2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试7

专题7.3等比数列及其前n项和（真题测试）

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）等比数列｛%｝中,若%=9,则1%%+1呜％=（）

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质得到，再利用指数运算法则求出答案.

【详解】

等比数列｛《｝中，若见=9,所以％4=。；=81，

2

所以log3a4+log3a6=log3（a5）=log381=4.

故选：C

2.（2020•山东・高考真题）在等比数列｛《,｝中，4=1,%=-2,则%等于（）

A.256B.-256C.512D.-512

【答案】A

【解析】

【分析】

求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为9，

因为4=1,%=-2,所以9=生=-2,

所以4=44*=1x（―2）8=256,

故选：A.

3.（2022•内蒙古・海拉尔第二中学模拟预测（文））己知等差数列｛q｝中，其前5项的和其=25,等比数列也｝

中，4=2,%=8,贝件=（）

A.-2或2B.C.-D.-【答案】D

44454

【解析】

【分析】

由等差数列求和公式求出4=5,由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出e=%/6=4,从而求

出结果.

【详解】

由题意得：£==5%=25,解得：%=5,

设等比数列也J的公比是9,因为4=2,3=8,所以2d2=8,解得：/2=4,

显然小＞0,所以d=2,所以a=仇*=4,

所以a,行5

故选：D

4.(2017•全国•高考真题(理))等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0.若生、%、4成等比数列，则也｝

的前6项的和为()

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差d的方程，求出d,再利用等差数

列的前〃项和公式，即可求出结果.

【详解】

因为设等差数列｛%｝的公差d,且dxO,4=1

若4、％、R成等比数列，

所以W=a2-a6,所以(4+2d)2=(%+d).(q+54),

所以屋+2d=0＞即d=—2＞

所以｛%｝的前6项的和为64+笠x(-2)=-24.

故选：A.5.(2020.全国•高考真题(文))设｛《｝是等比数列,且―，q+-2,则%+%+为=

()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【解析】

【分析】

根据己知条件求得g的值，再由4+%+4=(4+%+4)可求得结果.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为9，则4+%+%=4(1+9+寸)=1,

22

a2+a3+a4=a｝q+atq++q+q^-q-2,

因此，&+%+q=q/+a,/+a0=q如(i+d)="=32.

故选：D.

6.(2023•全国•高三专题练习)若数列｛。,,｝为等差数列，数列｛2｝为等比数列，则下列不等式一定成立的是

()

A.bt+b4<b2+b3B.b4-b｛<by-b2

C.4a42a2a3D.a2a3

【答案】D

【解析】

【分析】

对选项A,令〃=，［“'即可检验；对选项B,令2=2"即可检验；对选项C,令4=”即可检验；对选

项D,设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.

【详解】

若"［一£)，则伪=1也=一；也=!也=一"

71

可得：b^b=->b^b.=--故选项A错误；

484f

若仇=2〃，则4=2,%=4也=8,〃=16可得：”一々=14>々一％=4,故选项B错误；

若见=〃，则%=1，〃2=2，〃3=3,〃4=4

可得：iZ,<z4=4<a2423=6,故选项C错误;

不妨设｛q｝的首项为4,公差为d,则有：

2

ata4=4（4+3d）=o,2+3""a?%=（q+〃）（4+2d）=a：+2/+3a,d则有：a2a3-ata4=2d>0,故选项D

正确

故选：D

+

7.（2020•全国•高考真题（理））数列｛6｝中,%=2,对任意rn,neN,am+n=aman,若

%|+%2+…+4+10=2屹-25,则％=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

取m=1,可得出数列｛4｝是等比数列，求得数列｛4｝的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于人的

等式，由无eN*可求得女的值.

【详解】

在等式4“+”=4,4中，令机=1,可得嗅=2,

所以，数列｛/｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，则”“=2x2"T=2",

10

n,t,-(l-2'°)2^'-(1-2)

=2*+|(210-1)=25(2,0-1)>

•0•+4+2+…+4+io1-2—―1-2

.-.2U,=25>贝i」Z+l=5,解得％=4.

故选：C.

