2023年广东省湛江市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年广东省湛江市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.已知b在a内的射影是b哪么b，和a的关系是

A上力aB.b^aCb与a是异面直线Db与a相交成锐角

2.Y=xex,则Y'=()

A.A.xexB.xex+xC.xex+exD.ex+x

3.已知lgsin0=a,lgcos0=b,贝sin20=()

a♦h

A.

B.2(a+6)

C.()*»*

D.N

4.下列函数()是非奇非偶函数()

A.f(x)=x

B.f(x)=x2-2|x|-l

C.f(x)=2冈

D.f(x)=2x

5.从52张一副扑克(除去大小王)中抽取2张，2张都是红桃的概率

是()

A.1/4B.4/13C.1/17D.1/2

6.若f(x+l)=x2—2x+3,则f(x)=()

A.A.x2+2x+6

B.x2+4x+6

C.x2—2x+6

D.x2-4x+6

7.设tan9=2,则tan(e+7i)=ll()0

A.-2B.2

D--I

C—

2

已知/(x+1)=/-4,则=

(A)x1-4x(B)x1-4

8.(5'+4*(D)x2

9.已知

仇也出也成等差数列，且仇也为方程2工―37+1=0的两个根，则仇十仇

为方程的两个根则b2+b3的值为

A.1/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

I。.已知函数忖=第的反函数为尸⑺二转则.

A.a=3,b=5,c=-2B.a=3,b=-2,c=5C.a=-3,b=-5,c=2D.a=2,b=5,c=-3

11.

下列函数中，为奇函数的是()

A.y=-x3

B.y=x3-2

C.।、

D.=岫(；)

12.函数y=3x的反函数是()

A.A.y=(l/3)x(x>0)

B.-y=(l/3)x(x>0)

C.y=log3x(x>0)

D.-y=-log3x(x>0)

13.设a,b为实数且a>2,则下列不等式中不成立的是()

A.A.ab>2b

B.2a>a

I1

C.

D.a2>2a

在△ABC中，巳知sinX=京,cosS=言,那么co«C等于()

**1，

(A噌(B)工

303

(C送或1!⑼嚏或嚏

15.将一颗骰子抛掷1次，得到的点数为偶数的概率为

16.若p:x=l；q:x2-l=0,则()

A.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

B.p是q的充要条件

C.p是q的必要条件但不是充分条件

D.p是q的充分条件但不是必要条件

已知函数尸失沏反函数是它本身,则。的值为

A.-2

B.0

C.1

17.D.2

18.下列函数()是非奇非偶函数

2

A./(x)=JB./(x)=x-2|x|-1

C./(x)=2gD./(x)=2，

19.

第10题设z=[sin(27i/3)+icos(27i/3)]2,i是虚数单位，则argz等于(

A.K/3B.2K/3C.4K/3D.5TI/3

20-1川奇=4•忌，则点p的坐标是()

A.A.(-8,1)

B.

D.(8,-1)

21.巳知平面向*仍=(2.—4),/=(一1⑵用父一()

A.A.(3,-6)B.(1.-2)C.(-3,6)D,(2,-8)

22.已知f(x+l)=XA2-4,贝l|f(x-l)=()

A.A.xA2-4xB.xA2-4C.xA2+4xD.xA2

233函数)=：lg(r-2r-2)]-^的定义K是

A.A.{x|x<3,x£R}

B.{x|x>-1,x《R}

C.{x|-l<x<3,xGR)

D.{x[x<-1或x>3,x£R}

1

y-

24.函数(x£R)的值域为

A.y>0B.y<0C.O<y<lD.y<l

25.函数，y=lg(2x-l)的定义域为()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

26.^EAABC中，若b=2&、c=展+愿B=45°,则a等于

B.2或2"

C2y/3

D.无解

已知一个等差数列的第5项等于10.前3项的和等于3,那么这个等差数列的公

差为()

(A)3(B)l

27(C)-1(D)—3

28.已知平面a、氏7两两垂直，它们三条交线的公共点为O,过O弓上条

射线OP,若OP与三条交线中的两条所成的角都是60。，则OP与第三

条交线所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.不确定

29.已知靠=(5,-3),('(—1.3).GB=2第.则D点的坐标为()

A.A.(11,9)B.(4,0)C,(9,3)D,(9,-3)

30.与直线3x-4y+12=0关于y轴对称的直线方程为()

A.x/-4+y/3=lB,x/4+y/-3=lC.x/-4+y/-3=lD.x/4+y/3=l

二、填空题(20题)

31.

sin200cos200cog400=

msl0*1

32.从-个正方体中截去四个三棱锥，得-正三棱锥ABCD,正三棱锥的体

积是正方体体积的.

