数学（选修22）练习4.1.3导数的概念和几何意义活页作业2

活页作业(二)导数的概念和几何意义1．已知函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(1)＝()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,4)解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1\r(1＋Δx)＋1,Δx\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，当Δx趋于0时，eq\f(Δy,Δx)趋于eq\f(1,2)，所以f′(1)＝eq\f(1,2).答案：B2．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为()A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)解析：设M(x0，y0)．eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2＋x0＋Δx－2－x\o\al(2,0)＋x0－2,Δx)＝2x0＋Δx＋1，当Δx趋于0时，eq\f(Δy,Δx)趋于2x0＋1，即2x0＋1＝3，解得x0＝1.则y0＝0.∴点M的坐标为(1,0)．故选B.答案：B3．做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为()A．0 B．3C．－2 D．3－2t解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3t＋Δt－t＋Δt2－3t－t2,Δt)＝3－2t－Δt，当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于3－2t，该物体在t＝0时的瞬时速度v＝3－2×0＝3.故选B.答案：B4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是()A．1 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a1＋Δx2－a,Δx)＝2a＋aΔx.当Δx趋于0时，eq\f(Δy,Δx)趋于2a，由题意得2a＝2.∴a＝1.答案：A5．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角是eq\f(π,4)，则f′(x0)＝()A.eq\f(π,4) B．－eq\f(π,4)C．－1 D．1解析：由题意知f′(x0)＝taneq\f(π,4)＝1.答案：D6．若曲线f(x)＝x2上某点的切线的倾斜角为eq\f(3π,4)，则此点的坐标是____________.解析：设所求点的坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))．由题意，得f′(x0)＝－1.利用导数的定义，求得f′(x0)＝2x0.故2x0＝－1，即x0＝－eq\f(1,2).则所求点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))7．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝____________.解析：由题意，得f′(1)＝eq\f(2,3).故f(1)＝1，则f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)8．已知函数y＝ax2＋b在(1,3)处切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝____________.解析：当x＝1时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a1＋Δx2＋b－a×12－b,Δx)＝eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝2a＋aΔx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2a.由题意知2a∴a＝1.又3＝a＋b，∴b＝2.∴eq\f(b,a)＝2.答案：29．求函数y＝f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数．解：∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2.10．已知曲线C：y＝f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程．(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P的坐标为(1,1)．∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1＋Δx3－1,Δx)＝Δx2＋3Δx＋3，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→3.∴曲线在点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－1＋1，,y＝x3，))得(x－1)2(x＋2)＝0.∴x1＝1，x2＝－2.∴公共点为(1,1)和(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．11．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＞0 D．f′(x0)不确定解析：f′(x0)的几何意义为y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率．由题意，得切线斜率为k＝－2.∴f′(x0)＝－2＜0.答案：B12．已知曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，则过点P的切线的倾斜角为____________.解析：∵y＝eq\f(1,2)x2－2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,2)x＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2)),Δx)＝eq\f(\f(1,2)Δx2＋x·Δx,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→x，∴当x＝1时，y′＝1.∴过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.答案：45°13．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为____________.解析：设P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋4x0)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝2Δx＋4x0＋4，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→4x0＋4，∴f′(x0)＝4x0＋4.又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3.∴P(3,30)．答案：(3,30)14．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(xeq\o\al(3,0)＋axeq\o\al(2,0)－9x0－1)＝(3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3,∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)趋近于3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9.故f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9，即f′(x0)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(a,3)))2－9－eq\f(a2,3).当x0＝－eq\f(a,3)时，f′(x0)有最小值－9－eq\f(a2,3).∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线的斜率为－12.∴－9－eq\f(a2,3)＝－12.解得a＝±3.又a＜0，∴a＝－3.15．已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程．(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程，所求切线与曲线是否还有其他公共点？若有，请求出其坐标；若没有，请说明理由．解：(1)由导数的定义，求得y′|x＝2＝4.由导数的几何意义，得点P(2,4)处的切线的斜率为4.故所求的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0；(2)设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，利用导数的定义和几何意义，得切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)，故切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)．∵点P(2,4)在切线上．∴4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(2－x0)．解得x0＝2或x0＝－1.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y－4＝0，,y＝\f(1,3)x3＋\f(4,3)，))消去y并整理，得x3－12x＋16＝0，即x3－4x－8x＋16＝0.∴(x－2)(x2＋2x－8)＝0，即(x－2)2(x＋4)＝0.∴x＝2或x＝－4.故切线4x－y－4＝0与曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)除有公共点(切点)P(2,4)外，还有一个公共点为(－4，－20)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,y＝\f(1,3)x3＋\f(4,3)，))消去y并整理，得x3－3x－2＝0，即x(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0.故(x＋1)2(x－2)＝0.∴x＝－1或x＝2.故切线x－y＋2＝0与曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)，除有公共点(交点)P(2,4)外，还有一个公共点即切点(－1,1)．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．(1)求f(x)的二阶导数f″(x)．(2)计算第2h时原油温度的瞬间变化率，并说明它的