2020-2021学年九江市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年九江市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设集合4=B=0,从4到B的映射0在映射下，B中的元素为(4,2)对应的4中元素为()

A.(4,2)B.(1,3)C.(6,2)D,(3,1)

2.如图所示的阴影部分是由底边长为1,高为1的等腰三角形及宽为1,

长分别为2和3的两矩形所构成.设函数S=S(a)(a20)是图中阴影部J||

分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则E自数S(a)的图1_________II

)—||y=a

象大致为()

aO1^23~x

MOr123a

bM

上S(a)]

0M

3.设函数网，网，若实数国、国满足回，[3，则()

A.0B.0C.0D.0

4.已知过点,科海额的直线与圆歌,-:阴也/=豺目切，且与直线吟”人❿垂直，则涵,=()

11

A.--B.1C.2D.-

&鬟

5.7.已知奇函数对任意rwR都有/("6)+/(1)=0,且/⑵=4,则〃2014)=()

A.0B.-4C.-2D._16

6.已知函数/'(X)=(2-"x<00,贝行(〃-4))+f(bg2}=()

A.|B.3C.8D.9

7.5.设喙=喷吗题=%寓密禺=fe^a:i,则

A.盛《后«布B.您＜霜＜诙c.、《覆D.曲不聋:布螂

8.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的表面积为()

主视图2/3

侧视图

A.36B.36+8V3C.3+18V3D.36+24V3

1

9.设a£{-1:17-72.3},则使函数卜=为奇函数的所有a值为()

A.1,3B.-1,1C.—1,3D.-1,1,3

10.已知函数/(%)=2a%-1在区间［0,2］上的最大值为7,则9(%)=loga%在区间［1,4］上的最大值为

()

A.0B.1C.2D.4

11.已/(x)=a/+b/+s+d的图象如图所示，则有()

A.b<0

B.0<b<1

C.l<b<2

D.b>2

12.圆G：%2+y2-2久=0与圆。2：/+y2+4y=0的公共弦长为()

A.V5B.C.2D.在

555

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若点(3,£1)在两条平行直线次-6)/+1=()和久-3)/-4=0之间(不在两条直线上)，则实数a的

取值范围是.

14.已知集合M={x\x2<4},N={x\x2-2x-3<0},则集合MCN=.

15.四面体4BCD的体积是g△4BC是斜边ZB=2的等腰直角三角形，若点4,B,C,。都在半径

O

为鱼的同一球面上，则。与AB中点的距离是.

16.私家车具有申请报废制度.一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5

万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请

车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是年.

三、解答题(本大题共7小题，共84.0分)

17.已知全集U={x\x>一4},集合4={x|-1<x<3},S={x|0<x<5},求4nB,(如人)UB,

an”).

18.如图，AC=2ED,"〃平面EDB,AC_L平面BCD,平面ACDE1平面ABC.

(I)求证：AC"ED；

(n)SBC=CD=DE=1时，求BC与平面ABE所成角的正弦值.

19.已知2,B分别为椭圆C：捻+3=l(a>b>0)在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点。到直

线4B的距离为第，且|4B|=V7.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)直线1：y=kx+m(-l<k<2)与圆/+y2=2相切，并与椭圆C交于M,N两点，若|MN|=岑^,

求k的值.

20.建造一个容积为8巾3,深为27n的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元

和80元.

(I)写出建造水池的总造价y元关于底的一边长万米的函数解析式y=/(%),并求定义域.

(n)当底边长为多少米时总造价最低？最低总造价为多少元？

21,求函数、=1。羽(尤2—5X+4)的定义域、值域和单调区间.

3

22.已知函数f(%)=/+2a%,x6[—5,5].

(1)若y=/(x)-2%是偶函数，求/(%)的最大值和最小值；

(2)如果/(乃在[-5,5]上是单调函数，求实数Q的取值范围。

23.已知函数f(%)=/+2力的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(1,2)内，求：

(1)三的值域；

(2)(a—1)2+9—2)2的值域.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：试题分析：集合a=B=回，从a到B的映射0在映射下，B中的元素为回，所以网，

解得□，所以集合□中的元素为□故选D

考点：本题主要考查了映射的定义.

