的分法数目，由分步计数原理计算可得A正确；

对于B，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分成甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得B错误；

对于C，用挡板法分析，在6本书之间的5个空位中任选2个，插入挡板即可，由组合数公式计算可得C正确；

对于D，分三种情况讨论：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本，由加法原理可得D正确；综合即可得答案．【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，先分给甲，有C62种情况，再分给乙，有C42种情况，最后2本分给丙，有C62C42C22种不同的分法，A正确；

对于B，先将6本书分为1、2、3的三组，有C61C52C33种分组方法，再将分好的三组分成甲乙丙三人，有A33种情况，则有C61C52C33A33种不同分法，B错误；

对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，用挡板法分析，在6本书之间的5个空位中任选2个，插入挡板即可，有C52=10种分法，C正确；

对于D，分三种情况讨论：

①三人每人11.【答案】AC

【解析】解：令g(x)=x2f(x)，

∵当x>0时，xf'(x)+2f(x)>0，

∴当x>0时，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0，

∴g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增；①

又f(x)为定义在12.【答案】-240【解析】解：∵(1-x)5=a0+a1x+⋯+a5x5，

∴当x=0时，a0=1；①

当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5=0②；

当x=-1时，a13.【答案】2

(-∞,2)

【解析】解：函数f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f'(x)=(x-a)(x-2)，

由函数f(x)无极值，则f'(x)≥0恒成立，可得a=2．

令f'(x)=(x-a)(x-2)=0，解得x=a或2．14.【答案】3520π

4【解析】解：设原来定海神针为acm，t秒时神针体积为V(t)，

则V(t)=π(12-t)2⋅(a+20t)，0≤t≤8，

则V'(t)=π[2(t-12)(a+20t)+20(12-t)2]，

∵当底面半径为10cm时其体积最大，

∴10=12-t，

解得t=2，

此时V'(2)=0，解得a=60，

∴V(t)=π(12-t)2⋅(60+20t)，0≤t≤8，

V'(t)=6015.【答案】解：(1)由题意得f'(x)=x2+2x+a，

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=0，即f'(1)=0，

∴12+2×1+a=0，解得a=-3；

(2)由(1)得f(x)=13x3+x2-3x，f'(x)=【解析】(1)利用导数的几何意义，即可得出答案；

(2)利用导数求出函数的单调性，即可得出答案．

本题考查利用导数研究函数的单调性和导数的几何意义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)可以分三步完成：先选下午的志愿者，有C405种选法；

再选上午的志愿者，有C355种选法；

最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有C355种选法，

因此，共有C405⋅C35【解析】(1)先选下午的志愿者，再选上午的志愿者，最后选晚上的志愿者，利用分步计数原理求解即可．

(2)当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名，求解即可．

本题考查了排列、组合及简单的计数问题，重点考查了阅读理解能力，属中档题．17.【答案】解：(1)当a=1时f(x)=ex+1-x定义域为R，

所以f'(x)=ex-1，

令f'(x)=0得x=0，

所以当x<0时f'(x)<0，

当x>0时f'(x)>0，

所以f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=0处取得极小值即最小值，

所以f(x)min=f(0)=2，无最大值．

(2)f(x)=a(ex+a)-x定义域为R，且f'(【解析】(1)求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出函数的最值．

(2)求出导函数，分a≤0、a>0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解．18.【答案】解：(1)f'(x)=6x2-6x=6x(x-1)，

由f'(x)>0，解得x>1或x<0；由f'(x)<0解得0<x<1，

所以f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

又x→-∞时，f(x)→-∞，x→+∞时，f