二〇二〇届全国高考模拟调研考试试卷理科数学（全国卷）含解析 (江西)

二。二。届全国高考模拟调研考试试卷

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位

置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标

号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题

时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。

1.圆f+y?=4与圆了2+,2-4》+今-4瓶=0的公共弦所在的直线和两坐标轴

所围成图形的面积为2,则m的值为（）

A.-3B.-1C.3D.3或-1

2.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如

图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式

543

/（x）=a5x+o4x+a3x+a,x-+axx+a0,当x=,（%是任意实数）时的值的过

程，右输入/=2,q=—5,g=6,%=,%=7,6z5—2,x0—3,则输出的\/的

值为（）

A.984B.985

C.986D.987

3.2c：+6C：+18C；+...+2X3"TO()

4.已知复数z满足（l+，）z=|G+，|,i为虚数单位，则z等于（）

1.11.

A.1—iB.1+zC.—iD.—+—z

2222

5.如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，点E、R分别是棱3C,

CG的中点，P是侧面3CG耳内一点，若AP〃平面AEF,则线段AP长度的

取值范围是（）

B

A.B.[^4]C."D.

6.已知函数/(x)满足：tz=(x2,/(x)),&=(l,x--+^-),allb，数列｛4｝的

XX

前。项和为s“，满足/(%)+/(g)+…+/(4)=。；+q...+。：一〃2,则

/(«)1an

limn10的值为()

X—>003n

79

A.一一B.-4C.—D.-5

22

7.设正数。，b满足b-a<2,若关于％的不等式(/-4产+4区-/<0的解

集中的整数解恰有4个，则。的取值范围是()

A.(2,3)B.(3,4)C.(2,4)D.(4,5)

8.数列n｝的通项公式a“=〃cos：,其前〃项和为S“，贝岫。”等于()

A.1006B.1008C.-1006D.-1008

9.设AB,。,。是同一个半径为4的球的球面上四点，在A6c中，

3。=6,的。=60。,则三棱锥0-筋。体积的最大值为()

A.1273B.1873C.2473D.54g

10.若对于任意x,y«0,"o),不等式4以〈产+厂2+炉7-2+2恒成立，则实数a

的最大值是()

1

A.B.1C.2D.-

42

11.已知AABC是边长为26的正三角形，EP为AABC的外接圆。的一条直

径，M为AABC的边上的动点，则ME.尸Af的最大值为()

A.3B.4C.5D.6

12.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中

一支股票.在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的

2倍.在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时

还持有其它股票的人数多L在只持有一支股票的人中，有一半持有A股

票.则只持有B股票的股民人数是()

A.7B.6C.5D.4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若对于任意x©[l,4],不等式04ax2+bx+4a44x恒成立，|a|+|a+b+25]的范

围为.

14.设印为不超过x的最大整数，。“为可能取到所有值的个

数，*是数列｛」^｝前〃项的和，则下列结论正确的是.

(1)%=4(2)190是数列｛。“｝中的项

(3)，。=力(4)当〃=7时，取最小值

6n

15.钝角AABC中，若A=q-,|BC|=1,则201ABl+3|AC|的最大值为

16.已知数列｛。"｝中，4=2,点列门("=1,2….)在AABC内部，且与

A^,AC的面积比为2:1,若对“eN*都存在数列｛2｝满足

d5A+g4+山3+(34+2)3=0,则%的值为.

三、解答题：每小题满分12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17-21题，满分60分。22-24题，满分10分。请考生在22、23、24题中任选一

题作答，如果多做，则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。

22

17.已知椭圆£:!?+3=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为《、B，椭圆的离

心率为:，过椭圆G的左焦点6,且斜率为1的直线/,与以右焦点工为圆

心，半径为0的圆。2相切.

(1)求椭圆G的标准方程；

(2)线段是椭圆G过右焦点工的弦，且叫=4gN,求的面积的

最大值以及取最大值时实数2的值.

n1

18.设S〃=Z(T严7c:,〃欢eN*.

Mk

(1)求S2—s-S3-S2.

〃1

(2)猜想S“-的值，并加以证明.

k=\k

19.已知函数/(x)=l-]nx+a2x2-ax(a£R).

(1)当时，讨论函数/(1)的单调性；

2

(2)若a=0且xe(0,l),求证：/^+X--<1.

ex

20.已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.C:j：=4x,0为坐标原点，

过点A的动直线I交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.