已知球的半径为I.它的一个小圆的面积是这个球表面积的!，则球心到这个小

O

33.■所在的平面的距离是

34.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下(单位：h)：

245256247255249260

则该样本的样本方差为(保留小数点后一位).

35.函数'--1''1的定义域是_______________

36.

已知随机变量S的分布列为

W|01234~~

P巨.150.250.300.200而

则_______________

37.

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取1。袋测得重量如下，（单位：克）

76908486818786828583则样本方差等于

38.抛物线/=8上一点4到焦点的距离为3,则点4的坐标为

39.

函数丫=3-*+4的反函数是

3，X3~—log.10—

计算11。24-=

40.5

41化简而+而+而_加=

42.f(u)=u-l,u=(p(x)=Igx,则f{(p(10)]=.

43.顶点在原点、焦点在x轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为

6的抛物线方程为.

44.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

45.函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(-1,0),(3,0),则f(x)的最小值为

O

46.某几何体下部是直径为2,高为4的圆柱，上部是直径为2的半

球，则它的表面积为,体积为

47.已知5兀<01<11/2兀，且|cosa|=m,则cos(a/2)的值等于.

48.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

已知tana-cola=1，那么tan2a+cot2a=.tan'a-cot3a=.

49.

50.各棱长都为2的正四棱锥的体积为.

三、简答题（10题）

51.

（本小题满分13分）

2sin0cos0♦—

设函数八夕）=—T-T--€[O.fl

sin^+cos02

⑴求/%）;

（2）求/（/的最小值.

52.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆G：三+，'=1与双曲线G：号-丁=1(«>!).

aa

(I)设.±分别是G.G的离心率,证明e,e3<1;

⑵设4A是G长轴的两个端点/(颉,九)(1*。1>。)在J上，直线P4与C1的

另一个交点为Q,直线产名与G的另一个交点为&.证明QR平行于产轴.

53.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

54.

(本小题满分12分)

已知数列Ia.｝中..=2.a..(=ya..

(I)求数列I的通项公式；

(H)若数列电1的前"项的和S.=器,求”的值.

55.(本小题满分12分)

椭圆2x2+y2=98内有一点A(-5,0),在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

56.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中,al=9,a3+a8=0.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时,数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

57.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少1。件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

58.

（本小题满分12分）

已知等差数列ta.I中,5=9.a,+«.=°，

（I）求数列Ia」的通项公式，

（2）当n为何值时.数列:a1的前n页和S.取得最大（ft,并求出该破大值.

59.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,％3的系数是为2的系数与Z4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

60.

（本小题满分12分）

已知参数方程

'x="1-(e,+e*1)cosd,

y-<t-e*1)sind.

(1)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若外e»*y,*GN.)为常量.方程表示什么曲线?

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

四、解答题(10题)

61.

已知函数f(H)=6cOslx_sinxcosLT.求：

(I)/(公的最小正周期;

(n)/(工)的地大值和最小值.

已知函数〃x)=(x+a)e'+Lx2,fl/'(0)=0.

(I)求a：

*ID求/(x)的单调区间，并说明它在各区间的单调性；

“「川)注明对仃总xcR,都仃/'(x)MI.

62.

63.

设一次函数/(*)满足条件织1)+3/<2)=3且次-1)-/(0)=-1,求的解

析式.

64.某县位于沙漠边缘，到1999年底全县绿化率已达30%.从2000年开

始，每年出现这样的局面:原有沙漠面积的16%被栽上树改为绿洲，而

同时原有绿地面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.

(I)设全县的面积为11999年底绿洲面积为ai=3/10,经过-年绿洲面积为

a2,经过n年绿洲面积为an,求证：an+i=4/5xan+4/25

(II)问至少经过多少年的绿化，才能使全县的绿洲面积超过60%(年取

整数).

65.

66.

