高考理科数学一轮复习课件分类加法计数原理与分步乘法计数原理

汇报人：XX高考理科数学一轮复习课件分类加法计数原理与分步乘法计数原理20XX-01-24目录计数原理基本概念分类加法计数原理应用分步乘法计数原理应用复杂问题综合应用高考真题回顾与模拟训练学生自主思考与探究01计数原理基本概念Chapter完成一件事有$n$类办法，在第$1$类办法中有$m_{1}$种不同的方法，在第$2$类办法中有$m_{2}$种不同的方法，$ldots$，在第$n$类办法中有$m_{n}$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m_{1}+m_{2}+ldots+m_{n}$种不同的方法。从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。一天中火车有$3$班，汽车有$2$班，飞机有$1$班。那么一天中从甲地到乙地共有多少种不同的走法？定义举例分类加法计数原理完成一件事，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_{1}$种不同的方法，做第$2$步有$m_{2}$种不同的方法，$ldots$，做第$n$步有$m_{n}$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m_{1}timesm_{2}timesldotstimesm_{n}$种不同的方法。定义在所有的三位数中，各位数字互不相同的三位数共有多少个？举例分步乘法计数原理关系分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。区别分类加法计数原理是加法原理，指若完成一件事有几种不同的方式，则完成这件事的方法数等于各种方式的方法数相加；分步乘法计数原理是乘法原理，指若完成一件事需要分几个步骤，则完成这件事的方法数等于各个步骤的方法数相乘。两者关系与区别02分类加法计数原理应用Chapter03应用场景适用于对某一事件按照不同特征或条件进行分类计数的情况。01定义在单一事件中，根据事件的不同情况或特征进行分类，每一类中的方法数相加即为总的方法数。02示例从5个不同的红球和3个不同的白球中任取一球，共有5+3=8种不同的取法。单一事件分类计数定义在多个事件中，每个事件都有多种方法可以实现，将这些事件的方法数相乘即可得到总的方法数。示例从5个不同的红球中选2个，再从3个不同的白球中选1个，共有C(5,2)*C(3,1)种不同的选法。应用场景适用于多个事件需要同时考虑，且每个事件都有多种方法可以实现的情况。多个事件组合计数VS某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是_____.解析首先求出男生甲被选中的情况下，剩余6人中任选2人的方法数为C(6,2)。然后分别求出男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件数，即男生乙和女生丙都被选中、男生乙被选中女生丙不被选中、男生乙不被选中女生丙被选中三种情况的方法数之和，最后利用概率公式求解即可。例题1典型例题解析典型例题解析例题2将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是_____.解析首先求出5本书全发给4名同学的总方法数为4^5。然后求出每名同学至少有一本书的方法数，即利用排除法，先求出只有3名同学有书的方法数，再求出只有2名同学有书的方法数，最后利用概率公式求解即可。03分步乘法计数原理应用Chapter排列问题有序事件的分步计数通常涉及到排列问题，即考虑元素之间的顺序。例如，从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，可以通过分步乘法计数原理求解。逐步分析对于有序事件，可以按照事件发生的顺序逐步分析。每一步的选择都会影响到后续步骤的选择，因此需要将每一步的选择情况相乘。乘法原理应用根据分步乘法计数原理，一个有序事件可以分成若干个互相联系的步骤，每一步都有确定的方法数，则完成这个有序事件的方法总数等于各步骤方法数的乘积。有序事件分步计数无序事件分步计数无序事件的分步计数通常涉及到组合问题，即不考虑元素之间的顺序。例如，从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，可以通过分步乘法计数原理求解。分类讨论对于无序事件，可以按照事件的性质进行分类讨论。每一类事件都可以看作是一个有序事件，因此可以按照有序事件的分步计数方法进行处理。乘法原理应用根据分步乘法计数原理，一个无序事件可以分成若干个互相独立的步骤或分类，每一类都有确定的方法数，则完成这个无序事件的方法总数等于各类方法数的乘积。组合问题例题1从5个不同的红球和4个不同的白球中任取3个球，求取出的3个球中既有红球又有白球的取法总数。例题2有5本不同的书要分给4名同学，每名同学至少分到1本书，求不同的分法总数。解析首先，这是一个有序事件的排列问题。可以按照分书的顺序逐步分析。具体地，可以先将5本书分成4组（其中一组有2本书），再将这4组书分给4名同学。根据分步乘法计数原理，分法总数等于分组的方法数与分组后分给同学的方法数的乘积。