8.（2017•全国•高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数

学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知

数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2。，接下来的两项是2。，2',

再接下来的三项是2。，2',22,依此类推.求满足如下条件的最小整数MN>100且该数列的前N项和为2

的整数基.那么该款软件的激活码是

A.440B.330

C.220D.110

【答案】A

【解析】

【详解】

由题意得，数列如下：

1,

1,2,

I，八'贝ij该数歹ij的前1+2+…+k=项和为

1,2,4,■-；2k-'

S^^y^j=l+(l+2)+-..+(l+2+..-+2*-')=2*+,-A:-2,

要使幺P>100,有无214,此时"+2<2"1所以A+2是第％+1组等比数列1,2,…,2”的部分和，设

%+2=1+2+…+2'一=2'-1,

所以k=2'-3214,则d5,此时％=25-3=29,

所以对应满足条件的最小整数'=气29x吧30+5=440,故选A.

二、多选题

9.(2022・湖南・雅礼中学二模)著名的“河内塔'’问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到

大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆

盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，

则()

213

A.a2=3B.%=8

C.«„+i=2an+nD.an=2"-1

【答案】AD

【解析】

【分析】

由题可得。的=2〃“+1,进而可得｛%+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，可得见=2"-1,即得.

【详解】

将圆盘从小到大编为1,2,3,…号圆盘，则将第”+1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1~〃号圆盘移动到2号

柱，需见次操作；

将第〃+1号圆盘移动到3号柱需1次操作；

再将1~〃号圆需移动到3号柱需%次操作,

故”“*i=2q,+l,«„+i+l=2（a„+l）,又q=l,

二｛«„+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

二a“+l=2*2"T=2",即4=2"-1,

=3,。3=7.

故选：AD.

10.（2022•广东茂名•模拟预测）己知数列｛为｝的前“项和为S,%=1,S„+l=S„+2a„+l,数列］二一｝的

前”项和为（，则下列选项正确的为（）

A.数列｛《,+1｝是等比数列

B.数列｛4+1｝是等差数列

C.数列｛4｝的通项公式为

D.Tn>\

【答案】AC

【解析】【分析】

由%+1=5向-5”=24+1可得，巴哈=2,可判断A,B的正误，再求出。“，可判断C的正误，利用裂项相消

法求可判断D的正误.

【详解】

因为S“+i=S,+2a,,+l,

所以%=-5“=2«„+1,an+l+1=2a„+2,

即£^=2,且q+i=2,

见+1

所以数列｛%+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，故A正确，B错误；

所以““+1=2",即%=2"-1,故C正确；

、2"2"_]______1_

因为一（2"-1乂2--1）-2"-1-2"—'

111111,1.

H"-2'-1-22-1+22-1-23-1+-"+2"-1-2',+|-1--2向_]<，

故D错误；

故选：AC.

11.（2022・河北保定•一模）已知数列｛%｝的前〃项和为5“，且满足4=1,%=2,a,1+l=4al,-3all_l,则下面

说法正确的是（）

A.数列｛--4,｝为等比数列B.数列｛a向-3%｝为等差数列

C.a„=3"'+1D.5!-+-

"42

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由已知递推式可得。向-4=3（%-和）或1-3勺=7a,一，从而可得数列加田-。„｝为公比为3的等比数

列，数列｛。e-3%｝为常数列，从而可求出“”S“，进而可分析判断

【详解】

根据题意得“用=4%-3a,z=>4用+切“=（%+4）可-3a,i=代+4）（可一七%J,令

3

^=-T2—=>^2+4A:+3=0=>A:=-lngA:=-3,所以可得：/+[-q=3（凡-4_I）或4+[-3〃“=〃〃-34_],所

K+4

以数列血+「叫为公比为3的等比数列，故选项A正确；

数列｛a,向-3a,,｝为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；

所以。向一4,=lx3"T,且4”-3%=-1，

解得-1,所以C错误，

所以5“=%+%+…+4

,,-1n

30+13'+13+11/-01„-!\n11-3"n3-ln匚匚…一「母

=----+----+…+------=—（30+3'+…+3"o+-=-x-----+-=-----+-,所以D正确，

2222、7221-3242

故选：ABD.

12.(2022.重庆八中模拟预测)如图，一只蚂蚁从正方形ABC。的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针

1?