(1)证明:。MWP为定值;

(2)若APOM的面积为:，求向量如■与方的夹角;

⑶证明直线PQ恒过一个定点.

21.已知函数/(%)(xc。)，若同时满足以下条件：

①Ax)在D上单调递减或单调递增；

②存在区间m，切使/⑴在句上的值域是［。,勿，那么称/(x)(xeD)为

闭函数.

(1)求闭函数/(x)=-/符合条件②的区间&句；

(2)判断函数/(x)=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间&勿；若不是请

说明理由；

(3)若/(x)=k+而，是闭函数，求实数上的取值范围.

22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

一7T

系，圆G的极坐标方程为夕=4sin，，圆的极坐标方程为夕=4cos(6+/),

已知Ci与交于A、5两点，点3位于第一象限.

(I)求点A和点3的极坐标；

(II)设圆G的圆心为G，点尸是直线上的动点，且满足5。=加3。1，若

x=73--2

直线qp的参数方程为2(X为参数)，则加：力的值为多少？

y=1+—A

I2

23.已知函数/(x)=%-3广+三一］(。>0),g(x)=4-|x+l|.

(1)当”=1时，求不等式的解集；

(2)若关于％的不等式〃x)<g(x)的解集包含［1,2］,求，的取值集合.

24.如图，圆。的直径.18=10,尸是.18延长线上一点，BP=2,害U线尸C。

交圆。于点C,。，过点尸作a尸的垂线，交直线于点E,交直线一1D于点尸.

(1)求证：APEC=APDF;

(2)求产E•尸尸的值.

【参考答案】

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

求出公共弦所在直线，再求与两坐标轴的交点，即可得出面积表达式，根据面

积关系求解.

【详解】

圆/-4x+4y-4-m-0的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4m+8,m>-2

两圆相交，必有12-J47〃+81<24<2+j4m+8,且加>—2,

将两圆方程相减可得4x-4y+4m=4,

当x=0时，y=m-l,当y=0时，x=l-m,所以直线与坐标轴的交点为

(0,加—1)与。—加,0),所围图形面积S=1x(m-l)2=2,解得机=3或—1,经

检验，符合条件.

故选：D

【点睛】

此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需

要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑两圆的位置

关系.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

执行程序框图，输入%=2,%=—5,的=6,%=-4,%=7,%=2,超=3,直到退出

循环，得到输出的值.

【详解】

执仃程序框图，输入/=2,q=-5,a?=6,%=-4,%=7,%=2,=3,经过弟1

次循环得v=13,n=2；经过第2次循环得v=35,n=3;经过第3次循环得v

=111,n=4；经过第4次循环得v=328,n=5；经过第5次循环得i/=986,n

=6,退出循环.故输出的V的值为986,故选C.

【点睛】

本题主要考查了根据程序框图计算输出的值，属于中档题.

3.B

解析：B

【解析】

2C>6C；+18C3++2x3""：=

22

=-(C>3+C>32+C；x3n)=-(C>3°+C>3+C>32+C；；x3--1)

22

=早(1+3)"—1]=§(4〃_1)选B.

4.A

解析：A

【解析】

因为2=吧*J??)所以应选答案A.

1+2(1+Z)(l—2)

5.C

解析：C

【解析】

【分析】

分别取棱8用、的中点〃、N,连接易证平面4MN//平面AEF,

由题意知点P必在线段上，由此可判断P在〃或N处时4P最长，位于线

段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得.

【详解】

如下图所示，分别取棱8片，Be的中点/、N,连MN,BG,

4B

M,N,E,P分别为所在棱的中点，则MN//5C，EF//BC,,

MN//EF,又肱Va平面AEF,EFu平面AEF,

〃平面AEF.

AA^Z/NE,A\=NE,

二四边形AENA为平行四边形，

A.NHAE,

又4N<Z平面AEF,AEu平面AEF,

AN〃平面AEF,

又ANMN=N,

•••平面\MNII平面AEF.

P是侧面3CC圈内一点，且AP〃平面AEF,

二点P必在线段上.

在Rt^A^M中，=飞入8；+8M2=也+1=75.

同理，在七例与N中，可得AN=石,

为等腰三角形.

当点P为脑V中点。时，A.PLMN,止匕时AP最短；点尸位于M、N处时，

4尸最长.

4<9==J（A/5）2--=—»AM=AN=布.