改网网＞0)的焦点在*轴上,0为坐标原点.P、Q为《|典上两点,使得

°尸所在直线的斜学为若△畋的画枳恰为3/求谟11Hl的焦距

已知函数人］)二尸+“2+6在工=1处取得极值一1,求

(I)a

(n)/(.r)的单调区间，并指出/(x)在各个单调区间的单调性.

67.

楠国2x?+/=98内有一点4(-5,0),在楠HI上求一点8,使।481最大•

68.

69.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3,并且经

过点(-3,8)

求：⑴双曲线的标准方程；

(II)双曲线的焦点坐标和准线方程。

如图，设八C_LBC./ABC=45，/ADC=60，BD=20.求AC的长.

70.

五、单选题（2题）

71.i为虚数单位•则（i；尸的虚部为（）

A.A.4B.4iC,-4D.0

72.函数y=log3（x+l）的反函数为（）

A.A.y=3x-1

B.y=3x+1

C.y=3x-1

D.y=3x+1

六、单选题（1题）

73.没：=：-6,送盅数单位加mg，等于

参考答案

1.B

又；aUa,

所以由三垂线定理的逆定理知，b在a内的射影b，_La所以选B

2.C

3.D

4.D：A,f(-x)=-x=-f(x)为奇函数.B,f(-x尸(-x)2-2卜x〉l=f(x)为偶函数.C,

f(-x)=2卜xl=21xl=f(x)为偶函数.D,f(-x)=2华f(x)加x)为非奇非偶函数.

5.C

从52张扑克(有13张红桃)任取两

张.共有种不同的取法，从13张红桃中任取

出2张都是红桃.共有种不同的取法.设取出

两张都是红桃的事件为A,

13X12

p(A)=—=---=—

52X5117,

-2~

6.D

f(x+l)=x2—2x+3=(x+l)2—4(x+l)+6,.,.f(x)=x2-4x+6.(答案

为D)

7.B

该小题主要考查的知识点为正切函数的变换.【考试指导】tan(O+兀尸

tan0=2.

8.A

9.D

由根与系数关系得仇+仇=工

2

由等差数列的性质得仿+仇=仇+仇=2，

2

故应选D.

10.A

11.A

12.C

13.A

14.C

15.D

该小题主要考查的知识点为概率.【考试指导】一颗骰子的点数分别为

1,2,3,4,5,6,其中偶数与奇数各占一半，故抛掷1次，得到的点数为偶

数的概率为1/2.

16.DX=1=>X2-1=0,而x2-l=0=>x=l或x=-l,故p是q的充分但不必要

条件.

17.A

A木湿可以用试值法,如将a代入>=

誓若其反函数是它本身，则对于图象上一点

A（J.】）.则其与y=工的对称点亦应

满足函数式,显然不成立，故B项错谟,同理C,D也

不符合

【分析】本题冬变反函般概念谈求■法.

18.D

考查函数的奇偶性，利用奇偶函数的定义就可以讨论。

•；A,，（一工）=一工==一/（工）为奇函数•

B,/（—x）=（—X）2—2|—x|—l=x2—2|J|-

1=/（H）为偶函数.

C,/（-x）=2l-xl=2lxl=/（工）为偶函数.

D.f（一工）=2-*#—/。）#八工）为非奇非偶

函数.

19.D

20.B

设点P的坐标是G・y）,NM=（3+5.-2+D=（8.—D.MP=G-3.y4»2）.

由MP=/NM.得（4：—3.yF2）=｝（8.—1）.

即x—3«=4・丁+2=一1.

a&

则点P的坐标是（7.一%.（答案为B）

21.C

22.A

23.D

24.A

利用指数函数的性质，参照图像（如图）

6题答案图

N,z>0

•*II~*0,x=0,

.1%,zVO

⑴当x>0时,（、_）"I=

⑵当aVO时=（y）"=3-<i

⑶当7=°时，（）=1.

所以0<y小于等于1，注意等号是否成立

25.D

26.B此题是已知两边和其中-边的对角，解三角形时，会出现-解、两解、

无解的情况，要注意这一点

用余弦定理"==a,十/—2accos3.可得：（2g）s—a14-4娓）,-2a（V6+V?）cos45°n8=a'+（8+2VfX

V?）—2<V6卜々）,90-a，+2/12-（76+72\j2a^al—（/T?+2）0+4G=O.

解出『士g”丁乂的.”1型土箜二后+-D=｛泮

（楼示）

27.A

28.B将a、0、丫看成是长方体中有公共点的三个面，OP看成是长方体

的对角线.

