正态分布在教育研究中的应用(文档良心出品)

阅读报告正态分布在教育研究中的应用利用正态分布确定超前百分位数排定名次所谓超前百分位数即是指位列于某一个数值之后的人在全体人员中所占的百分数;因此求一位考生的超前百分位数即可利用正态分布求出任意一个考生的分数位列在该名考生之后的概率Pξ<K例1某市一次全市初三英语会考的考试成绩可以用正态分布来描述,其平均成绩为μ=70(分),标准差为σ=9(分).一考生考得75分,求其超前百分位数.解记ξ为参加这次英语会考的考生成绩.由题意可认为ξ~N(70,于是当某位考生考得75分时,其超前百分位数为:P这表明有71.0%名列得75分的考生之后的学生.利用正态分布求各种分数段内的百分比和人数利用正态分布求各种分数段内的百分比和人数,可近似看作求任意一个考生的分数落在各种分数段内的概率;而人数可用求得的百分比乘上总的人数即可得到各个分数段内的人数.例2某校有600学生参加计算机应用课程的考试,他们的考试成绩可以用正态分布来描述,其平均成绩为μ=75(分),标准差为σ=8(分),试计算学生成绩分别在90分以上,80分至90分之间,70分至80分之间,60分至70分之间以及不及格的人数.解记ξ为学生参加该考试的得分,则ξ~N(75,8PPPPP进而有:600×0.0291=17.46,600×0.2356=141.36,600×0.4680=280.8,600×0.2356=141.36,600×0.0304=18.24知学生成绩在各种相应分数段内的人数分别为18人,141人,281人,141人,19人.利用正态分布进行能力分组或评定成绩的等第根据正态分布的"3σ原则",可以近似地将所有待分组人员看作是在区间例3某中学高二年级有学生400人,其体育成绩可以用正态分布来描述.今欲将学生的体育成绩定为优秀,良好,中等,及格,不及格五个等第,求各组的人数.解记ξ为学生的体育成绩,则ξ~N(μ,σ根据"3σ原则",为了按照成绩将学生分为五个等第,可以将区间(μ-3σ,μ+3σ)分为五段,规定各段的长度相等.如此可得每个小区间的长度为PPPPP进而,将这些百分数乘以总人数400,即知优秀,良好,中等,及格,不及格各组人数约为14人,95人,182人,95人,14人.例4某中学的初一年级有500名学生,他们的某种能力指标可以用正态分布来描述.现在按能力将他们分为A,B,C,D四个组参加一项测试,求各组的人数.解记ξ为学生的该种能力指标,则ξ~N(μ,σ同理,根据"3σ原则"可将区间(μ-3σ,μ+3σ)分为四段,每段长度为PPPP进而,将这些百分数乘以总人数500,即知A,B,C,D各组人数约为33人,217人,217人,33人.利用正态分布预测录取分数线和考生考试名次一般来说,利用所给的信息确定成绩或能力指标所遵循的正态分布,即确定系数μ和σ;然后根据录取的人数确定最后一名被录取的人的分数C,即为录取分数线.具体方法是近似将录取人数比上总人数看成是任意一位考生的分数高于录取分数线C的概率P(ξ>C),利用正态分布表求得C.当知道以为考生的分数时,可以利用正态分布确定其名次.具体方法为求得任意一个考生分数比他高的概率,再乘上总人数得到分数比他高的人数,名次也就显而易见了.例5某公司在一次招工考试中,计划招工100名,其中正式工80名,临时工20名;规定进行三门课程的考试,每门满分100分,总计满分300分.实际报考的有693人,考试总平均成绩为198,265分以上的有14人.预测最低录取分数线;若按总分高低排名次,今有一考生考试总分为237分,试分析他被录取为正式工的可能性.解记ξ为报考者的总分成绩,则对一次规范的考试来说,可以认为ξ服从正态分布.由题意知近似地有ξ~N(198,σ2)由条件“265分以上的有14人”以及概率的试验度量法知：P(ξ>265)≈即:1-Φ265-198σ查标准正态分布函数值表知:Φ(2.05)≈0.9798,所以应有67因此近似地有:ξ~N(198,设最低录取分数线为C,按照从693人中录取100名职工的要求,C应满足:P(ξ>C)≈即:P由标准正态分布函数值表得:Φ(1.06)≈0.8557.于是应有:C-198计算结果表明,理论上预测的最低分数线为233分.当考生总分为237分时,693位报考者中超过237分的概率为:P即考试成绩高于该考生的人数大约占全体报考者的11.9%,从而成绩高于该考生的人数大约有:693×11.9%≈82人计算结果表明,该考生总分大约排在第83名,故若严格地按总分从高到低录取,他被录取为正式工的可能性不大.利用正态分布将原始分数转换为标准分数而加以利用在教育统计学上,若记X为应试者在被试科目中的原始分数,X为该被试科目原始分数的平均分室,S为该科目试卷的标准差,则称标准分数Z=为Z分数.再对Z分数进行线性变换Z每取一组不同的α,β值,即得出一种不同的以标准分数为基础的实用标准分数,并可以此分数作为不同的考量参考.例6对一所中等师范学校的毕业年级进行英语和计算机应用两门课程的测试,经统计,英语的平均分数为80分,标准差为6分;计算机应用的平均分数为70分,标准差为9分.某学生英语考得85分,计算机应用考得80分,试问该生哪门课程的成绩在全年级相对更好?解将该生的两个原始分数转换为标准分数,分别记Z1和ZZZ比较这两科的标准分数可知,尽管该生英语的原始分数高于计算机应用的原始分数,但与平均分数和标准差联系起来看,该生的计算机应用的标准分数高于英语的标准分数,因此该生在全年级的计算机应用成绩比英语成绩好.例7某中学高二甲,乙两位学生五门课程的测验成绩(每门课程满分均为100分)为:语文数学英语物理化学甲7587627870乙8982806065又经统计,该年级五门课程这次测验的平均分数分别是70分,80分,65分,75分,68分,标准差分别是9分,6分,11分,8分,10分,试运用标准分数来比较甲,乙这次测验总分的顺序.解先按照计算标准分数的公式列成下表的格式进行计算:科目原始分数全体考生标准分数ZT甲乙μσ甲乙甲乙语文75897090.5562.11155.5671.11数学87828061.1670.33361.6753.33英语62806511-0.2731.36447.2763.64物理78607580.375-1.87553.7531.25化学706568100.200-0.30052.0047.00总和=SUM(ABOVE)372=SUM