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文档简介
绝密★启用前
2020年8月高等教育自学考试全国统一命题考试
复变函数与积分变换试题答案及评分参考
(课程代码02199)
一、单项选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分。
1.D
2.A
3.C
4.C
5.B
6.A
7.B
8.B
9.D
10.C
11.A
12.D
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。
13.−64
14.0
绝密★启用前
2020年8月高等教育自学考试全国统一命题考试
复变函数与积分变换试题答案及评分参考
(课程代码02199)
一、单项选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分。
1.D2.A3.C4.C5.B6.A
7.B8.B9.D10.C11.A12.D
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。
13.−6414.015.e−π
16.2πi17.1
三、计算题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
eeiizz+−
18.解:由cosz=3,得=3
2
或e2izz−6ei+=10……2分
解得eiz=3±22或iz=Ln(3±22)……4分
即z=−±iLn(322)……5分
1
19.解:分别以z=0和z=1为中心,为半径,作正向圆周C和C,则
312
1fz()1fz()1fz()
dddzzz……2分
222
2πiCCzz(1)2πi12zz(1)2πiCzz(1)
′
fz()fz()
=+
−2
(zz1)z=0
z=1
=+−fff(0)′(1)(1)……5分
∂2u∂2u
20.解:因为=0,=0,
∂x2∂y2
∂∂22uu
所以+=0,即u(,xy)为调和函数.……1分
∂∂xy22
复变函数与积分变换试题答案及评分参考第1页(共3页)
∂∂vu
由C-R条件,=−=−x,
∂∂xy
x2
因此v(,xy)=−+φ()y,其中φ()y是与x无关的可微函数.……3分
2
∂∂vu
再由C-R条件,φ′()yy===,
∂∂yx
y2
所以φ()yC=+,其中C为任意实数.
2
所求解析函数为
xy22−z2
f()z=+=−uvixyi+iC=−+iiC.……5分
22
cn+2
21.解:由limn+1=lim=1,知级数在z<1内收敛.……1分
nn→∞→∞
cnn+1
在z<1内,取0到任意点z的光滑曲线C,积分
z
(nn1)nnd(1)d
C0
nn00
∞z
=zn+1=……3分
∑−
n=01z
∞z′1
求导+=n=……分
∑(nz1)25
n=01−−zz(1)
zz+11
22.解:因为=+
zz222(−−−1)zz(1)zz(1)
11
=+……2分
2311
zz11−−
zz
11111
当<<+∞时,=++++
1z2345
21zzzz
z1−
z
1111
=+++……分
3454
31zzz
z1−
z
所以当1<z<+∞时
z+112∞1
=+.……分
223∑n5
zz(−1)zzn=0z
复变函数与积分变换试题答案及评分参考第2页(共3页)
z5
23.解:函数fz()=在z<2内有六个一阶极点zzk=(=1,2,,6)……1分
z6+1k
由求留数的规则
55
zz1,……分
Res;zk==(k=1,2,,6)3
66′
z+16(z+1)
zz=k
556
zz
由留数定理d2zzπiRes;k2πi……5分
C66
zz11k1
四、综合题:本大题共3小题,共19分。
24.(本题6分)
解:()有两个一阶极点和……分
1fz()z1=−+2iz2=−−2i2
iz−−12i
()ee……分
2Res[fz();z1]==4
2′
(zz++45)2i
zz=1
1
(3)由于在实轴上没有奇点,分母次数比分子次数高两次,所
zz2++45
以可用留数计算实积分
iz
cosxe
dxzRe2πiRes;1
22
xx45zz45
e12i
1……分
Re2πiπecos26
2i
25.(本题6分)
解:ft()可写成f()t=ut()cost−−ut(2π)cos(t−2π)……2分
p
因为L[ut()cost]=,
1+p2
pe−2πp
由延迟性质L[ut(2−π)cos(t−=2π)],……4分
1+p2
于是LL[f()t]=[ut()cost]−−L[ut(2π)cos(t−2π)]
p(1−e−2π
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