VI2J2

二线段4尸长度的取值范围是］呼，石.

故选：c.

【点睛】

本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属

中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置.

6.B

解析：B

【解析】

【分析】

由a//。可求出〃力的表达式，进一步表示出4与r的值，展开行列式，结合

数列极限即可求解

【详解】

al1b，n"x）=x3f+l,/（4）+/（/）+…+/（/）=

X—+——

xx2

=d+起…+a：—（q+a2+4）+〃=嫁+起…+a：一"，

即=%+。2+a〃=〃之+〃①，又5,_]=%+〃2+%_]=(〃—1)+〃—1②

(n>2),

f(n)1an

1

①-②得a=2n,经检验n=1也符合，故4=2n,n0

n~sn~

1

an0

a”

/一〃+〃

2114n1141

"3一〃+°.——

732

J,£n+n2nn+122n+2nn+12

/(〃)1an

n3—n+14〃1'_

贝I」limn——0=lim

00Vn->oo

、24+2/n+12?

an0-

an

n—>co2n3+2n2n+1222

故选：B

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，数列的4,5〃的求解，三阶行列式的化简，极限

思想的应用，属于难题

7.C

解析：C

【解析】

分析：将不等式因式分解可得［（。+2卜-刃［（。-2卜+可<。，由于解集中整数

bb

解恰有4个，则a>2,则有——则四个整数解为-3,-2,-

a-2a+2

b

1,0.则有-4<——-<-3,结合条件b<2+a,可得a<4,进而得到a的范

a—2

围.

详解：(«2-4)X2+4Z?X-Z72<0,gpcrx2-(4x2-4Z?x+ZJ2)<0

«2x2-(2x-Z?)2<0,(ar+2x-/?)(ar-2x+Z?)<0,

/.^(«+2)X-Z?^(«-2)X+ZJ^|<0

由于解集中整数解恰有4个，则a>2,

上…上<1

CL—2Q+2

则四个整数解为-3,-2,-1,0.

bb

・•・一4<--------<-3,即3<——<4

a—2a-2

即3a-6<b<4a-8,又2+〃

/.3a-6<2+(2,a<4,又a>2

的取值范围是（2,4）

故选C

点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不

等式的性质的运用，考查运算能力，属于易错题.

8.B

解析：B

【解析】

【分析】

nn=4k(keN*)

依据y=cosgx为周期函数，得到4=°九=4左+1(左eN),并项求和，即

2-nn=4k+2(k&N)

0〃=4左+3(攵eN)

可求出邑。17的值。

【详解】

nn=4k(kGN*)

因为y=cosgx为周期函数，周期为4,所以&=0n=4左+1(攵eN)

2—nn=4左+2(左eN)

0n=4左+3(左eN)

员017—(42+”4)+(“6+火)+(4。+42)++(“2014+“2016)+“2017

=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)++(-2014+2016)

=2x504=1008,故选B。

【点睛】

本题主要考查数列求和方法一一并项求和法的应用，以及三角函数的周期性,

分论讨论思想，意在考查学生的推理论证和计算能力。

9.B

解析：B

【解析】

【分析】

利用正弦定理瘾=2『得到再计算〃-E+R=6'再利用余

弦定理和均值不等式得到反■W36,代入体积公式得到答案.

【详解】

ABC中，BC=6,ZBAC=60°,则一-—=---=4^/3=2rr—2^3

sinAsin60°

储axW-/+R=6

cr-b^+c2—2bccosA=b2+c2—be>be.'.be<36,S——besinA<9^3

2

当a=b=c=6时等号成立，止匕时V=gs〃=186

故选：B

【点睛】

本题考查了三棱锥的体积问题，综合了正弦定理，余弦定理，面积公式，综合

性强，意在考查学生的空间想象能力和综合应用能力.

10.D

解析：D

【解析】

分析：利用基本不等式和参数分离得生♦在尤>0时恒成立，构造函数

2x

g(x)=匕匕，通过求导判断函数的单调性求得g(x)的最小值，即可求得。的

2x

最大值.

