图像正交变换

关于图像正交变换变换问题的引入

频率域幅值与频率

空间域灰度第2页,共78页，2024年2月25日，星期天什么是图像变换将图像看成是线性叠加系统图像在空域上相关性很强图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数学变换常用的变换：傅立叶变换、沃尔什变换、哈达玛变换、离散余弦变换、离散K-L变换、小波变换第3页,共78页，2024年2月25日，星期天11.1

傅立叶变换

傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。第4页,共78页，2024年2月25日，星期天

傅立叶变换的定义若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：第5页,共78页，2024年2月25日，星期天

函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。

第6页,共78页，2024年2月25日，星期天傅里叶变换的条件

傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；

(2)具有有限个极值点；

(3)绝对可积;第7页,共78页，2024年2月25日，星期天F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，称为F(u)的相角。第8页,共78页，2024年2月25日，星期天称为函数f(x)的能量谱或功率谱。第9页,共78页，2024年2月25日，星期天傅立叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。第10页,共78页，2024年2月25日，星期天傅立叶变换在卷积中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。第11页,共78页，2024年2月25日，星期天离散傅立叶变换

离散傅立叶变换的定义

要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。第12页,共78页，2024年2月25日，星期天离散傅立叶正变换:离散傅立叶逆变换:第13页,共78页，2024年2月25日，星期天二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换:二维傅立叶逆变换:第14页,共78页，2024年2月25日，星期天第15页,共78页，2024年2月25日，星期天2.二维离散函数傅立叶变换的定义

根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二维离散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立叶变换为：(1)二维离散傅立叶正变换第16页,共78页，2024年2月25日，星期天(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：第17页,共78页，2024年2月25日，星期天Δx、Δy和Δu、Δv，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔两者之间满足如下关系：第18页,共78页，2024年2月25日，星期天

式中序列R(u，v)和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下：F(u，v)可以表示为如下形式：第19页,共78页，2024年2月25日，星期天(1)线性特性二维离散傅立叶变换的性质(2)比例性质=第20页,共78页，2024年2月25日，星期天(3)平移性质

二维傅立叶变换的移位特性表明，当用乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。第21页,共78页，2024年2月25日，星期天先对行做变换：然后对列进行变换f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv(4)可分离性第22页,共78页，2024年2月25日，星期天

二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换在此基础上对x进行一维傅立叶变换第23页,共78页，2024年2月25日，星期天

若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换第24页,共78页，2024年2月25日，星期天(5)周期性

如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：第25页,共78页，2024年2月25日，星期天(6)共轭对称性第26页,共78页，2024年2月25日，星期天半周期的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱第27页,共78页，2024年2月25日，星期天

做代换有：

如果被旋转,则被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：(7)旋转不变性第28页,共78页，2024年2月25日，星期天(8)微分性质第29页,共78页，2024年2月25日，星期天(9)平均值性质平均值定义如下平均值性质如下：即：

结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。第30页,共78页，2024年2月25日，星期天(10)卷积定理：f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)第31页,共78页，2024年2月25日，星期天二维傅立叶变换(幅值及相位)意义第32页,共78页，2024年2月25日，星期天左边一列:

上方为原始图像,下方为本图的相关说明说明;中间一列:

上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);右边一列:

上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);图像的说明第33页,共78页，2024年2月25日，星期天第34页,共78页，2024年2月25日，星期天Fourier变换示意图第35页,共78页，2024年2月25日，星期天Fourier变换的频率特性返回第36页,共78页，2024年2月25日，星期天Fourier变换的低通滤波返回第37页,共78页，2024年2月25日，星期天Fourier变换的高通滤波返回第38页,共78页，2024年2月25日，星期天Fourier变换的压缩原理另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1第39页,共78页，2024年2月25日，星期天Fourier变换的压缩原理

返回压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1第40页,共78页，2024年2月25日，星期天快速傅里叶变换问题的提出：离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。然而，它的计算量较大，运算时间长，在某种程度上却限制了它的使用范围。第41页,共78页，2024年2月25日，星期天

二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。改写公式：式中，W=e-j2π／N

，称为旋转因子。W=e-j2π／N=cos(2π／N)-jsin(2π／N)(以N为周期)式中很多Wux系数相同，不必进行多次重复计算。第42页,共78页，2024年2月25日，星期天FFT的推导过程：设N为2的正整数次幂，即令M=N/2,离散傅立叶变换可改写成如下形式：

偶离散点奇离散点第43页,共78页，2024年2月25日，星期天

定义第44页,共78页，2024年2月25日，星期天于是

将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N／2短序列的离散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe(u)和Fo(u)。设N=237.2.2快速离散傅立叶变换第45页,共78页，2024年2月25日，星期天7.2.2快速离散傅立叶变换第46页,共78页，2024年2月25日，星期天蝶形运算单元7.2.2快速离散傅立叶变换第47页,共78页，2024年2月25日，星期天Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W－18W－28W－38W－F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)7.2.2快速离散傅立叶变换第48页,共78页，2024年2月25日，星期天

Fe(u)和Fo(u)都是4点的DFT，对它们再按照奇偶进行分组Fee(0)Feo(1)08W28W－Fee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08W－Foe(0)Foo(1)08W28W－Foe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W－7.2.2快速离散傅立叶变换第49页,共78页，2024年2月25日，星期天8点DFT的蝶形流程图第50页,共78页，2024年2月25日，星期天例：0102030405060708Fe(0)Fo(1)04W14W－Fe(1)Fo(0)F(0)F(1)F(2)F(3)14W04W－04W04W04W04W－－f(0)f(2)f(1)f(3)第51页,共78页，2024年2月25日，星期天0102

