2025届新高考数学精准突破复习 最值、范围问题

2025届新高考数学精准突破复习最值、范围问题圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破典例1

(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝.(1)求p；考点一圆锥曲线的最值问题设A(xA，yA)，B(xB，yB)，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去).由(1)知y2＝4x，所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，设点F到直线MN的距离为d，所以△MFN的面积跟踪训练1

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－1)，整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－b2)＝0，显然，随着k的增大，b在增大，典例2

(2023·临汾模拟)已知点F1，F2是双曲线C：

(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上一点，△F1F2P的周长为18，I为△F1F2P的内心，且满足

＝2∶3∶4.(1)求双曲线C的标准方程；考点二圆锥曲线的范围问题设△PF1F2内切圆半径为r，所以

＝|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|＝2∶3∶4，因为△PF1F2的周长为18，所以|PF2|＝4，|PF1|＝8，|F1F2|＝6，所以2a＝|PF1|－|PF2|＝4,2c＝6，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝9－4＝5，由题知，直线l斜率存在且不为0，可设其方程为x＝ty＋3(t≠0)，跟踪训练2

由题意得，椭圆焦点坐标为(1,0)，双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，得t2>2k2－1≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2化简得8k2＋t2＝1，得证.(2)若直线l与C1相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围.得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，所以Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)>0，即t2<2k2＋1，解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：一是几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质求解；二是代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或值域.求解范围、最值问题的常见方法：(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.总结提升123123依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，123(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.123显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，123由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，则3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，化简可得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，又M，N都在双曲线的右支上，所以y1y2<0，1231232.(2023·温州模拟)如图，斜率为k的直线交抛物线x2＝4y于A，B两点，已知点B的横坐标比点A的横坐标大4，直线y＝－kx＋1交线段AB于点R，交抛物线于点P，Q.(1)若点A的横坐标为0，求|PQ|的值；123∵A(0,0)，∴B(4,4),∴k＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，123(2)求|PR|·|QR|的最大值.123设AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，Δ＝16k2＋16b>0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB＝－4b，xA＋xB＝4k，设R(xR，yR)，123∴x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4,则|PR|·|QR|＝－(1＋k2)(x1－xR)(x2－xR)123123故kM′A＝kMB，故M′A∥MB，由椭圆关于原点中心对称，可知A，B关于原点对称.123(2)求直线AB与CD之间的距离的取值范围.设直线CD的方程为y＝kx＋m，设C，