应力状态理论

关于应力状态理论全应力：——

A上的内力分解为两个分量：

：

正应力——截面法向分量。

：切应力——截面切向分量。

P第2页,共88页，2024年2月25日，星期天过一点可以截取无限个平面，因此，一点的应力是方位的描述量。问题：是否可以根据有限方位上的应力，表示“一点的应力”？此问题称为“一点的应力状态分析”。又称“应力张量分析”

P第3页,共88页，2024年2月25日，星期天单元体的应力状态单元体：——变形固体内按一定方位截割的边长趋于无穷小的正六面体。n第4页,共88页，2024年2月25日，星期天一点的应力状态：围绕变形固体内一点所取的单元体的6个面上应力的大小，可以反映该点任意方向上应力的状态。单元体称为应力状态单元体。描述一点应力状态所需要的单元体6个面上的应力分量是yxz

x——x方向正应力

y——y方向正应力

z——z方向正应力

x

'x

y

'y

'z

z

'x——x反向正应力

'y——y反向正应力

'z——z反向正应力第5页,共88页，2024年2月25日，星期天xyz

xy—x平面指向y方向的切应力；τ´xy—x平面指向y反向的切应力

xy

yx—y平面指向x方向的切应力；τ´yx—y平面指向x反向的切应力

yx

yz

zy

xz

zx

yz—y平面指向z方向的切应力;

xz—x平面指向z方向的切应力

zy—z平面指向y方向的切应力;

zx—z平面指向x方向的切应力第6页,共88页，2024年2月25日，星期天一共18个应力分量，称为一点的应力张量应用内力平衡关系，可以证明材料力学中以引起的变形的方向确定应力的符号应力张量写成矩阵形式,有9个元素第7页,共88页，2024年2月25日，星期天另外，可以证明——切应力互等定理

xy

yx

yz

zy

xz

zxxyz第8页,共88页，2024年2月25日，星期天独立的应力张量分量为6个写成矩阵为一点任意方向的应力可以由这6个应力分量确定。另一种叙述为：已知一点应力状态单元体上6个应力分量，求该点任意方向的应力。——应力状态分析第9页,共88页，2024年2月25日，星期天平面应力状态分析xyz

xy

yx

x

'x

y

'y

'z

z如图，当Z平面上切应力为零，即

xy

yx

yz

zy

xz

zxxyz

x

'x

y

'y

'z

z单元体应力状态如图第10页,共88页，2024年2月25日，星期天n单元体应力状态如图这时，独立的应力分量为，，和与XY平面垂直的平面上的应力没有Z方向的分量，并且由

x，y及xy决定。——平面应力状态已知

x，y及xy，求任意斜截面n上的应力——平面应力状态分析。xyz

xy

yx

y

'y

z

x

'x第11页,共88页，2024年2月25日，星期天平面应力状态单元体的表示：n截面上的应力分解为xyz

xy

yx

y

'y

z

x

'xn

正应力

切应力

是截面法向与x轴的夹角，规定：逆时针为正；顺时针为负。

，

的符号规定同前。平面应力状态单元体表示

x

x

y

y

xy

yx

yx

xyxn

第12页,共88页，2024年2月25日，星期天平面应力状态分析——解析法

x

x

y

y

xy

yx

yx

xyxn

已知平面应力状态单元体

x，

y

，

xy（

yx=-

xy）求

和

xy

yx

x

y

n

xdA

dAxdAy第13页,共88页，2024年2月25日，星期天应力符号定义第14页,共88页，2024年2月25日，星期天角度

符号：逆时针：+

；顺时针：-第15页,共88页，2024年2月25日，星期天单元体内力平衡关系第16页,共88页，2024年2月25日，星期天第17页,共88页，2024年2月25日，星期天第18页,共88页，2024年2月25日，星期天第19页,共88页，2024年2月25日，星期天主应力，主平面——主平面第20页,共88页，2024年2月25日，星期天第21页,共88页，2024年2月25日，星期天最大切应力和最小切应力第22页,共88页，2024年2月25日，星期天主平面与最大切应力作用平面的关系第23页,共88页，2024年2月25日，星期天应力状态分析——图解法消去2

得：若以为横坐标，为纵坐标建立坐标系，得原点半径圆方程第24页,共88页，2024年2月25日，星期天第25页,共88页，2024年2月25日，星期天第26页,共88页，2024年2月25日，星期天第27页,共88页，2024年2月25日，星期天第28页,共88页，2024年2月25日，星期天第29页,共88页，2024年2月25日，星期天第30页,共88页，2024年2月25日，星期天主平面第31页,共88页，2024年2月25日，星期天主应力第32页,共88页，2024年2月25日，星期天最大切应力（最小切应力）第33页,共88页，2024年2月25日，星期天单元体应力状态与应力圆的对应关系第34页,共88页，2024年2月25日，星期天第35页,共88页，2024年2月25日，星期天第36页,共88页，2024年2月25日，星期天第37页,共88页，2024年2月25日，星期天已知一点A的应力状态如图，求：A点的主应力和主平面。（应力单位为MPa）2552622A第38页,共88页，2024年2月25日，星期天2552622A解：将A点的两个截面看成平面应力状态单元体的两个截面则：代入2552622A22

第39页,共88页，2024年2月25日，星期天两式消去2

得：解得于是该单元体应力状态为222222225534.634.6第40页,共88页，2024年2月25日，星期天222222225534.634.6主应力：主平面：