29.D

设点则品NQ+l.y—33由于亚=2鼐，

即Cr+1•3-3)=2(5.-3)=(10.-63

得x+l-10~-3»=-6,得工-9.卞5-3.所以D(9.-3).(答案加D)

30.D先将3x-4y=-12转化为截距式3x/-12-4y/-12=l-x/-4+y/3=l,将x换

为-x,得:-x/-4+y/3=l―»x/4+y/3=L

31.

巨迦空号厘’=2,艺黑＞=(答案为4

32.1/3截去的四个三棱锥的体积相等，其中任一个三棱雉都是底面为直角

三角形，且直角边长与这个三棱锥的高相等，都等于正方体的棱长.设正

33

方体的棱长为a,则截去的一个三棱锥的体积为l/3xl/2axaxa=l/6a,^(a-

4xl/6a3)/a3=l/3

34.

Q-252"=28.7(使用科学计算II计算).(谷叁为28.7)

35.{x|-2且x齐3/2}

；

logl.(N+2)200<x+2<l

”>—22

x+2>0=><-2Vz4一l,且HW一年

3

21+3¥0尸F

yiog|(x+2)

所以函数y—的定义域是{工|一2〈工=-1,且X^-y}.

2工+3

36.E^=0x0.15+1x0.25+2x0.30+3x0.20+4x0.10=1.85.(答

案为1.85)

37.

38号⑶

39.

由y=3"+4,得(不)・,一4♦即jr—logt(y-4)•

即函数y=3*+4的反函数她,=3+(工一4)(工〉4〉.(答案为^=|og|(j-4)(x>4))

40.

7

【解析】该小题主要考查的知识点为对数函数与指数函数的计算.

_51A

3TX3T—log,10—log-2-=32—

45

(log,10+log,卷)H9-log<16=9-2=7.

【考试指导】

41.

42.0

(p(x)=Igx(p(l0)=IglO=l,f[(p(10)]=(p(i0)-l=l-l=0.

43.y2=±6x设抛物线的方程为：ysup>2=±2px,则焦点F（土p/2,0）,所以

有（6/2）2=±2p（土p/2）,得p=±3故抛物线方程为：y2=±6x

44.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作8点关于工轴对•称的点B'(2.-6).连接

Mi'.AB'即为入射光段所在直线,由两点式知

k工+3二丫号―45+、+2=0.

45.-4

由于函数开口向上，故其在对称轴处取得最小值，又函数过点(",

-1*3

0),(3,0),故其对称轴为X=.■,fmin(l)=l+b+c,而f(-l)由1-

b+c=0,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故fmin(1)=123=4

46.

2iJf十2kh+M=1V|g=Van+%.=i^h+

品KM*f]0=&<1|+$«|+生|1*="4*(孑由)=4<+玄=¥<.11兀本题

考查多面体，旋转体的表面积及体积.考生应熟记球体、柱体、锥体的

这些公式，注意不要记混.

47.

-v-

,*"5xVa<?n(ae第三象限角).即〈年〈耳£(gW第二象限角)，

乙LL4vZ)

故cos-y<0♦又Icosa|=m,・\cosa=—m,则cos彳=-工-

48.

50.

51.

1♦+

由曲已知小9)=…曲n"嬴尸

(sintf+cosd)2+~~

sin0♦cos^

令二=sin。♦costf.得

八二

f(o)--^-=*+^=[7*--^]3+27*,--Z

由此可求得43=6/•(&)最小值为而

52.证明:(1)由已知得

将①两边平方.化简得

2

(«„+a)y?=(.t(+a)*yj.④

由②③分别得Vo='(M-a2).yj=—(a2-x?).

aa

代人④整理得

同理可得与二%.

所以凡=z,'O,所以。犬平行于T轴.

53.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

54.

(1)由已知得。.#°；,=/，

所以Ia.1是以2为首项，上为公比的等比数列.

所以a"=2("),即4=于不

(n)由已知可得意=」二^"•所以傍=(十)'

，-T

解得n=6.

55.解

设点8的坐标为(刈.)，则

s,

+5)+y1①

因为点B在椭圆上,所以2x/+y「=98

y,1=98-2x,2②

将②代人①，得

11

1481=y/(xx+5)+98-2x,

=+25)+148

=y/-(x,-5)5+148

因为-G-Rwo,

所以当盯=5时，_(*-5/的值殿大，

故认81也最大

当孙=5时.由②.得y产±4有

所以点8的坐标为(5.4万)或(5.-46)时1481最大

56.

