2019年湖北省武汉市中考数学试卷（解析版）

2019年湖北省武汉市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）（2019•武汉）实数2019的相反数是（）

A.2019B.-2019C.——D.一--

20192019

【考点】14：相反数；28：实数的性质.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案.

【解答】解：实数2019的相反数是：-2009.

故选：B.

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.（3分）（2019•武汉）式子在实数范围内有意义，则尤的取值范围是（）

A.x>0B.尤2-1C.D.xWl

【考点】72：二次根式有意义的条件.

【专题】62：符号意识；68：模型思想.

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.

【解答】解：由题意，得

x-120,

解得

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解

题关键.

3.（3分）（2019•武汉）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他

差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）

A.3个球都是黑球B.3个球都是白球

C.3个球中有黑球D.3个球中有白球

【考点】XI：随机事件.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型.

【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；

B、3个球都是白球是不可能事件；

C、3个球中有黑球是必然事件；

。、3个球中有白球是随机事件；

故选：B.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.（3分）（2019•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称

性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A.诚B.信C.友D.善

【考点】P3：轴对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】利用轴对称图形定义判断即可.

【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是吉，

故选：D.

【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键.

5.（3分）（2019•武汉）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是

（）

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图

所示：I—Li.

故选：A.

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

6.（3分）（2019•武汉）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量

变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置

计算时间，用/表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对

应关系的是（）

【考点】E6：函数的图象.

【专题】53：函数及其图象.

【分析】根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题.

【解答】解：•..不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，/表示漏水时间,

y表示壶底到水面的高度，

随/的增大而减小，符合一次函数图象，

故选：A.

【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

7.（3分）（2019•武汉）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c,

则关于x的一元二次方程62+4x+c=0有实数解的概率为（）

A.1B.LC.LD.2

4323

【考点】AA：根的判别式；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使acW4的情况，然后利用概率

公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使acW4的有6种结果，

，关于x的一元二次方程以2+4X+C=0有实数解的概率为上，

2

故选：C.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

8.（3分）（2019•武汉）已知反比例函数y=K的图象分别位于第二、第四象限，A（卬月）、

x

8（X2,以）两点在该图象上，下列命题：①过点A作ACLx轴，C为垂足，连接OA.若

△AC。的面积为3,则左=-6;②若Xl<0<X2，则yi>>2；③若X1+无2=0，则yi+》2=

0,其中真命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】01：命题与定理.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回

答即可.

【解答】解：过点A作轴，C为垂足，连接04.

「△AC。的面积为3,

.•.因=6,

:反比例函数>=上的图象分别位于第二、第四象限,

X

:.k=-6,正确，是真命题;

②...反比例函数y=K的图象分别位于第二、第四象限，

x

，在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，

若Xl<0<%2，则月>0>》2，正确，是真命题；

③当A、8两点关于原点对称时，xi+尤2=。，贝1Jyi+y2=。，正确，是真命题，

真命题有3个，

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例

函数的比例系数的几何意义等知识，难度不大.

9.（3分）（2019•武汉）如图，是。。的直径，M,N是窟（异于A、B）上两点，C是

诵上一动点，/ACB的角平分线交。。于点。，NBAC的平分线交CD于点E.当点C

从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）

A.A/2B.—C.3D.返

222

【考点】M5：圆周角定理；04：轨迹.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】如图，连接班.设。4=心易知点E在以。为圆心D4为半径的圆上，运动轨

迹是衣，点C的运动轨迹是诵，由题意/MON=2NGOF,设/GZ）F=a,则/MON=

2a,利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：如图，连接E8.设OA=r.

,：AB是直径，

/.ZACB=90°,

是△ACB的内心，

ZA£B=135°,

NACD=NBCD,

AD=DB，

：.AD=DB=42r,

：.ZADB=90°,

易知点E在以。为圆心D4为半径的圆上，运动轨迹是百，点C的运动轨迹是诵，

VZMON^2ZGDF,设NGZ>F=a,则NA/ON=2a

2a:兀.

.MN的长180rz

180

故选：A.