详解：当x=0时，不等式即为0<e>T+e-T+2,显然成立，

当x>0时，设/(力=6»2+/7+2+2,

所以不等式4ar<e"k2+e，7+2+2恒成立，即为不等式4依W"力恒成立，

即有〃%)=广2(/+/)+2之*2.2J/.—=2+2j2(当y=0时等号成

立)，

1

由题意可得4℃<2+2/2,即有------在x>0时恒成立，

2x

人予物，、l+ex-2“、2xex-2-2(l+ex-2)

令函数g(x)=-----,则g(x)=--------------,

2x4x~

令/(尤)=0,即有(x-1)/。=1,

令A(x)=(x—l)ex~2n//(x)=xex~2,

当x>0时，h'(x)>0,函数/z(x)单调递增，由于"2)=1,即有(x-De—=1的

根为2,

当x>2时，函数g(x)单调递增，0<x<2时，函数g(x)单调递减，

即有x=2时，g(x)取得最小值，其最小值为号=；,

所以实数。的最大值为!，故选D.

点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，以及不等式恒成立问题的求

解，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相

应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接

把问题转化为函数的最值问题.

11.A

解析：A

【解析】

【详解】

Y

如图所示，以AB边所在直线为％轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，

因为该正三角形A3C的边长为

2后.•・川-60),可疝0),。(0,3),£(0,-1),尸(0,3),当点/在边46上时,设点

M(/,。)，则—石〈九04石，ME=(-x0,-l),FM=(x0-3),.-.

ME-FM=-x^+3,-QwXoWQ/.ME.EW的最大值为3;当点“在边3c上

时，因为直线BC的斜率为-6■，所以直线3c的方程为：5+y-3=0,设点

M(Xo,3—Qxo),则ovx。V透，

ME=^-x0,^3x0-4^,FM=卜°,6x°),:.ME.FM=2x；-473%0,

网W的最大值为0；当点〃在边AC上时，因为直线AC的斜

率为四，所以直线AC的方程为：岛7+3=0,设点网/,3+gxj,则

-^3<x0<0,ME=(^-x0,-y/3x0-4^,FM=^x0,\/3x0^,:.

ME.FM=T*-4&Co,-石W/WO,，ME尸M的最大值为3;综上，最大值为

3故选A.

12.A

解析：A

【解析】

设只持有A股票的人数为X（如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人

数为X-1（图中d+e+/的和），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B

或C股票，则只持有了B和C股票的人数和为X（图中b+c部分）.假设只同

时持有了B和C股票的人数为a（如图所示），那么：X+X-l+X+a=28,

即：3X+a=29,则：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1.与之对

应的a值为：2、5、8、11、14、17、20、2326.

因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得

b+a=2（c+a）,即X_a=3c,故X=8,a=5时满足题意，故c=l,b=7,故只

持有B股票的股民人数是7,故选A.

点睛：本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答

此题的重点是求持有A股票的人数.关键是求只参加一个项目的人数中，持有

A股票的人数及持有A股票以外的项目，且即持有C股票又持有B股票（a部

分）的人数.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2557【解析】【分析】先把不等式变形为-bSa（x）*-b恒成立结合f

（x）=x最值找到的限制条件结合线性规划的知识可得【详解】对于任意

xG14不等式0<ax2+bx+4a<4x恒成立可得当x@

解析：[25,57]

【解析】

【分析】

44

先把不等式变形为-b"(x+—)“-b恒成立，结合/(x)=x+—最值，找到

XX

。的限制条件，结合线性规划的知识可得.

【详解】

对于任意xG[l,4],不等式0Wax2+bx+4aW4x恒成立,

4

可得当x£[L4]时，不等式-b"(x+—)恒成立,

x

4

设/(x)=x+—,xF[l,4]；

x

可得xG[l,2]时/(x)递减，xe[2,4]时/(x)递增,

可得％=2时取得最小值4,x=1或％=4时取得最大值5,

所以/(x)的值域为[4,5]；

-b<4a<4-b

所以原不等式恒成立，等价于

-b<5a<4-b'

0<4a+Z?«4

即V,

[0<5tz+Z?<4

4a+b=xf0<x<4

设<人，则”

5a+b=y[0Vy<5

a=-x+y

所以＜

b=5x—4y'

所以目标函数z=|a|+|a+b+25|=|y-x|+|4x+3y+25|=|y-x|+4x+3y+25,

当代x时，目标函数z=3x+4y+25,

画出不等式组表示的平面区域，如图,

由图可知x=0,y=0时Zm/"=25,x=4,y=5时Zmax=57；

当y<x时，目标函数z=5x+2y+25,如图，

由图可知x=0,y=0时Zm,h=25,x=4,y=4时z„)ax=53；

综上可得，|a|+|a+b+25］的范围是［25,57］.

