“数”的系统化认识和提升

“教”的系统化认识与提升

一、整数

1.自然数,0和整数

数物体的时候，用来表示物体个数的0,1,2,3…叫做自然数。

一个物体也没有用0表示。

0也是自然数。0和自然数都是整数。

"正整数

整数^零

负整数

2.计数与计数单位

计数是一个重复加（或减）1的数学行为，通常用于算出对象有多少个或放置想要之数目个对

象（对第一个对象从一算起且将剩下的对象和由二开始的自然数做一对一对应）

位值制记数法（positionalnotation）亦称位值记数法，是常用的一种记数法，按照位值制建立

的记数法，称为位值记数法，如：十进制记数法。

一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。

数位是指一个数中每一个数字所占的位置。整数部分的数位从右起，每4个数位是一级，个级

包括个位、十位、百位和千位，表示多少个一；万级包括万位、十万位、百万位和千万位，表示多

少个万；亿级包括亿位、十亿位、百亿位和千亿位，表示多少个亿……小数部分的数位从左往右依

次为十分位、百分位、千分位……表示多少个十分之一、百分之一、千分之一……

一个自然数数位的个数叫做位数，例如数字9,它只含一个数位，所以9就是一位数；五位数

12345则含有个、十、百、千与万5个数位。

计数符号：“正”计数……

3.十进制计数法

10个一是十，10个十是百……10个一百亿是一千亿……每相邻两个计数单位之间的进率都是

十。这种计数方法叫做十进制计数法。

4.整数的读法和写法

读数时，从高位起，一级一级地往下读，属于亿级和万级的要读出级名.

读数时，每级末尾的“0”都不读，其他数位有一个。或连续几个0都只读一个0.

例如：####读作：八十亿零四十万六千

写数时，从高位起，一级一级地往下写，哪一位上一个单位也没有，就在哪个数位上写0

5.因数和倍数

如果数a能被数b整除(bWO),a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数.

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的约数是它本身.

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数.

约数和倍数是相互依存的。

6.整数大小的比较

比较两个多位数的大小，首先看它们位数的多少,位数较多的数较大；

如果两个数的位数相同，那么首先看最高位，最高位上的数较大的,这个数就大；

如果最高位相同,则左边第二位上的数较大的，这个数就大……

7.四舍五入法

求一个数的近似数，要看尾数的最高位上的数是几,如果比5小，就把尾数都舍去;如果尾数最高位

上的数是5或大于5,就把尾数舍去后，要向它的前一位进1.

8.整除与除尽

整除：整数a除以整数b(bWO),除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b

能整除a.

除尽：数a除以数b(bWO),除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽.

整除与除尽的区别：整除是除尽的一种特殊情况，整除也可以说是除尽，但除尽不一定是整除.

9.能被2.3.5整除的数的特征

能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,

能被5整除的数的特征：个位上是0或5

能被3整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除

能同时被2,5整除的数的特征：个位是0

能同时被2,3,5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的

数字的和能被3整除.

注意:有一些数能被7,9,11,13整除,但是不容易看出来，这是大家在约分中容易忽略的.

10.偶数和奇数

一个自然数，不是奇数就是偶数

偶数：能被2整除的数叫做偶数

奇数：不能被2整除的数叫做偶数

最小的偶数：0

最小的奇数：1

偶数土偶数=偶数奇数土奇数=偶数偶数土奇数=奇数

偶数X偶数=偶数奇数X奇数=奇数偶数X奇数=偶数

11.质数与合数

质数：只有1和它本身两个约数

合数：除了1和它本身还有别的约数

1既不是质数也不是合数

最小的质数：2最小的合数：4

12.质因数与分解质因数

质因数：每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数.

分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数.

分解质因数的方法:短除法。

例如：把30分解质因数

2|30

3|15

5

3。=2X3X5

把30分解质因数正确的做法是（C）

A.3O=1X2X3X5B.2x3x5=30C.30=2X3X5

13.最大公因数和最小公倍数

公因数，最大公因数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做这几个数

的最大公约数.

例：（1,2,4）是8和12的公约数,（4）是8和12的最大公约数.

公倍数，最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数

的最小公倍数.

例:（12,24,36...）都是4和6的公倍数,（12）是4和6的最小公倍数.

互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数.