【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题

意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

10.（3分）（2019•武汉）观察等式：2+22=2^-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2-

505

已知按一定规律排列的一组数：2>2\252、…、299、2100_若250=小用含a的式子

表示这组数的和是（）

A.2a2-2aB.2（z2-2a-2C.la-aD.la'+a

【考点】32：列代数式；37：规律型：数字的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2,得出规律：

2+22+23+--+2n=2n+1-2,那么250+251+252+—+299+2100=(2+22+23+•••+2100)-

(2+22+23+-+249),将规律代入计算即可.

【解答】解：：2+22=23-2；

2+22+23=24-2；

2+22+23+24=25-2；

/.2+22+23+-+2n^2n+1-2,

50515299100

...2+2+2+-+2+2

=(2+22+23+--+2100)-(2+22+23+--+249)

=(2101-2)-(250-2)

=2ioi_250

V250=a,

.,.2101=(250)2-2=2a,

，原式=2＜？-a.

故选：C.

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，

并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出规律：2+2?+23+…+2"=2"1-2.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.(3分)(2019•武汉)计算SW的结果是4.

【考点】73：二次根式的性质与化简.

【分析】根据二次根式的性质求出即可.

【解答】解：卫=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟练地运用二次根式的性质进行化简是

解此题的关键.

12.(3分)(2019•武汉)武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温(单位：。C),分别是

25、20、18、23、27,这组数据的中位数是23℃.

【考点】W4：中位数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据中位数的概念求解可得.

【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27,

所以这组数据的中位数为23℃,

故答案为:23℃.

【点评】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如

果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个

数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

13.（3分）（2019•武汉）计算.2a-，的结果是

a2-16aY

【考点】6B：分式的加减法.

【专题】513：分式.

【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减.

【解答】解:，序式=2a__________a+4

(a+4)(a-4)(a+4)(a-4)

2a-a-4

(a+4)(a-4)

a-4

(a+4)(a-4)

_1

a+4

故答案为：---

a+4

【点评】此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最

简公分母.

14.（3分）（2019•武汉）如图，在口428中，E、尸是对角线AC上两点，AE=EF=CD,

ZADF=90°,ZBCD=63°,则NAZJE的大小为21°

【考点】L5：平行四边形的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；555：多边形与平行四边形.

【分析】设NAOE=尤，由等腰三角形的性质和直角三角形得出DE

=LAF=AE=EF,得出。石=CD,证出NZ)CE=N0EC=2X,由平行四边形的性质得出

2

ZDCE=ZBCD-ZBCA=63°-x,得出方程，解方程即可.

【解答】解：设NADE=x,

•：AE=EF,ZADF=90°,

NDAE=ZADE=x,DE=LAF=AE=EF,

2

•；AE=EF=CD,

：.DE=CD,

：.ZDCE=/DEC=2x,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZDAE=ZBCA=x,

：.ZDCE=ZBCD-ZBCA=63°-x,

：.2x=63°-x,

解得:x—21°,

即/AOE=21°；

故答案为：21°.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识;

根据角的关系得出方程是解题的关键.

15.(3分)(2019•武汉)抛物线y=o?+bx+c经过点A(-3,0)、B(4,0)两点，则关于

x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是xj_=-2,x2=5.

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】由于抛物线>="2+公+。沿无轴向右平移1个单位得到y=a(x-1)2+b(x-1)

+c,从而得到抛物线y=a(x-1)2+ft(x-1)+c与无轴的两交点坐标为(-2,0),(5,

0),然后根据抛物线与无轴的交点问题得到一元二方程a(x-1)-+b(x-1)+c=0的

解.

【解答】解：关于尤的一元二次方程a(x-1)2+c—b-bx变形为a(x-1)2+b(x-1)

+c=0,

把抛物线〉=办2+区+。沿X轴向右平移1个单位得到y=a(x-1)2+b(X-1)+C,

因为抛物线y=a,+6x+c经过点A(-3,0)、B(4,0),

所以抛物线y=a(x-1)-+b(x-1)+c与x轴的两交点坐标为(-2,0),(5,0),

所以一元二方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解为xi=-2,也=5.

故答案为了i=-2,M=5.

【点评】本题考查了抛物线与无轴的交点：把求二次函数y=a^+bx+c(a,b,c是常数，

aWO)与x轴的交点坐标问题转化为解关于尤的一元二次方程.也考查了二次函数的性

质.