(1)设等差数列Ia.i的公差为(由已知，+，=0,得

2%+9d=0.又已知％=9.所以d=-2.

数列Ia.|的通项公式为a.=9-2(n-l).Wa.«ll-2n.

(2)数列la」的前n项和

S,=-^-(9+I-2n)=-nJ+10n=-(n-5):+25.

当n=5时S取得最大值25.

57.

利润=传售总价-进货总价

设期件提价了元(HM0),利润为y元，则每天售出(100-Kk)件,销售总价

为(10+了)•(100-10*)元

进货总价为8(100-13)元(OwwWlO)

依题意有:y=(10+x)•(100-lOx)-8(100-!0x)

=(2+x)(100-10x)

=-I0xj+80x+200

>'=-20x+80,令y，=0得H=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,赚得利润最大，最大利润为360元

58.

(I)设等比数列la.l的公差为人由已知。，+%=0,得2%+9d=0.

又已知%=9,所以d=-2.

得数列Ia.(的通项公式为a.=9-2(»-1),IIPa.=11-in.

(2)数列|a」的前n项和品=件(9+11-2n)=7+10n=-(n-5)J+25,

则当n=5时.S.取得最大值为25.

由于(a*+1)7=(1+<tx)7.

可见.展开式中』的系数分别为C>‘，C吟

由巳知.2C；a'=C；a'+C".

7x6x57x67x6x5

Xa>l,则2x"a',5a'-10a+3=0.

3x23x2

59.解之，傅a=气位.由a>l.得a=

60.

(I)因为"0,所以e'+eT~O,e'-e*O.因此原方程可化为

-r^-z；=co60,①

e+e

~7互F=sin0.②

«1e

这里8为参数.①1+②1,消去参数心得

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

(2)由"竽入N.知“"0,sin'"。.而，为参数,原方程可化为

f^=e'+e-,①

I'OW

%=d-e”.②

lsm0

ue得

4-绦=3+e”尸-(J-e-y.

cos6sin0

因为2e'e-'=2J=2,所以方程化的为

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(】)知，在椭圆方程中记足

其贵力4二工,4

则J=?一y=1,c=1,所以焦点坐标为(=1,0).

由(2)知.在双曲线方程中记J=88，.炉=前匕

■则Jna'+〃=1.c=l.所以焦点坐标为(*1,0).

因此(1)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

61.

(I=夙卬尸~1?_卷曲12H

-v«»2工一'sin2x4-y=cos(2x+-^)+学

因此/Q)的最小正周期为7=奇=争=工

(n小工)的最大值为1+g,最小值为一】+号.

62.

,

M：<I)/(x)=(x+fl+l)e*+x.

由/'(0)=0得1+。=0,所以a=-L...4分

(II)由(I)可知，/*(x)=jcer=+1).

当xvO时，/*(x)<0；当x>0时,f'(x)>0.

函数/(x)的电调区间为(f,0)和(0,+«).函数“X)在区间(Y>，0)为减函数，

在区间(0,+8)为增函数.……10分

(in)/(o)=-i.由(II)知，/(o)=-i为最小值，...13分

解设/(工)的解析式为人幻=3+九

$a士，Mf2(a+i)+3(2a+6)=3.4.1

依题意得L.I、.,解方程组，得a=w，6=-百,

12(-a+b)-b=-1,，，

•••A*)

63.

64.

（I）过M年后绿洲面积为6,则沙漠面积为1一0■，由题意知i

=（1—a»,）16%+a1t96%=告+言.

344

（D）。1=vx9a^—a-i+玄，（打》2）则

1Ua0n40

%F=（%-I—E"）（n^2）

3□xo7

41'

［田一亏=-2

・•・{&一是首项为一J,公比为g的等比数列，

3c5

a--T=-Tx（T），即a-=T-Tx（T）",•

要使a.>~|■，即（*1~）V"|",n'6,

•••至少需要6年，才能使全县的绿化面积超过60%.

65.

66.

M0P8*〃必-

W,又因W战柞血蛇的8・力I.M

4F・9叫lad♦，:*♦，；*“："

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