2.答案：A

解析：

先观察原图形面积增长的速度，然后根据增长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即可

本题主要考查了函数的图象，同时考查了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

—+2a(0<a<1)

1

2a+5(1VaW2)

解:可求得S（a）="5

a+3(2VaW3)

、羡(a>3)

根据函数解析式可知，在区间［0,1］上，S（a）为开口向上的抛物线的一部分（图象下凹），排除C,D.

在区间（1,2］上面积的增长速度恒定，在区间（2,3］上面积的增长速度恒定，其图象均为线段，

在区间（1,2］,（2,3］上直线的斜率分别为2,1,即在区间（1,2］上面积的增长速度大于在区间（2,3］上面

积的增长速度.

故选：A.

3.答案：D

解析：试题分析：由于函数目在回上单调递增，且叵］,国，且叵I,由零点的存在定理

知，0，同理可知□，由于函数区在网上单调递增，则0

国，区，于是有0，故选D

考点：1.零点存在定理；2.比较大小

4.答案:C

解析：试题分析：设过点.韩国I的直线的斜率为1则直线方程般-罢=阖卜:-寄即

胡■一段带罢一翻t=励，由于和圆相切，故=、底,得藏=_工，由于直线就:一般带罢一徽厂领

与直线殛制一般,外1=©,因此

—三次砌=—1,解得诵■=塞，故答案为C.

罢

考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.

5.答案：B

解析：上〃X)是瓦上的奇函数,则「01=0,

且.〃x+6)+.“x)=0,/(x+12)=-/(x+6)=/(.Y),故函数|/(x)的一个周期为6,所以

7(2014)=/(335x6+4)=/(4),/(4)=/(6-2)=/(-2)=-/(2)故选B.

6.答案：C

解析：

本题考查分段函数值的求法，属于基础题.

由已知利用分段函数及对数函数的性质求解.

解:♦.•函数/(%)=｛黑：；/0

•••/(-4)=24=16,

•••f(H-4))=/(16)=log416=2,

lo6

/(log2i)=/(-log26)=2^=6,

•••/■(/(-4))+/(log2i)=2+6=8.

故选：c.

7.答案：C

解析：解：由指数函数的性质得：2°、＞2°=1

由对数函数的性质得：

二

0=log31<log32<log33=1，log20.1<log210

所以a>b>c,故选C.

8.答案：B

解析：

本题考查由空间几何体的三视图求原几何体的表面积问题，属于基础题.

由该棱柱的三视图可知，该棱柱是正三棱柱，其中高是3,底面边长是4,再由表面积公式即可得出

答案.

解：由该棱柱的三视图可知，该棱柱是高是3,底面边长是4的正三棱柱,

则棱柱的底面积是］x4x2A/3=4V3,每个侧面面积是4x3=12,

所以该三棱柱的表面积为2x4V3+12x3=36+873

故选：B.

9.答案：D

解析：试题分析：经检验证明可知V都是奇函数,故答案选D.

考点：1.塞函数；2.奇函数；3.简单的幕运算.

10.答案：c

解析：

本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查.

根据函数的最值，求出a,然后利用对数函数的单调性求解即可.

解：函数/'(>)=2ax-1在区间［0,2］上的最大值为7,显然a>0,4a—1=7,解得a=2,

则g(x)=logax=log2%在区间［1,4］上是增函数，

所以函数g(x)的最大值g(x)„iax=9(4)=log24=2.

故选C.

11.答案：A

解析：解：•.・函数/(%)=+b%2+c%+d的图象与y轴交点的纵坐标为负，故d<0；

・・./(%)=。炉+bx2+c%+d的图象有两个递增区间，有一个递减区间，

・•・/'(%)=3a/+2b%+c的图象开口方向朝上，且于X轴有两个交点，故a>0,

又f(x)=ax3+bx2+ex+d的图象的极小值点和极大值点在y轴右侧，

・••/'(%)=3a%2+2bx+c=0的两根%i，&满足，

+%2>则b<0,则c>0,

综上a>0,h<0,c>0,d<0,

故选：A.