16.(3分)(2019•武汉)问题背景：如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△">£,

DE与BC交于点P,可推出结论：PA+PC^PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,NM=75°,MG=4匹.点。是△MNG内

一点，则点0到△MNG三个顶点的距离和的最小值是」叵

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】(1)在8C上截取BG=PC,通过三角形求得证得AG=AP,得出△AGP是等边

三角形，得出NAGC=60°=ZAPG,即可求得/APE=60°,连接EC,延长BC到R

使CB=B4,连接ER证得△ACE是等边三角形，得出AE=EC=AC,然后通过证得△

APE当LECF(SAS),得出PE=PF,即可证得结论；

(2)以MG为边作等边三角形△MG。，以OM为边作等边△OME.连接NZ),可证△

GMO^ADME,可得GO=OE,贝!IMO+NO+GO=NO+OE+DE,即当。、E、。、N四点

共线时，MO+NO+G。值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得板、DF,然

后求ND的长度，即可求MO+NO+G。的最小值.

【解答】(1)证明：如图1,在BC上截取BG=P。，

在△ABG和△ADP中

'AB=AD

</B=/D，

tBG=PD

Z.AABG^^ADP(SAS),

C.AG^AP,/BAG=NDAP,

,：ZGAP=ZBAD=60°,

.♦.△AGP是等边三角形，

/.ZAGC=6Q°=ZAPG,

：.ZAPE=6Q°,

：.ZEPC^60°,

连接EC,延长BC到R使CF=B4,连接EE

•；将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△的)£,

：.ZEAC=6Q°,ZEPC=60°,

'：AE^AC,

.♦.△ACE是等边三角形，

；.AE=EC=AC,

VZ.PAE+ZAPE+ZAEP=l?,0o,ZECF+ZACE+ZACS=1800,ZACE=ZAPE=

60°,ZAED=ZACB,

：.ZPAE=ZECF,

在AAPE和△ECE中

fAE=EC

<ZEAP=ZECF

、PA=CF

AAPE^AECF(SAS),

:.PE=PF,

：.PA+PC^PE-,

(2)解：如图2：以MG为边作等边三角形△MG。，以。M为边作等边连接

ND,作。F_LMW,交MW的延长线于E

丛MGD和△OME是等边三角形

：.OE=OM=ME,ZDMG^ZOME^60°,MG=MD,

：.ZGMO=ZDME

在△GMO和中

OM=ME

<ZGMO=ZDME

kMG=MD

:.AGMO沿ADME(SAS),

OG=DE

：.NO+GO+MO=DE+OE+NO

当。、E、0、M四点共线时，NO+GO+M。值最小,

■:/NMG=15°,/GATO=60°,

:.NNMD=135°,

.•.ZDMF=45°,

；MG=472.

；.MF=DF=4,

:.NF=MN+MF=6+4=10,

，

..^O=AyNF2+DF2=^102+42=2V29,

C.MO+NO+GO最小值为2A/29-

D

图1

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造

等边三角形是解答本题的关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）（2019•武汉）计算：（2/）3-x'xt

【考点】46：同底数塞的乘法；47：幕的乘方与积的乘方.

【专题】11：计算题；512：整式.

【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可.

【解答】解：（2x2）3_x2.x4

=8x6-x

=7x6.

【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算性质和法则是解题的关键.

18.（8分）（2019•武汉）如图，点A、B、C、。在一条直线上，CE与8尸交于点G,ZA

=Z1,CE//DF,求证：/E=/F.

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据平行线的性质可得又NA=N1,利用三角形内角和定理及等

式的性质即可得出

【解答】1¥：,JCE//DF,

NACE=/D,

'：ZA=Z1,

A180°-ZACE-ZA=180°-ZD-Zl,

又：/E=180°-ZACE-ZA,ZF=180°-ZD-Zl,

：.ZE=ZF.

【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角

互补；两直线平行，内错角相等.也考查了三角形内角和定理.

19.（8分）（2019•武汉）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童

威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”,

。表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，

根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取3—名学生进行统计调查，扇形统计图中，。类所对应的扇形圆心角

的大小为72°；

（2）将条形统计图补充完整;

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的8类的学生大约有多少人？

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】（1）这次共抽取：12+24%=50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360°

X12,=72°；

50

（2）A类学生：50-23-12-10=5（人），据此补充条形统计图；

（3）该校表示“喜欢”的8类的学生大约有1500义空=690（人）.