分组的方法数可以通过从5本书中任选2本作为一组的方法数求得，而分组后分给同学的方法数则是一个排列问题。典型例题解析04复杂问题综合应用Chapter理解分类加法与分步乘法的本质区别分类加法针对的是“加法原理”，即完成一件事有n类方法，则完成这件事的方法数等于各类方法数之和；而分步乘法针对的是“乘法原理”，即完成一件事需要n个步骤，则完成这件事的方法数等于各步骤方法数之积。掌握分类加法与分步乘法在解题中的综合运用对于复杂问题，往往需要同时运用分类加法和分步乘法。首先，根据问题的特点，将其拆分为若干个相互独立的部分或步骤；然后，针对每个部分或步骤，运用相应的计数原理进行求解；最后，将各部分或步骤的结果进行汇总，得出最终答案。分类加法与分步乘法结合010203明确问题的目标在拆分问题之前，首先要明确问题的目标，即需要求解的是什么。这有助于确定拆分的方向和策略。合理拆分问题根据问题的特点和目标，将其拆分为若干个相对独立且易于解决的小问题。拆分时要遵循“相互独立、完全穷尽”的原则，确保每个小问题都是原问题的一个组成部分，且各个小问题之间不存在重复或遗漏。分别求解小问题针对每个小问题，运用相应的数学知识和方法进行求解。求解过程中要注意细节和准确性，确保每个小问题的解答都是正确的。复杂问题拆分策略例题一某城市有4条东西街道和6条南北街道，一个人从城市的一角出发，要求走过每条街道恰好一次，并且最后回到出发点。问此人有多少种不同的走法？解析此题考查的是分类加法与分步乘法在路径问题中的应用。首先，根据题意可知，从出发点开始，每次只能向东或向南走。因此，可以将问题拆分为两个部分：一是选择东西街道的走法，二是选择南北街道的走法。对于东西街道的走法，由于有4条街道需要走过且每条街道只能走一次，因此有4!（4的阶乘）种走法。对于南北街道的走法，同样有6!（6的阶乘）种走法。因此，根据分类加法原理，总的走法为4!+6!。然后考虑回到出发点的情况，由于出发点可以在任意一条街道上，因此需要除以2（东西或南北方向均可作为出发点），最终答案为(4!+6!)/2。典型例题解析例题二有5本不同的书要分给4名学生，每名学生至少分到1本书，则不同的分法有多少种？解析此题考查的是分类加法与分步乘法在分组问题中的应用。首先，根据题意可知，需要将5本书分成4组且每组至少有一本书。因此可以采用“插空法”进行求解。先将5本书排成一列形成4个空位（相当于4名学生），然后将这4个空位插入到5本书之间（或两端）的插法有C(9,3)（组合数公式）种。接着考虑每名学生分到书的数量不同的情况。由于每名学生至少分到1本书且总共有5本书要分完因此只有两种分组方式：1、1、1、2和1、1、3。对于第一种分组方式有C(5,2)C(3,2)C(1,1)/A(3,3)种分法（先选出2本书作为一组再选出2本书作为另一组剩下的1本书自成一组最后除以3的阶乘以消除重复）；对于第二种分组方式有C(5,3)C(2,1)C(1,1)/A(2,2)种分法（先选出3本书作为一组再选出1本书作为另一组剩下的1本书自成一组最后除以2的阶乘以消除重复）。因此根据分类加法原理总的不同分法为C(9,3)[C(5,2)C(3,2)C(1,1)/A(3,3)+C(5,3)C(2,1)C(1,1)/A(2,2)]。典型例题解析05高考真题回顾与模拟训练Chapter（2019全国卷I）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是_______．0102（2018全国卷I）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，如30=7+23．在不超过30的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______．历年高考真题回顾模拟训练题目展示从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有_______．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻）那么不同的排法总数有_______．对于涉及“至少”或“至多”的问题，通常使用分类加法计数原理，将问题拆分为几个互斥且不可同时发生的事件，然后分别计算每个事件的概率或数量，最后相加得到结果。在解题过程中，要注意检查每个分类或分步是否完整、准确，以及是否满足题目中的限制条件。同时，也要注意灵活运用组合、排列等数学知识来简化计算过程。对于涉及“顺序”的问题，通常使用分步乘法计数原理，将问题拆分为几个相互独立且必须依次发生的事件，然后分别计算每个事件发生的概率或数量，最后相乘得到结果。解题思路与方法总结06学生自主思考与探究Chapter题目类型包括选择题、填空题和解答题，涵盖不同难度层次，以满足不同学生的需求。题目内容涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理的基本概念、性质、应用等方面，注重知识的综合性和思维的灵活性。设计意图通过自主思考题目，引导学生深入理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念和应用。自主思考题目设计展示形式学生可以通过小组讨论、个人展示、PPT演示等方式展示自己的探究成果。展示内容学生需要清晰地阐述自己的解题思路、方法和结果，同时提供必要的证明和推导过程。互动环节在展示过程中，学生