互质数的几种特殊情况：

⑴、两个数都是质数,这两个数一定互质.

⑵、相邻的两个数互质.

⑶、1和任何数都互质.

求最大公约数和最小公倍数的方法：

⑴如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;较大数就是这两个数的

最小公倍数.

例如：4和28最大公约数是(4);最小公倍数是(28)

⑵如果两个数互质，它们的最大公约数就是1；最小公倍数就是它们的积.

例如：4和15最大公约数是(1)；最小公倍数是(60)

⑶短除法

例如：求24和36的最大公约数和最小公倍数

2*(商互质)

24和36的最大公约数是2X2X3=12(除数相乘)

24和36的最小公倍数是:2X2X3X2X3=72(所有的除数和商相乘)

分数

1.分数的意义和分数单位

单位“1”：一个物体，一个计量单位或是许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示,

通常我们把它叫做单位“1”O

分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数.

分数单位：把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数

分数各部分的名称：分子（表示所取的份数）、分母（表示平均分的份数）、分数线

2.分数与除法的关系

被除数

被除数+除数=W（除数W0）

上表示：把单位“1”平均分成9份，取其中的5份.

9

工米表示：把5米平均分成9份,每份是5米的（-），每份是（-）米.

999

3.分数大小的比较

分母相同的两个分数,分子大的分数比较大.

分子相同的两个分数,分母小的分数比较大.

通分:先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各个分数分别化成用这个最小公倍数作分母的

分数.

石6X95^4

44X6_24

专一"9X654

4.分数的分类

真分数：分子比分母小。（真分数〈1）

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的份数。（假分数21）

带分数：带分数是假分数的一种形式。非零自然数与真分数相加（负整数时与真分数相减）所

成的分数（或真分数与假分数相加减化简后的数），一般读作几又几分之几，假分数的倒数一定不大

于一。

整数：是假分数的一种更为特殊的形式。

5.分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变.

一个分数的分母不变，分子乘以3,则这个分数（扩大3倍）

如果分子不变,分母除以5,则这个分数（扩大5倍）

6.最简分数

计算的结果,能约分的要约成最简分数;假分数的,一般要化成带分数或整数.

判断一个最简分数能不能化成有限小数：分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数,就能化

成有限小数.

7.约分

把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数.

约分的方法：

1.用分子分母的公约数（1除外）逐次去除分子和分母,直到得到最简分数为止.

2.用分子和分母的最大公约数去除分子和分母.

8.通分

通分根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母

的分数（式）的过程，叫做通分。

三、小数

1.意义

把整数“1”平均分成10份，100份……这样的一份或几份分别是十分之几，百分之几……可以

1Q

用小数表示.如：一记作：0.1---记作:0.08

10100

2.数位和计数单位

小数点右边第一位是十分位,计数单位是十分之一;第二位是百分位,计数单位是百分之一……

小数部分的最大计数单位是十分之一，没有最小的计数单位.

小数部分有几个数位,就叫做几位小数.

3.小数的读写

读小数时,小数的整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序读出每一个

数位上的数字.

如45.469读作：四十五点四六九

写小数时，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数

位上的数字.

4.小数的性质

小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变.

运用小数的性质,可以在小数末尾添上0.3.5=3.50

也可以把小数化简.3.500=3.5

5.小数点数位移动引起小数大小的变化

小数点向右（左）移动一位、两位、三位……原来的数就扩大（缩小）10倍、100倍、1000倍……

如果要把一个数扩大或缩小10倍、100倍……只需要移动小数点,数位不够时用0补足.

6.循环小数

一个小数的小数部分,从某一位起,有一个或几个数字依次不断重复出现,这样的数叫做循环小

数.

如0.5555...7.23838...

依次不断重复出现的数字叫做循环节.

循环小数的简便记法

0.5555...记作:国|

7.23838...记作:卜.238|

循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数.如应3

循环节不是从小数部分第一位开始的叫混循环小数.如p38

7.小数的分类

（1）.按小数位数是有限还是无限分

有限小数

纯循环小数

，卜数（无限循环小数

〔混循环小数

无限小数・

无限不循环小数

（2）.按小数的整数部分是否为0分

r纯小数

小数

［带小数（混小数）

8.小数的改写

一个较大的多位数,为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数.有时还可以

根据需要,省略这个数某一位后面的尾数,写成近似数.