50

【解答】解：（1）这次共抽取：12+24%=50（人），

D类所对应的扇形圆心角的大小360°X”>=72°,

50

故答案为50,72°；

（2）A类学生：50-23-12-10=5（人），

条形统计图补充如下

各美学生人数条形统计图

该校表示“喜欢”的8类的学生大约有1500X^1=690（人），

50

答：该校表示“喜欢”的8类的学生大约有690人；

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

20.（8分）（2019•武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点

叫做格点.四边形ABC。的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点.请选择适当

的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由.

(1)如图1,过点A画线段AR使A尸〃。C,S.AF^DC.

(2)如图1,在边上画一点G,使NAGZ)=/BGC.

(3)如图2,过点E画线段EM,使且EM=AB.

【考点】JB：平行线的判定与性质；N4：作图一应用与设计作图.

【专题】13：作图题.

【分析】(1)作平行四边形即可得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；

(3)作平行四边形即可得到结论.

【解答】解：(1)如图所示，线段AP即为所求；

(2)如图所示，点G即为所求；

(3)如图所示，线段EM即为所求.

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形

的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出图形是解题的关键.

21.(8分)(2019•武汉)已知AB是O。的直径，AM和BN是。。的两条切线，OC与

相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.

(1)如图1,求证：AB2^4AD'BC；

(2)如图2,连接OE并延长交AM于点R连接CE若/ADE=2NOFC,AD=1,求

图中阴影部分的面积.

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算；S9：相似三角形

的判定与性质.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；55A：与圆有关的位置关系；

55D：图形的相似.

【分析】（1）连接。C、0D,证明△AOOS^BC。，得出挺1=处，即可得出结论；

BOBC

（2）连接。£>,OC,证明△C。。g△CFO得出NC£>O=/C。尸，求出N8OE=120°,

由直角三角形的性质得出8C=3,OB=y/s，图中阴影部分的面积=2S^OBC-S扇形OBE，

即可得出结果.

【解答】（1）证明：连接OC、OD,如图1所示：

TAM和是它的两条切线，

：.AM±AB,BNLAB,

：.ZADE+ZBCE=1SO°

TOC切OO于E,

ZODE=^-ZADEf/OCE=L/BCE,

22

：.ZODE+ZOCE=90°,

：.ZDOC=90°,

ZAOD+ZCOB=90°,

VZAOD+ZADO=90°,

ZAOD=ZOCB.

9：ZOAD=ZOBC=90°,

AAOD^ABCO,

.AD=OA

"BOBC,

：.OA=AD9BC,

(Lw)2^AD'BC,

2

：.AB1=4AD-BC；

(2)解：连接。D,OC,如图2所示：

NADE=2/0FC,

：.ZADO=ZOFC,

,：ZADO^ZBOC,/BOC=ZFOC,

：.ZOFC=ZFOC,

:.CF=OC,

.•.CD垂直平分OR

：.OD=DF,

rOC=CF

在ACOD和△CED中,，OD=DF，

CD=CD

：.ACOD^/\CFDCSSS),

：.ZCDO^ZCDF,

,：ZODA+ZCDO+ZCDF=180°,

：.ZODA=6Q°=ZBOC,

：.ZBOE^120°,

在RtADA。，4D=返。A,

3

RtZaOC中，BC=MOB,

.,.AD：BC=1：3,

'：AD=1,

：.BC^3,OB=a，

2

；•图中阴影部分的面积=2&OBC-S扇形2X—X^X3.120%X(V3)=3^

2360

-JT.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、

扇形面积公式、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键.

22.（10分）（2019•武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量

y（件）是售价无（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润卬（元）的三组

对应值如表：

售价X（元/件）506080

周销售量y（件）1008040

周销售利润w（元）100016001600

注：周销售利润=周销售量X（售价-进价）

（1）①求y关于尤的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是40元/件;当售价是70元/件时,周销售利润最大，最大利润是

1800元.

（2）由于某种原因，该商品进价提高了初元/件（相＞0）,物价部门规定该商品售价不得

超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若

周销售最大利润是1400元，求m的值.