【点睛】

本题主要考查不等式恒成立问题及利用线性规划知识求解范围问题，恒成立问

题一般是转化为最值问题，线性规划问题通常借助图形求解，侧重考查逻辑推

理和数学运算的核心素养.

14.(1)(3)(4)【解析】【分析】首先根据的定义求得以此类推求得的通项公式利

用裂项求和法求得由此对四个结论逐一分析确定结论正确的选项【详解】当时

故当时故当时故共有4个数即故(1)结论正确以此类推当时

解析：(1)(3)(4)

【解析】

【分析】

首先根据4的定义求得％，。2，。3，以此类推求得4的通项公式，利用裂项求和

法求得S”由此对四个结论逐一分析，确定结论正确的选项.

【详解】

当〃=1时，xe[O,l),[x]=0,[0]=0,故q=l.

当〃=2时，xe[0,2),[%]={0,1},4.^1e[0,2),[M%]]e{0,1},故%=2.

当〃=3时，%e[0,3),[%]e{0,1,2},x[x]e[0,1)o[1,2)o[4,6),故

[x[x]]e{0,l,4,5},共有4个数，即生=4,故(1)结论正确.

以此类推，当〃N2,xe[0,〃)时，

[x]e{0,l,,H-1},x[x]e[0,1)o[1,2)o[4,6)oO[(H-1)*2,H(H-1)),

2.r\

故E司可以取的个数为1+1+2+3++(n-l)=n,即

[2—2n+2

a

n=-----522),

当〃=1时上式也符合，所以4J?72

令a“=190,得“("-1)=378,没有整数解，故(2)错误.

12=*-出)，

〃〃+2几(〃+1)(〃+2)

所以S=2(———+———+H—-------)=2(-),

"2334H+1n+22n+2

故品,=2(2-1)=，，所以⑶判断正确.

212o

一，+必一」、"一」而一L八三i,

n2n272n222〃

当九=6时，比且=6+!，

n6

当”=7时，比且=6+工，故当九=7时取得最小值，故（4）正确

n7

故答案为：⑴⑶⑷

【点睛】

本小题主要考查新定义的理解和运用，考查分析、归纳的能力，考查裂项求和

法，考查与数列最值有关问题的求解，属于中档题.

15.【解析】在钝角中若由正弦定理可得•.....其中..当时的最大值为故答

案为点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式将函数化为的形式利用求最值

其中的取值需结合数值以及符号确定

解析：710

【解析】

在钝角AABC中，若&=+，忸C=l,由正弦定理可得

\BC\\AB\|AC|_1_

sinAsinCsinB6•

F

：.\AB\=42sinC,|AC|=V2sinB

2夜|AB\+3|AC|=4sinC+3A/2sinB=4sinC+3^2sin(C+^-)=sinC+3cosC=V10sin(C+cp)

,其中tan0=3>tan—

71

VCe(O,-)

4

C+<^G(-,—)

312

.•.当C+时，2阳明+3|AC|的最大值为质

故答案为所.

点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式

asma+bcosa=Jn?+/sin(a+e),sino=,:j,coso=j:.将函数化为

Asin(x+0)的形式，利用lasinx+bcos1WJ，+廿求最值,其中。的取值需结

合数值以及符号确定.

16.80【解析】【详解】在上取点使得则在线段上三点共线即；故填80

解析：80

【解析】

【详解】

在3c上取点D,使得皮)=28,则与在线段上.

bnP„A+^n+lPnB+(3an+2)PnC=0

网,=bnAPn+(3«„+2-)CPn=bnCBPn-BA)+(3an+2)(BP「BC)

•.(—3a〃—2卜《=——|(34+2)3D,APn,D三点共线，

13

_Qa“+i―2—3a,—2=—2+2),即an+l=3an+2.

/.a2=3。］+2=8,/=3az+2=26,a4=3%+2=80；故填80.

A

BDc

三、解答题：每小题满分12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17-21题，满分60分。22-24题，满分10分。请考生在22、23、24题中任选一

题作答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。

22

17.(1)L+上=1；(2)3,1.

43

【解析】

【分析】

(1)由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出c=l,根据椭圆离

c1

心率6=£=彳，求出a,进而求出b,得到椭圆得方程.

a2

(2)分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次

函数得最值，确定当直线MN与x轴垂直时AM百N的面积最大.