46.346.36.76.728.3°应力圆（单位：MPa）第41页,共88页，2024年2月25日，星期天特殊应力状态单元体

Ax(

，0)Ay(0，0)“单向拉伸”应力状态单元体与应力圆第42页,共88页，2024年2月25日，星期天

Ay(0,

)Ax(0,-

)“纯剪切”应力状态单元体与应力圆

0第43页,共88页，2024年2月25日，星期天

Ax(

，-)Ay(0，)第44页,共88页，2024年2月25日，星期天

“三向拉伸应力”状态第45页,共88页，2024年2月25日，星期天三向应力状态分析xyz

xy

yx

x

'x

y

'y

'z

z考虑特殊情况：

z

是主应力

2

3

1主单元体，三个主应力规定：第46页,共88页，2024年2月25日，星期天第47页,共88页，2024年2月25日，星期天第48页,共88页，2024年2月25日，星期天第49页,共88页，2024年2月25日，星期天第50页,共88页，2024年2月25日，星期天第51页,共88页，2024年2月25日，星期天第52页,共88页，2024年2月25日，星期天第53页,共88页，2024年2月25日，星期天第54页,共88页，2024年2月25日，星期天第55页,共88页，2024年2月25日，星期天第56页,共88页，2024年2月25日，星期天第57页,共88页，2024年2月25日，星期天应变状态分析和应力­应变关系应变——单元体变形大小的度量。应变的形式有两种线应变——单元体尺寸改变的度量。用

表示，定义为xyzdxdydzx方向的线应变

x单元体x

方向变形量线应变的符号：伸长为正；缩短为负线应变的单位：表示在单位长度上发生10-6的变形量。第58页,共88页，2024年2月25日，星期天同理，定义其中δv

，δw表示单元体在y，z方向的变形量。一般地，任意方向的线应变表示为——原长；

l——（原长的）变形量。第59页,共88页，2024年2月25日，星期天切应变（剪应变）——单元体形状改变的度量。用

表示，定义为xyzdxdydz

xy——单元体xy平面内直角的改变量。同样，可以定义切应变具有角度的单位——弧度。切应变符号:直角增加为正;直角减小为负;第60页,共88页，2024年2月25日，星期天切应力与切应变的符号关系第61页,共88页，2024年2月25日，星期天平面应变状态分析

x

x

y

y

xy

yx

yx

xyxn

与平面应力状态分析类似，应用几何的方法可以建立单元体正应变

x、

y，切应变

xy、

yx

与任意方向上正应变

，切应变

的变换关系。首先，可以证明第62页,共88页，2024年2月25日，星期天dxdyoabcmnoabcmn第63页,共88页，2024年2月25日，星期天主应变，主平面主应变：主平面：主平面上切应变为零。对于各向同性材料，可以证明，任意点的应变主方向与应力主方向是一致的。第64页,共88页，2024年2月25日，星期天平面应变测量在工程中，可以应用实验的方法测定一点的应变状态，从而确定主平面和主应变。方法是在测点选定三个方向

1，

2，

3

测出对应的正应变

1，

2，

3，于是有解出

x

，y，xy代入主应变关系式和主平面关系即可。第65页,共88页，2024年2月25日，星期天45º90º应用0º-45º-90º“直角应变花”测量的应变

0

，

45

，

90

计算测点的主应变与主方向。第66页,共88页，2024年2月25日，星期天解：取

0

为x方向；

90为y方向，有代入45º90ºxy解出有第67页,共88页，2024年2月25日，星期天于是主应变：主方向：第68页,共88页，2024年2月25日，星期天应力-应变关系应力状态分析——利用平衡条件；应变状态分析——利用几何条件。——与材料的特性无关。相同受力条件下不同材料的变形不同。材料的受力与变形之间的关系——把这种关系称为物理关系——取决于材料自身性质，由试验确定，称为材料的力学性质。基本物理关系：材料应力-应变之间的关系——胡克定律。适用于线性弹性材料第69页,共88页，2024年2月25日，星期天

材料单向拉伸变形，当应力不超过一定量值时，线应变与正应力成正比，表示为E——材料的弹性模量材料纯剪切变形，当应力不超过一定量值时，切应变与切应力成正比，表示为G——材料的切变模量胡克定律第70页,共88页，2024年2月25日，星期天横向变形与泊松比试验证实，几乎所有的材料在产生纵向线应变

时，会产生与

垂直方向上的线应变

´，且方向与

相反，大小成比例。称为横向变形效应。

——无量纲比例常数，材料性质。称为泊松比对任何材料泊松比值

0<

<0.5对于普通碳钢，第71页,共88页，2024年2月25日，星期天复杂应力状态的应力应变关系——广义胡克定律

xy

yx

yz

zy

xz

zxxyz

x

y

z一个方向（如x方向）的线应变由三个线应变构成：第72页,共88页，2024年2月25日，星期天广义胡克定律1）各向同性材料2）小变形——正应力不引起切应变；切应力不引起线应变3）对于任意方向(包括主单元体)成立此定律适用于:第73页,共88页，2024年2月25日，星期天——主应力与主应变平面应力状态第74页,共88页，2024年2月25日，星期天各向同性材料弹性模量E、泊松比

、切变模量G之间的关系体积应变

平均应力

1

2

3第75页,共88页，2024年2月25日，星期天例：从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得

=30MPa，

=15MPa。材料E=200GPa。

=0.30。试求对角线AC的长度改变

l。解:将单元体看成一平面应力状态于是：第76页,共88页，2024年2月25日，星期天由广义胡克定律第77页,共88页，2024年2月25日，星期天45°

0

45已知某点的单元体应力状态如图，现测得该点x方向线应变

0=25010-6

；与x成45方向的线应变

45=14010-6

。材料弹性模量E=210GPa；泊松比=0.28。求：该点的主应力大小及主方向。第78页,共88页，2024年2月25日，星期天45°

0

45解：由广义胡克定