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】536：二次函数的应用.

【分析】（1）①依题意设y=fcc+6,解方程组即可得到结论；

②该商品进价是50-1000+100=40,设每周获得利润w=o?+6x+c：解方程组即可得到

结论；

(2)根据题意得，w=(x-40-m')(-2x+200)=-2x+(280+2机)x-800-200/77,

由于对称轴是》=型也，根据二次函数的性质即可得到结论.

2

【解答】解：(1)①依题意设y=Ax+。，

则有(50k+b=100

'l60k+b=80

解得：『二-2

lb=200

所以y关于x的函数解析式为>=-2x+200；

②该商品进价是50-1000+100=40,

设每周获得利润w=ax'+bx+c：

，2500a+50b+c=1000

则有，3600a+60b+c=1600，

6400a+80b+c=1600

'a=-2

解得一b=280，

kc=-8000

；.w=-2『+280尤-8000=-2(x-70)2+1800,

...当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；

故答案为：40,70,1800；

(2)根据题意得，w=(尤-40-加(-2x+200)=-2x+(280+2加x-8000-200m,

:对称轴x=14°+m,

2

①当吗+m<65时(舍)，②当12+m三65时,x=65时，卬求最大值1400,

解得：m—5.

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题.注意：

数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商

品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值.

23.(10分)(2019•武汉)在△ABC中，ZABC=90°,胆=〃，Af是BC上一点，连接AM.

BC

(1)如图1,若力=1,N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM=BN.

(2)过点8作BP,AM,尸为垂足，连接CP并延长交42于点。.

①如图2,若"=1,求证:CP=BM

PQBQ

②如图3,若/是的中点，直接写出tan/BP。的值.（用含〃的式子表示）

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点X.想办法证明△ABM0aCBN（ASA）即

可.

（2）①如图2中，作CH//AB交BP的延长线于H.利用全等三角形的性质证明CH=

BM,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

②如图3中，作CH//AB交BP的延长线于H,作CNLBH于N.不妨设BC=2m,则

AB=2mn.想办法求出CN,PN（用机，〃表示），即可解决问题.

【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点

AZAHC=90°,

VZABC=90°,

：.ZBAM+ZAMB=90°,NBCN+NCMH=90°,

ZAMB=ZCMH,

：.ZBAM=ZBCN,

'：BA=BC,/ABM=/CBN=90°,

:.八ABM"/\CBN(ASA),

：.BM=BN.

(2)①证明：如图2中，作交8P的延长线于H.

图2

：.ZBPM=ZABM=90°,

ZBAM+ZAMB=90°,ZCBH+ZBMP=90°,

：.ZBAM=ZCBH,

'：CH//AB,

：.ZHCB-^ZABC=90°,

VZABC=90°,

AZABM=ZBCH=90°,

VAB=BC,

:.△ABMQ/\BCH(ASA),

；・BM=CH,

■:CH//BQ,

.PC=CH=BM

**PQBQBQ*

②解：如图3中，作C"〃45交BP的延长线于"，作CNLBH于N.不妨设8C=2如

则AB=2mn.

22

:.PB=I210rl,

Vl+4n2

:LBH・CN=LCH・BC,

22

:.CN=I2m,

■:CNLBH,PM±BH,

C.MP//CN,,:CM=BM,

:.PN=BP=,21m,

♦：NBPQ=/CPN,

2m

：.tanZBPQ=tanZCPN=—

PN

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定

和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解

决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

2

24.（12分）（2019•武汉）已知抛物线Ci：y=（尤-1）-4C2：

（1）如何将抛物线Ci平移得到抛物线C2?

（2）如图1,抛物线G与x轴正半轴交于点A,直线y=-经过点A,交抛物线

3

Q于另一点艮请你在线段上取点尸，过点尸作直线尸。〃y轴交抛物线G于点。，

连接AQ.

①若AP=A0,求点P的横坐标；

②若必=尸。，直接写出点尸的横坐标.