【详解】

(1)设耳(―c,0),F2(c,0)(c>0),

则直线/的方程为：>=%+c,即x-y+c=0.

•.•直线/与圆C2相切，I.圆心工到直线/的距离为』=器^=0,解之得c=l.

111

・・•椭圆的离心率为7，即一=7,所以4=2,所以方2=/—/=4—1=3,

2a2

22

•••椭圆G的方程为工+匕=「

43

(2)由(1)得耳(—1,0),工(L0),

由题意得直线的斜率不为0,故设直线的方程为：x=ty+KteR）,

22

代入椭圆方程?+g=1化简可得（4+3产）/+6h-9=0,

A=36r+36(4+3r)>0恒成立,

设”（%,%）,N（x2,y2）,则%,%是上述方程的两个不等根,

-6t

3V

X+%=4+3产2=77^7°

•••MRN的面积S^N闾4一％|=gx2x®-%|=|x一%|

12〃+i

={(%+%『-4%%=

4+3/

设J»+l=m，则根21,〃=4一1,则3r+4=3川+1,S=12x—^一-

MFN3m+1

,i_3m2

令/（m）=c7］（7〃N1），则/5）=――—TT<°恒成立，

3m+1（3"+lJ

则函数〃加）在口,内）上为减函数，故f（脸的最大值为/（1）=4,

所以班N的面积的最大值为12x！=3,当且仅当机=1,即/=0时取最大

4

值，

此时直线跖V的方程为x=L即直线MN垂直于％轴，此时上明=gN,即

A=1.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想.圆

与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断.

11〃]

18.(1)52-S1=-,S3-S2=-(2)猜想：S“—工7=°，证明见解析

23k=ik

【解析】

【分析】

(1)由组合数公式和求和的定义，计算可得所求值；

n1

(2)猜想X%=0,运用求和公式的定义和组合数公式C"+c："T=c2,

k=lk

15+1)!

以及-----------=高，结合二项式定理，以及数列

Z+1(左+1)左！(〃一女)!(左+1)!(〃_Q!

的恒等式H+(邑—SJ+(邑一$2)+…+(S,化简计算可得证明.

【详解】

解：(1)1=(—l)2xlxC；=l,

§2=£(-1产*=(-1)2XC；+(—1)3X1XC；=2H

k=ik222

3111

S3=£(T)&M-Cl=(-1)2xC'+(-l)3x-xC；+(-1)4x-xc^

k=ik23

313111

=3o---1—=—I—=——,

23236

所以S2-S|=；,53-S2=1

〃]111

(2)猜想：S〃—工7二。，即S〃=l+7+；++—

%=ik23〃

下面用数学归纳法证明.

1。当〃=1时，由(1)知，1=1,成立；

“1111

2。假设当〃=相时，5m=^(-ir-C,：,=l+-+-++—.

k=ik23m

邛+1111

则当i+i时，"生产户?(-严尸"-尸^

m+2]

m+1

m1m1

=z(-Di+17C+Z(T)MV*+(-1)m+21

无=1kk=ikm+1

m11

鼠+2(一1严7&1+(—1)27

k=ikm+1

(m+1)!ml

又因为比3-(m+i)c3=H—(m+1)-=o,

k\(jn+\—k)\{k——k+V)\

1

则kCL=(m+DC：；，所以:*=C,：+1,

km+1

加11

所以S-SJ*1产QM+(-1产-

i加i

黑+总1牛1产4+(-产-

m

=s,“+」一X(T严*+(T)M

m+1k=\

1m

=sm——-£(-i)*c3+(-1严

m+1屋=1」

+1

=S„，—匕[—qL+Q+「C3++(—i)'C3++(-1)^：+1+(-1)-^]

c1.1111

=S-I-----=1-1---1---FH---1-----,

m+123mm+1

111n1

综上1。2。，S.=l+：+；++-,故£7=0.

23nk=ik

【点睛】

本题考查组合数公式的运用，以及二项式定理的运用，考查猜想归纳思想，以

及数列的恒等式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题.

19.(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)求导得到导函数后，通过。=0和。>0两种情况，确定/'(%)的正负，从

而得到函数的单调性;(2)将问题转化为证明：x(l-lnx)<(l+x-x3)^;设

3A

g(x)=x(l-lnx),/z(x)=(l+x-x)e,只需证g(x)1mx</?(%)1nin；通过求导运

算，可知g(x)<g⑴=1,再通过零点存在定理，不断确定可力的最值位置，

从而证得力(力>/1(0)=1,证得结论.