经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为:，逆时针的概率为彳，设蚂蚁经过"步到达8,。两点的

概率分别为eNJ.下列说法正确的有()

=----P2n+%■=1

EPk>505

CP2n-t

【答案】ACD

【解析】

【分析】有四种情形：A-C->B,求其概率可判

断A；从顶点A出发经过2”步到达8、。两点为不可能事件，所以％,=%"=0可判断B；对于C,当〃为

偶数时。“=0,当〃为奇数时，先计算从8点或O点出发经过两步到达B点的概率，再讨论从顶点A出发经

4

过«步到达B点的两种情形：①从顶点A出发经过〃-2步到达B点、,再经过两步到达B点的概率为§p„,2,

②从顶点A出发经过”-2步到达。点，再经过两步到达B点的概率为，/一2，可得。“-4=-〈1%-2-4］可

判断C；

利用之P*=P|+P2+…+P“=(')x+(-3)+…+(_")+微可判断D；

【详解】

对于A,有四种情形：4-3-Cf-Af8,A—8-Af氏A-Cf3,其所求的概率

对于B,当〃为偶数时，从顶点A出发，只能到达A点或C点，此时P,,+4,,=0,P“=q,,=0,

当〃为奇数时，从顶点A出发，只能到达B点或。点，此时P“+4“=l,即从顶点A出发经过2〃步到达B、

。两点为不可能事件，所以0“=%"=。，故B错误;

对于C,当〃为偶数时P“=o,当〃为奇数时，先计算从B点或。点出发经过两步到达3点的概率，分别为

2112411225

+=+现讨论从顶点A出发经过"步到达B点的两种情形：①

从顶点A出发经过2步到达8点，再经过两步到达B点的概率为/P,T,②从顶点A出发经过〃-2步到

达。点，再经过两步到达5点的概率为］5q,T，故P“=g4/V2+15%-2=g4P“-2+］5（l-P.2），可得

✓1、"T

1-5），又联六冷耳，所以凡=（"卜『+小故C正确;

p»~2

p*f+P2+…+夕“=卧+H)+-+H)4

对于D,

+r所以

lOll3lOll“u

------>—+------->505,故D正确;

2202

故选：ACD.三、填空题

13.（2023・全国•高三专题练习）已知｛%｝是等差数列，4=1,公差dwO,S”为其前〃项和，若4，%,4

成等比数列，则*=.

【答案】64

【解析】

【分析】

根据％,%，生成等比数列以及4=1列出关于d的方程，解出d，再根据以=8%+28”计算答案即可

【详解】

因为4,出,生成等比数列

.•.W=的5，即（l+d）2=l+4d

解得d=2或d=0（舍）

,Sg=8q+28"=8+28x2=64故答案为：64

3

14.（2019・全国•高考真题（文））记S〃为等比数列｛加｝的前〃项和.若q=l,&=9贝IJS4=___________

4

【答案】|.

o

【解析】

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到s4.题目的难

度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

详解：设等比数列的公比为4，由已知

31

S%=4+%q+%q~='+q+q"——,即q~++—=0

解得q=_g,

,,_4、1—（--）4s

所以邑=呸上山=——1—=-.15.（2018•全国•高考真题（理））记5,为数列｛《,｝的前〃项和，若

i-q8

S”=2a,,+1,贝ijS6=.

【答案】-63

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的S“=2a”+1,类比着写出5向=2〃向+1,两式相减，整理得到%”=2%,从而确定出

数列为等比数列，再令〃=1，结合%E的关系，求得q=7,之后应用等比数列的求和公式求得凝的

值.

【详解】

根据Sn=2an+\,可得S„tl=2an+x+1,

两式相减得«„+1=2%-2ali,即a„+l=2a„,

当〃=1时，S[=4=2q+1,解得4=-1,

所以数列｛4｝是以-I为首项，以2为公比的等比数列，

所以56=-（]；）=-63,故答案是-63.

16.（2022・上海青浦・二模）已知数列｛《,｝的通项公式为4=2",数列｛2｝是首项为1,公比为夕的等比数列，

若4<4<AM，其中A=l,2,…,10,则公比夕的取值范围是.

/20>

【答案】2,2瓦

\7

【解析】

【分析】

根据4<4句，可得4>2,再根据“<为结合指数运算可得幺<2,利用指数函数单调性求，

运算整理.

【详解】

k=l,2,-,W：ak<bM,即2"<炉，则q>2又即则(苓]<2

•.•g>2,则?>1，•,(£]<2.则《<29

10

,•2<g<29

(10\

故答案为：2,2万.

\7

四、解答题

17.(2022•辽宁实验中学模拟预测)已知数列｛q｝的前〃项和为S,,4=1,且数列｛S“+l｝是公比为2的等

比数列

⑴求

(2)若数列他｝满足々=2,b“b向=«„,求数列也｝的前2〃项和匕

【答案】⑴4,=2"'

(2)&=5(2"T_；)

【解析】

【分析】

(1)根据题意先求出5,的通项,再根据4,=S,-S,T，求出/：(2)b„b„+l=a„,b„+lbn+2=an+1,两式相除

得：与'=2,再分析求解即可.