（3）如图2,△〃、灯的顶点M、N在抛物线。2上，点M在点N右边，两条直线ME、

NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行.若4MNE的面积为2,设

M、N两点的横坐标分别为机、n,求机与w的数量关系.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】(l)y=(尤-1)2-4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得

至Uy=F

(2)易求点A(3,0),b~4,联立方程—-x+4—(尤-1)〜-4,可得B(-―,

339

设P(t,~—f+4),QG,广-2f-3),

3

①当时，则有-4+务=F-2L3,求得f==；

33

②当AP=PQ时，PQ=「+2f+7,E4="(3-f),则有上+工什7=8(3-力，求得f=

3333

__2•

3

(3)设经过M与N的直线解析式为y=Z(x-m)+m2,

f2

X,贝！J可知△=%?-4切计4病=(k-2m)2=0,求得左=2如

y=k(x-m)+in2

求出直线ME的解析式为y=2mx-m,直线NE的解析式为y=2nx-n,则可求双号L

mri),

再由面积工[(/-mn)+(m2-mn)]X(m-n)--(n2-mn)X-〃)-上(加？

2222

-mn)X(m-/")=2,可得(m-几)3=8,即可求解；

2

【解答】解：(l)y=(冗-1)2一4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即

可得到y=xx

(2)y=(x-1)2-4与x轴正半轴的交点A(3,0),

:直线y=-经过点A,

.*.Z?=4,

4

・••尸--x+4,

3

y=--x+4与y=(x-1)2-4的交点为-&+4=(x-1)2-4的解,

33

・，・x=3或％=--,

3

设p(r,-里什4),且-工《3,

33

：PQ〃y轴，

•,•Q(f,广-2f-3),

①当AP=A。时,

2

14-Af|=|f-2r-3|,

3

则有-4+生=『-2t-3,

3

3

•••P点横坐标为工；

3

②当AP=PQ时，

PQ=-p+Zr+7,B4="(3-f),

33

f+—t+T——(3-f),

33

・•・t，-———2;

3

点横坐标为-2；

3

(3)设经过M与N的直线解析式为y=k(x-777)+m,

1-2

.y=x

厂k(XF)+ir|2

/22

则有x-kx+km-m=0,

△=后-4h7?+4"F=(k-2m)2—Q,

・・k^~2m,

直线ME的解析式为y—1mx-m,直线NE的解析式为y—2nx-n2,

：.E(型2,nrn),

2

"122-12IT-IT.-12

f(n-mn)+(m-mn)1X(m-n)--(九-mn)X(__--〃)--(m-mn)

2222

X(m-"")=2,

2

(m-n)3-(EL%

2

(m-n)3=8,

.*.m-〃=2；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次

函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决加与几的关系的关键.

考点卡片

1.相反数

(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-(机+"),这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.实数的性质

(1)在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样.实数。的绝对值就是在数轴上这

个数对应的点与原点的距离.

(2)实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝

对值是0.

(3)实数。的绝对值可表示为间={a(a20)-a(a<0),就是说实数。的绝对值一定是

一个非负数，即|a|20.并且有若|x|=a(a20),则x=±a.

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与6互为倒数，则浦=1;反之，若漏=1,则。与

。互为倒数，这里应特别注意的是。没有倒数.

3.列代数式

(1)定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，

就是列代数式.

(2)列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语,

仔细辩析词义.如“除”与“除以”，“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.@

分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式

时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低

级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要

求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；

除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加

括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有

时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”

简写作“；’或者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成

假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“小”（除号），而是写成分数的形式.

4.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

5.同底数塞的乘法

（1）同底数基的乘法法则：同底数暴相乘，底数不变，指数相加.

am,an—am+"（m,"是正整数）

（2）推广：am'dl*cf=an+n+p（m,p都是正整数）

在应用同底数第的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（aV）3与（J户）

4,（x-y）2与（尤-了）3等；②0可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数塞.

6.毒的乘方与积的乘方

（1）累的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（屋）餐仪（m,〃是正整数）

注意：①塞的乘方的底数指的是塞的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数哥的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的早相乘.

（"）是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

7.分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，

经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是

多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为

较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分

式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的

分式来说的.

8.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如、（a>0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.4（°20）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开

方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

9.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：①心0；（双重非负性）.②（a）2=。（a^O）（任何

一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.③。2=。（°20）（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性

质和商的算术平方根的性质进行化简.ab=a-bab=ab

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式