【详解】

(1)函数“X)的定义域为(0,+")

」+2八_°==(2以+1)3-1)

XXX

①若1=0时，则r(x)<0,/(X)在(0,+8)上单调递减；

②若a>0时，当％=,时，/'(%)=0

a

当0<%<4时，r(x)<o;当%>工时，r(x)>o

aa

故在1o,£|上，/(X)单调递减；在上，“X)单调递增

(2)若a=0且尤e(O,l),欲证ZH+X2_J.<I

exx

只需证二竺+/—!<1

ex

即证x(l-lnx)<+

设函数g(x)=x(l一1m0，(无<0,1)),则g'(x)=Tnx

当xe(O,l)时,g〈x)>0；故函数g(x)在(0,1)上单调递增

所以g(x)<g(l)=l

设函数〃(九)=(1+x—彳。优，则/(%)=(2+尤_3/-x3ex

设函数p(x)=2+x-3x2-x3,则=1-6%-3^

当xe(O,l)时，y(o)-y(l)=-8<o

故存在天€(。,1)，使得p'(%)=。

从而函数)(力在(0,%)上单调递增；在(%,1)上单调递减

当龙40,%)时，p(Xo)>P(O)=2

.•.当x«Xo，l)时，M$,0(1)<O

故存在使得〃(%)=。

即当xe(0,%)时，p(x)>0,当龙«看,1)时，夕(无)<0

从而函数h(x)在(0,%)上单调递增；在(3)上单调递减

因为&(O)=l，Ml)=e

故当xw(0,1)时，/z(x)>/z(O)=l

所以x(l-lnx)<(1+x-尤3)",xe(0,1)

即"：)+x2--<l,xe(04)

ex

【点睛】

本题考查讨论含参数函数单调性、恒成立问题的证明.关键在于能够将恒成立的

不等式变成两个函数之间的比较；对于两个函数之间大小关系的比较，通常采

用最值间的比较，通过证明1ax＜刈力3,得到g（x）＜MH的结论.

20.（1）见解析；（2）45°；⑶直线PQ过定点E（1,-4）.

【解析】

y\yl

试题分析：（1）设点“了根据P、M、A三点共线，

yi-yz

ylyz

得心M=ADM，T~4~T计算得到而­OP=s.

（2）设NPOM=a,可得|市-OP-cosa=5.结合三角形面积公式可得tana="l."

根据角的范围，即得所求.

⑶设点。（亍、B、Q三点共线，二5°=%"

72-734

崛yzyi+y-3

据此确定苏一疗进一步确定PQ的方程，化简为

G+4Xv:+y3）=4（x-l）.

得出结论.

试题解析:（1）设点川（斗］，）尸苧”）二尸、M、A三点共线,

k心-左DM=即一"-=―：

＞'i口yiy2

yi1

艮卜，—二-~-，・・・yiy2=4

,+4yi+yi2分

二萌.丽=21.21+1I',=5.5分

44，

(2)设NPOM=a,贝山丽卜|而|<osa=5.

S^0M=—s.'.|OM\-\0P|-sina=5,由此可得tana=l.8分

又aw(Q初二a=45。,故向量厉7与函夹角为45。1。分

⑶设点M、B、Q二点共线，，左=左

即T-二J厂与,即冬1=，

21+1X_21巧-4Vj+V'3

444

(V3+ix>1+y3)=y3-4:^Pijv3+Vj+y3+4=0...11分

■:Vin=4.艮「I、=—一二--1、+—++4=0.

“Av4•**A*“N“N•

Vn%VS

即4(+y3)+y;i3+4=0.(*)12分

yi-y-34

kpQylyl+y-i

T-T

4yl

••直线PQ的方程是y-y2=——(%-)

y2+73T4

即Cy-xXj：+J3)=4x-y：jPy(v,+y3)-y;y；=4x13分

由(*)式，-y2y3=4Cy2+力)+4代入上式，得(v+4»2+y3)=4(x-l).

由此可知直线PQ过定点E(1,-4).14分

考点：抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化

归思想.

21.（1）a——l,b=1；（2）见解析；（3）［—7—2

【解析】

【分析】

（1）由>=