(1)

因为数列｛S,,+l｝是公比为2的等比数列，4=1,所以5+1=2,所以5"+1=2",

所以S,,=2"-l,当“22时，a“=S“-S,i=2"T,而q=l符合上式，所以q=2小

(2)

因为4%=4=2"T,所以％鼠2=2",两式相除,

得2=2,又仿=2,所以

=(4+&+4+1+h_)+(h+b+h+L+仿“)=2(1-2")।.J2”上

2nl2i6(2023•全国•高三专

1-21-212)

题练习)已知数列｛为｝的前〃项和为5“，4=4,叼=8,且5,+2-25,用+5,,=4.

⑴求证：数列｛4｝是等差数列；

⑵若金，黑，14”,向成等比数列，求正整数m.

【答案】(1)证明见解析

(2)7

【解析】

【分析】

(1)根据q+i=S向-S“化简整理，解得等差数列定义”,川-%=d处理；(2)根据4=a,+(n-l)J,

《="("'「")，并代入时=14%,《向运算求解.

(1)

因为S“+2-2S,+|+S“=4,

所以S,“2一S向一$向+S.=4,即(S“+2—S川)一⑸加一S,,)=4,

则q+2-a向=4.

又q=4,a2=8,满足。2-4=4,

所以｛%｝是公差为4的等差数列.

⑵

由（1）得，an=4+（n-l）x4=4z?,

则也四=2/+2〃.

2

又S：=l"…

所以（2/%2+2=14x4mx4（m£N-,

化简得加+,〃-56=0,解得，"=7或加=一8（舍）.

所以，”的值为7.19.（2018•全国♦高考真题（理））等比数列｛4｝中，4=1,6=4%.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）记50为｛%｝的前〃项和.若靠=63,求机.

【答案】（1）《,=（一2广或勺=2"，.

（2）m-6.

【解析】

【详解】

分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m.

详解：（1）设｛/｝的公比为9，由题设得

由已知得q'=4/,解得q=0（舍去），"=-2或q=2.

故4=（-2广或%=2"。

⑵若%=（-2厂|,则s„=I；）”.||]S,„=63得（-2）n，=-188,此方程没有正整数解.

若q=2"一，则S“=2”-l.由S”=63得*=64,解得加=6.

综上，m—6.

20.（2019全国♦高考真题（文））已知｛4｝是各项均为正数的等比数列,4=2,4=2々+16.

（1）求｛〃“｝的通项公式；

（2）设4=1.24,求数列｛或｝的前"项和.

【答案】（1）（2）S„=n2.

【解析】

【分析】

⑴本题首先可以根据数列｛叫是等比数列将由转化为。q2,a2转化为a｝q,再然后将其带入%=2见+16中，

并根据数列｛«„｝是各项均为正数以及4=2即可通过运算得出结果；

(2)本题可以通过数列｛4｝的通项公式以及对数的相关性质计算出数列也,｝的通项公式，再通过数列也｝的

通项公式得知数列｛2｝是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果.

【详解】

(1)因为数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，为=2电+16,《=2,

所以令数列｛«„)的公比为9，%="“2=2/，%=ci]q=2q,

所以2/=4q+16,解得4=-2(舍去)或4,

所以数列｛q｝是首项为2、公比为4的等比数列，a„=2x4"-'=22'-'.

⑵因为b,=log2a”，所以"+|=2〃+1,a”-2=2,

所以数列也,｝是首项为1、公差为2的等差数列，S„^^nn2.

21.(2019・天津・高考真题(理))设｛为｝是等差数列，｛2｝是等比数列.己知勾=4,4=6,打=2%-2也=2见+4.

(I)求｛%｝和｛2｝的通项公式；

(II)设数列｛%｝满足q=l,c“=，'其中LeN*.

pk，〃=2,

(i)求数列｛%®T｝的通项公式;

2n

(ii)求£qq(〃£N)

z=i

【答案】(I)勺=3〃+1；或=3x2"(ID(i)%&-l)=9x4”—1(ii)

2"

Z%(neNf)=27X22n-'+5x2'"'-n-12(neNj

/=1

【解析】

【分析】

(I)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；

(II)结合(I)中的结论可得数列｛%，，(C4-1)｝的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等

价变形，结合等比数列前"项和公式可得的值.【详解】

1=1

(I)设等差数列｛《,｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为0