0304050607083i-3-i

0304050607080012003-13i-3-ii-i

－1

－1

－17.2.2快速离散傅立叶变换第52页,共78页，2024年2月25日，星期天0034007-17i-7-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i

0304050607087.2.2快速离散傅立叶变换第53页,共78页，2024年2月25日，星期天00560011-111i-11-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i7i-7-i11i-11-i07087.2.2快速离散傅立叶变换第54页,共78页，2024年2月25日，星期天00780015-115i-15-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i11i-11-i07083i-3-i7i-7-i11i-11-i15i-15-i7.2.2快速离散傅立叶变换第55页,共78页，2024年2月25日，星期天31171514-822-836-8+8i-8-8-8ii-i

－1

－1

－13

i-3-i

7i-7-i11i-11-i15i-15-i36i-3-i

-8+8ii-7-i-8i-11-i-8-8ii-15-i7.2.2快速离散傅立叶变换第56页,共78页，2024年2月25日，星期天iiii2i02i04i000i-i

－1

－1

－136

i-3-i

-8+8i

i-7-i-8

i-11-i-8-8i

i-15-i36

4i-3-i

-8+8i

0-7-i-8

0-11-i-8-8i

0-15-i7.2.2快速离散傅立叶变换第57页,共78页，2024年2月25日，星期天-3-11-7-15-148-228-368-8i88+8ii-i

－1

－1

－136

4i

-3-i

-8+8i

0

-7-i-8

0

-11-i-8-8i

0

-15-i36

4i-36-i

-8+8i

08-8i-i-8

08-i-8-8i

08+8i-i7.2.2快速离散傅立叶变换第58页,共78页，2024年2月25日，星期天-i-i-i-i-2i0-2i0-4i000i-i

－1

－1

－136

4i-36

-i

-8+8i

08-8i

-i-8

08

-i-8-8i

08+8i

-i36

4i-36-4i-8+8i08-8i0-8080-8-8i08+8i07.2.2快速离散傅立叶变换第59页,共78页，2024年2月25日，星期天

MATLAB使用函数fft、fft2和fftn分别可以实现一维、二维和N维FFT算法；而函数ifft、ifft2和ifftn则用来计算反FFT算法。调用格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X表示输入图像；N表示采样间隔点，如果X小于该数值，那么MATLAB将会对X进行零填充，否则将进行截取，使之长度为N；DIM表示要进行离散傅立叶变换。第60页,共78页，2024年2月25日，星期天A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS和NCOLS指定对X进行零填充后的X大小。A＝fftn(X,SIZE)其中，SIZE是一个向量，它们每一个元素都将指定X相应维进行零填充后的长度。A=fftshift(X)可以用于调整fft、fft2和fftn的输出结果，对于一维fft，将左右元素互换，对于二维fft，进行对角元素的互换，对于n维fft，将各维的两半进行互换。函数ifft、ifft2和ifftn的调用格式与对应的离散傅立叶快速变换函数一致。第61页,共78页，2024年2月25日，星期天d=zeros(32,32);%图象大小32*32d(13:20,13:20)=1;%中心白色方块大小为8*8subplot(221);imshow(d,'notruesize');title('原始图像')D=fft2(d);%计算图象d的傅立叶变换subplot(222);%显示图象d的傅立叶变换谱imshow(abs(D),[-15],'notruesize');title('傅立叶变换谱')subplot(223);%显示图象d的傅立叶变换对数谱imshow(log(abs(D)),[-15],'notruesize');title('傅立叶变换对数谱')subplot(224);DF=fftshift(D);%显示图象d的傅立叶变换中心谱imshow(log(abs(DF)),[-15],'notruesize');title('傅立叶变换中心谱')第62页,共78页，2024年2月25日，星期天第63页,共78页，2024年2月25日，星期天程序生成一个矩形函数，区域内像素值为1，区域外为0。然后对矩形做二维傅立叶变换，由于图像的傅立叶变换矩阵元素一般是复数，不能直接显示，需要调用abs函数对变换后的结果求模，图中下面两幅图分别是傅立叶变换的对数谱和中心谱。第64页,共78页，2024年2月25日，星期天11.2离散余弦变换（DCT）

Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。第65页,共78页，2024年2月25日，星期天一维离散余弦变换一维离散余弦反变换第66页,共78页，2024年2月25日，星期天二维离散余弦变换二维离散反余弦变换第67页,共78页，2024年2月25日，星期天如果令N=4，由一维解析式定义可得如下展开式：写成矩阵形式：[F(u)]=[A][f(x)]第68页,共78页，2024年2月25日，星期天同理，可得到反变换展开形式：写成矩阵形式：[f(x)]=[A]T[F(u)]二维离散余弦变换为：[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T[f(x,y)]=[A]T[F(u,v)][A]T第69页,共78页，2024年2月25日，星期天离散余弦变换的计算与傅立叶变换一样，离散余弦变换可以由定义出发进行计算，但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便，寻找快速算法首先，从定义出发，作如下推导取实部的意思如果把时域数据向量作系列延拓，即第70页,共78页，2024年2月25日，星期天则fe(x)的离散余弦变换可写成为：则是2N点的离散傅立叶变换，所以在作余弦变换时，可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅立叶变换，产生的结果取其实部便可得到余弦变换第71页,共78页，2024年2月25日，星期天同理，在反变换时，首先在变换空间，把[F(u)