例如：把76450000改写成用“万”作单位的数是（7645万）

把235800改写成用“万”作单位的数是（23.58万）

235800省略万位后面的尾数约为（24万）

把34562800000改写成用“亿”作单位的数后，保留两位小数是（345.63亿）

4.62975保留两位小数是：（4.63）

4.62975保留三位小数是：（4.630）

四、百分数

1.意义

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数.百分数又叫百分率或百分比.百分数后面不能

带单位名称.

2.读写

%读作：百分之读百分数时，先读“百分之”，再读“犷前面的数，如18%读作：百分之十八。

百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后加上白分号“犷来表示。

3.百分数与分数的区别

分数既可以表示一个数，也可以表示两个数的比；而百分数只表示一个数占另一个数的百分比,

不用来表示具体的数。所以分数可以有单位，百分数不能有单位。

4.分数、小数、百分数的比较

分数、小数、百分数的比较大小时，最好把它们统一成小数，再进行比较，结果用原数。

5.成数

成数表示一个数是另一个数的百分之几十的数，相当于百分数。例：一成就是10%,三成五就

是35%,八成五就是85%

6.折扣

折扣，指买卖货物时按原价的若干成计价，如按九成，叫九折或九扣。

打折就是在原来售价的基础上降价销售。几折则表示实际售价占原来售价的成数，用原价乘折

扣就是需要付款的价钱。

7.税率

税率，是对征税对象的征收比例或征收额度。税率是计算税额的尺度，也是衡量税负轻重的重

要标志。中国现行的税率主要有比例税率、超额累进税率、超率累进税率、定额税率。

8.利率

利率是指一定时期内利息额与借贷资金额（本金）的比率。利率是决定企业资金成本高低的主

要因素，同时也是企业筹资、投资的决定性因素，对金融环境的研究必须注意利率现状及其变动趋

势。

9.分数、小数、百分数的互化

0.25=(25%)

小数点向右移动两位，添上％

小教,一百分教

正数和负数

1.正数和负数的概念

负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a

表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误

的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

负数

1、负数：任何正数前加上负号都等于负数。在数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比

自然数小。负数用负号“一”标记，如一2,—5.33,—45,—0.6等。

2、正数：大于0的数叫正数（不包括0）,数轴上0右边的数叫做正数若一个数大

于零（＞0）,则称它是一个正数。正数的前面可以加上正号“+”来表示。正数有无数个，其中分为

正整数，正分数和正小数。

3、（0）既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限。

正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。

4、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

所有的数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个数的大小。

5、数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。

在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。不同数轴上的单位长度不一定相

同。

-7-6-5-4-3-2-10123456

6.正数与负数的简单计算

例1：今天北京最高气温是11度，最低气温是-8度，这一天的温差是（）度.

A.3B.19C.8

例2：下列数中，最接近0的一个数是（）

A.-4B.-1C.+2

例3：小明和小华玩“石头、剪刀、布”，胜者记1分，输者记-1分，玩5次.小明胜3次,

输2次，他最后的得分是（）分.

A.3B.-1C.-2D.1

例4：一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干实际每袋最少不少于（）

克.

A.145B.150C.155

例5：一只梅花鹿从起点向前跳5米，再向后跳4米，又朝前跳7米，朝后跳10米；然后停下

休息，你知道梅花鹿停在起点前还是起点后？与起点相距几米？

例6：公交车上原来有若干人（上车的人数为正，下车的人数为负）.-5人，3人，5人，8人,

-10人，6人，4人，-7人，-3人，2人，经过十站后，车上人数比原来多或少多少人？

五、有理数

L有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①“是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，3,-5…也是奇

数。

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分

"正整数r正整数

，整数《0

’正有理数一

〔负整数［正分数

有理数40（0不能忽视）

有理数＜

「正分数「负整数

、分数一、负有理数一

1负分数

、负分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、。统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴

1.数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺

一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点

左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数

与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点m不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0,无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1,无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a〉0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a〈0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,,则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需

的点的位置。

相反数

1.相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数，即a,b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的