由已知中函数〃%)=。%3+.2+5+4的图象，根据其与y轴交点的位置，可以判断d的符号，进

而根据其单调性和极值点的位置，可以判断出其中导函数图象的开口方向(可判断。的符号)及对应函

数两个根的情况，结合韦达定理，可分析出b,。的符号，进而得到答案.

本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据图象的形状分析其导函数的性质是解答本题

的关键，同时由于本题涉及到导数，二次函数的图象和性质，函数的单调性，函数取极值的条件等

诸多难点，属于中档题.

12.答案：B

解析：解：因为圆Q：/+y2-2%=。与圆。2：%2+y2+4y=0,

两式相减得，公共弦所在直线的方程％+2y=0,

因为圆心Q(l,0),半径q=l,

所以圆心Cl到公共弦的距离为d=盘显=

所以公共弦长为2斤二薜=卜—净=蜉.

故选：B.

两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程x+2y=0,计算出G到公共弦的距离为d,进而得公共

弦长为-潦.

本题考查两圆的位置关系，属于基础题.

13.答案：(—黑)

71

解析：解：由题意，直线2x—6y+l=0上有点(3,9,直线x—3y—4=0上也有点(3,—?,

点(3,a)在两条平行直线之间，显然—§<a<

3o

故答案为：(—],().

令x=3,求出与两直线的交点的纵坐标，进而求得结论.

本题主要考查点与直线的位置关系，属于基础题.

14.答案：{x[—l<x<2}

解析：解，由不等式的解法，

可得M={x\x2<4}={x|—2<x<2},

N={x\x2—2x—3<0}={x|—1<x<3},

由交集的计算方法可得，MC\N={x\-1<x<2].

由不等式的解法，解不等式可得M与N,进而由交集的意义，分析可得答案.

本题考查交集的运算，经常与不等式、一元二次方程的解法有联系，注意不等式和方程的正确求解.

15.答案：V2

解析：

本题考查几何体的体积，考查球，考查学生分析解决问题的能力，图形构建能力，属于中档题.

设48的中点为E,求出。到平面ABC的距离，球心到平面28C的距离，构建等腰三角形，即可得出结

论.

解：设4B的中点为E,则

•.•四面体4BCD的体积是gAABC是斜边4B=2的等腰直角三角形，

。至！J平面48C的距离为。F=

•••点4B,C,。都在半径为企的同一球面上，

球心到平面ABC的距离为。E=1,

如图所示，

取。E的中点G,则DG1OE,

DE=OD=V2.

故答案为：V2.

16.答案:10

解析：解：设这辆汽车报废的最佳年限71年,

第九年的费用为与，

贝!Ja九=1.5+0.3n,

前践年的总费用为：sn=15+1.5n+^(0.3+0.3n)=0.15彦+1.65n+15,

年平均费用：且=0.1571+-+1,65>20.15nX-+1.65=4.65,

nnyn

当且仅当0.15n=竺，即n=10时，年平均费用且取得最小值.

nn

这辆汽车报废的最佳年限10年.

故答案为：10.

设这辆汽车报废的最佳年限九年，年平均费用：^=0.15n+-+1.65,利用均值定理能求出这辆汽

nn

车报废的最佳年限.

本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理

运用.

17.答案：解：,全集U={x\x>-4},集合4={x|-1<%<3},B={%|0<%<5),

•1.CUA={%|-4<%<-1或x>3},

CuB={x|-4<x<0或%>5],

则4nB={x|0<久W3},

(CyX)VJB={x\-4<x<-1或x>0},

AA(CuB)={x|-1<%<0].

解析：根据集合的基本运算关系即可得到结论.

本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

18.答案：(I)证明：因为4C〃平面EDB,平面2CDEC平面石[

EDB=ED,7

且4CC平面ED8,所以4C〃E。.\/

(口)因为AC1平面BCD,CD,BCu平面BCD,所以AC1CD,----------------------------JL.yC.Jc

AC1CB,

因为平面2CDE1平面48C,且平面"DEC平面28C=AC,B

CDu平面"DE,

所以CD1平面ABC,

所以C为原点，为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为BC=CD=DE=1,所以4(2,0,0),5(0,1,0),C(0,0,0),£(1,0,1)，

所以能=(0,—1,0)，AE=(-1,0,1),AB=(-2,1,0)，

设平面ABE的法向量为元=(a,b,c),则，亚•?=-a+c=°.

