2020年8月自考02199复变函数与积分变换试题含答案及评分标准

绝密★启用前

2020年8月高等教育自学考试全国统一命题考试

复变函数与积分变换试题答案及评分参考

（课程代码02199）

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1．D

2．A

3．C

4．C

5．B

6．A

7．B

8．B

9．D

10．C

11．A

12．D

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

13．−64

14．0

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2020年8月高等教育自学考试全国统一命题考试

复变函数与积分变换试题答案及评分参考

（课程代码02199）

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1．D2．A3．C4．C5．B6．A

7．B8．B9．D10．C11．A12．D

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

13．−6414．015．e−π

16．2πi17．1

三、计算题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

eeiizz+−

18．解：由cosz=3，得=3

2

或e2izz−6ei+=10……2分

解得eiz=3±22或iz=Ln(3±22)……4分

即z=−±iLn(322)……5分

1

19．解：分别以z=0和z=1为中心，为半径，作正向圆周C和C，则

312

1fz()1fz()1fz()

dddzzz……2分

222

2πiCCzz(1)2πi12zz(1)2πiCzz(1)

′

fz()fz()

=+

−2

(zz1)z=0

z=1

=+−fff(0)′(1)(1)……5分

∂2u∂2u

20．解：因为=0，=0，

∂x2∂y2

∂∂22uu

所以+=0，即u(,xy)为调和函数.……1分

∂∂xy22

复变函数与积分变换试题答案及评分参考第1页（共3页）

∂∂vu

由C-R条件，=−=−x，

∂∂xy

x2

因此v(,xy)=−+φ()y，其中φ()y是与x无关的可微函数.……3分

2

∂∂vu

再由C-R条件，φ′()yy===，

∂∂yx

y2

所以φ()yC=+，其中C为任意实数.

2

所求解析函数为

xy22−z2

f()z=+=−uvixyi+iC=−+iiC.……5分

22

cn+2

21．解：由limn+1=lim=1，知级数在z<1内收敛.……1分

nn→∞→∞

cnn+1

在z<1内，取0到任意点z的光滑曲线C，积分

z

(nn1)nnd(1)d

C0

nn00

∞z

=zn+1=……3分

∑−

n=01z

∞z′1

求导+=n=……分

∑(nz1)25

n=01−−zz(1)

zz+11

22．解：因为=+

zz222(−−−1)zz(1)zz(1)

11

=+……2分

2311

zz11−−

zz

11111

当<<+∞时，=++++

1z2345

21zzzz

z1−

z

1111

=+++……分

3454

31zzz

z1−

z

所以当1<z<+∞时

z+112∞1

=+.……分

223∑n5

zz(−1)zzn=0z

复变函数与积分变换试题答案及评分参考第2页（共3页）

z5

23．解：函数fz()=在z<2内有六个一阶极点zzk=(=1,2,,6)……1分

z6+1k

由求留数的规则

55

zz1，……分

Res;zk==(k=1,2,,6)3

66′

z+16(z+1)

zz=k

556

zz

由留数定理d2zzπiRes;k2πi……5分

C66

zz11k1

四、综合题：本大题共3小题，共19分。

24．（本题6分）

解：（）有两个一阶极点和……分

1fz()z1=−+2iz2=−−2i2

iz−−12i

（）ee……分

2Res[fz();z1]==4

2′

(zz++45)2i

zz=1

1

（3）由于在实轴上没有奇点，分母次数比分子次数高两次，所

zz2++45

以可用留数计算实积分

iz

cosxe

dxzRe2πiRes;1

22

xx45zz45

e12i

1……分

Re2πiπecos26

2i

25．（本题6分）

解：ft()可写成f()t=ut()cost−−ut(2π)cos(t−2π)……2分

p

因为L[ut()cost]=，

1+p2

pe−2πp

由延迟性质L[ut(2−π)cos(t−=2π)]，……4分

1+p2

于是LL[f()t]=[ut()cost]−−L[ut(2π)cos(t−2π)]

p(1−e−2π