对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添然后化简（如；5a+b的相反数是Y5a+b）。

化简得-5a-b）；

⑶求前面带的单个数，也应先用括号括起来再添然后化简（如：-5的相反数是-（-5）,

化简得5）

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a的相反数是-a,其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a〈0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0,（0的相反数是0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化

简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

绝对值

1.绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果a>0,那么|a|=a；②如果a〈0,那么|a|=-a；③如果a=0,那么|a|=0。

可归纳为①：a20,〈一〉a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②aWO,<—>|ah-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有

a|^0„即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0<—>|a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|20；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|,a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0）,则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：［-a|=|a|或若a+b=O,则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|,则2巾或2=-1）；

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，

正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a20时，|a|=a；②当aWO时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数

有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是3没有绝对值为负数的数。

有理数的加减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加一一“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加一一“同号结合法”；

③分母相同的数先相加一一“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加一一“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加一一“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：

⑴当b〉0时，a+b>a⑵当b〈0时，a+b<a⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+（-b）»

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进

行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:

I.把符号相同的加数相结合(同号结合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）

=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结合）

=-49+41（运用加法法则一进行运算）

=-8（运用加法法则二进行运算）

II.把和为整数的加数相结合(凑整法)

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)7+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）

=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2（得出结论）

III.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)

313217

524528

原式=(-3"4)2+(一1+1L)+(3+2，7)

552248

1

=-1+0—

8

1

=-1-

8

IV.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)

312

(+0.125)-(-3-)+(-3-)-(-10-)-(+1.25)

483

原式=(+±1)+(3+32)+(-3±1)+(+102*)+(-1己1)

84834

13„12.1

—+3—~3—+10—~1-

84834

，31、，11、2

=(3--)+(—-3—)+10—

44883

12

=2—-3+10—

23

=-3+13-

6

=10-

6

V.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

1617

-3-+10--12—+4—

5112215

原式=(-3+10-12+4)+(-工+7、，61、

—)+(———)

5151122

411

——1+--+---

1522

,815

-—1++

3030

7

30

VI.分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9,•,+66-67-68+69

原式二(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+・・・+(66-67-68+69)

=0

VD.先拆项后结合

(1+3+5+7-+99)-(2+4+6+8-+100)

有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(“同号得正，异号得负”专指“两数

相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三)

法则二：任何数同0相乘，都得0；

法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是

负数；

法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a・'=l(a=0),就

a

是说a和,互为倒数，即a是▲的倒数，工是a的倒数。

aaa

注意：①0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，

先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。(求一个数的倒数，不改变这个数的性质)；

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0o

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba

⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).

⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相

加。即a(b+c)=ab+ac

4.有理数的除法法则

(1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

5.有理数的乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

(2)有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减'的顺序

进行。

有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕。在an中，a叫做底数，n叫做指

数。

2.乘方的性质

(1)负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕的正数。

(2)正数的任何次累都是正数，0的任何正整数次累都是0。

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法

把一个大于10的数表示成ax10"的形式(其中lWa<10,n是正整数)，这种记数法是科学记

数法。

六、数的总括

r定义：整数和分数统称为有理数。

r正整数

「整数J零

J1负整数

/有理数「正分数

\jKII分数V

L负分数

相反数与绝对值:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，o的绝对值是0。

■(1)加法法则：同号两数相加，符号不变，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值相减。

、(2)减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

,运算(3)乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

数(4)除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

(5)乘方法则：负数的奇次累是负数，负数的偶次累是正数。

(6)运算顺序：WL嗣映同谓,侬蹄亍;女啕居,希榭丹鹄般鹿।雌I瞬蝴亍。

(定义：有理数和无理数统称为实数

f有理数：略

分类I无理数：无限不循环小数.

,定义:如果一个数的平方等于用那么这个数就叫做a的平方根，记作土丘.

实数,平方根《性质:正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根是0,负数没有平方根.正数a的正的平方根叫做a的

.算术平方根，0的算术平方根是0.非负数a的算术平方根记作我.

立方根淀义:如果一个数的立方等于。，那么这个数就叫做。的立方根，记作版.

1性质:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零.

运算法则：实数的运算和有理数的运算相仿.

I实数的运算科学计数法:aX10,其中81a|<10,n为整数.

［近似数与有效数字有嫩序:从fl的左边第f度数捷,到末位额字止所有翻帚堤这个数的有效数字

七、由