取a=1,可得元=(1,2,1)，

所以BC与平面ABE所成角的正弦值为|cos(元，元>|=翻=嘉=祭

解析：(I)利用线面平行的性质定理，即可证明4C〃ED；

(口)以。为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC与平

面28E所成角的正弦值.

本题主要考查线面平行的性质定理，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值,考查推理论证能力、

运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，属于中档题.

22

19.答案：解：(1)•••4B分别为椭圆C：京+a=1(£1>匕>0)在％轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，

原点。到直线4B的距离为第，M|XB|=V7.

\AB\=Va2+b2=7,=第，a>b>0,

解得a=2,b=V3，c=y/a2—b2=1,

椭圆C的离心率e=-=

a2

(竺上亡=1

(2)由(4+3一,消去y,得：

ly=fcx+m

(3/c2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,

36k2m2—4(31+4)(3m2—12)>0,

即3小一加2+4>o,

设MQi，%),NQ2，%)，则/+%2=一1^，"2=喋;

又直线I与圆/+y2=2相切，

=V2,即病=2(/c2+1),

\MN\=Jl+H+不/_4rl%2

Vl+fc2.,48(3.2_*+4)_Vl+fc2,J48.2+2)

3H+4=3k2+4

4V3-Vfc4+3fc2+2

3fc2+4

12V2

7

.4V3-Vfc2+3/c2+2_12>/2

=,

3k2+4-----7

5kJ31—2=0,

解得k=±1.

解析：⑴由原点。到直线AB的距离为第，且|AB|=77冽出方程组，求出a,b,c,由此能求出椭

圆C的离心率.

(2)由4+3-1,消去y,得(3k2+4)%2+6kmx+3m2-12=0,由此利用根的判别式、韦达定

vy=kx+m

理、直线与圆相切、弦长公式，结合已知条件，能求出k的值.

本题考查椭圆的离心率的求法，考查直线的低利率求法，考查等价转化思想，考查推理论证能力，

考查直线、椭圆、圆的性质，是中档题.

20.答案：解：(1)・无盖长方体的深为2m,底面一边长xm,容积为8n13,

二另一边长为&

X

s网=(2%+2x,x2=(4x+S底=4(m2),

・••池底和池壁的造价分别为120元/血2和80元/徵2,

总造价y=80X(4%+y)+120x4=320(%+》+480(元)(x>0).

(2)vy=320(%+3+480>1280+480=1760(元),(当且仅当％=2时取“=”).

故该长方体的水池长、宽、高均相等，为27n时总造价最低，最低总造价为1760元.

解析：⑴依题意，底面一边长xn另一边长为:n利用池底和池壁的造价分别为120元/62和80元

/TH?可求得函数解析式y=/(%)及％的取值范围；

(2)利用基本不等式即可给出总造价最低的设计方案.

本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，考查分析与解答的能力，属于中档题.

21.答案：解：由〃(%)=%2—5%+4>0,解得久>4或％<1,

所以尤e(-00,1)U(4,+00),

当％G(—00,1)U(4,+00),=/-5%+4}=R+,

所以函数y=log^x2-5x+4)的值域是(_8,+00).

因为函数y=，。曳-5%+4)是由y=log弟⑺与"⑺=X2_5X+4复合而成,

函数y=I。史”(%)在其定义域上是单调递减的，

3

函数〃(%)=x2-5x+4在(-8,|)上为减函数，在E，+oo]上为增函数.

考虑到函数的定义域及复合函数单调性，

22

y=log^x-5x+4)的增区间是定义域内使y=(。呜4。)为减函数、M(x)=%-5%+4也为减函

数的区间，即(一8,1);

22

y=log^x-5x+4)的减区间是定义域内使y=/。%以乃为减函数、=x-5%+4为增函数

的区间，即(4,+8).

解析：先根据对数函数的性质求出函数的定义域，然后在定义域内求函数的值域，函数y=3(/—

3

5%+4)是由y=logy⑺与Mx)=x2-5x+4复合而成，根据复合的两个函数同增则增，同减则增,

一增一减则减，即可求出函数V=logi(x2-5x+4)的单调区间.