2021-2022学年广东省珠海市九年级上期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年广东省珠海市九年级上期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.方程/=2x的解是（）

A.x=2B.x=0C.xi=2,%2=0D.xi=V2>%2=0

2.下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.3B.OC.E.S

3.a、b是实数，点A（2,。）、B（3,b）在反比例函数y=-2的图象上，贝U（）

X

A.a<b<0B.b<a<0C.a<0<bD.b<0<a

4.在平面直角坐标系中，点A（6,-7）关于原点对称的点的坐标为（）

A.（-6,-7）B.（6,7）C.（-6,7）D.（6,-7）

5.从加，0,IT,22,6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）

7

A.J-B.2C.AD.A

5555

6.反比例函数y=-±（尤<0）如图所示，则矩形OAPB的面积是（）

22

7.如图，在△A8C中，DE//BC,分别交A8,AC于点£>,E.若A£>=1,DB=2,则△ADE

的面积与△ABC的面积的比等于（）

2489

8.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,/C4B=36°,则的大小是（）

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9.若关于尤的一元二次方程7-2x+机=0没有实数根，则实数机的取值是（）

A.m<lB.m>-1C.m>lD.m<-1

10.如图，若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=a/+fer+c的大致图象为（）

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.（4分）反比例函数y=k经过点（2,3）,贝IJ%=.

X

12.（4分）二次函数y=4（x-3）2+7的图象的顶点坐标是.

13.（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都

相同，如果摸到红球的概率是工，那么口袋中有白球个

4

14.（4分），〃是方程/+x-1=0的根，则式子加2+，〃+2018的值为.

15.（4分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点。）20米

的A处，则小明的影子AM长为米.

4

16.（4分）如图，AB与相切于点B,AO的延长线交于点C,连接BC,若NABC

=120°,OC=3,则弧8C的长为（结果保留n）.

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三、解答题（每小题6分，共18分）

17.（6分）解方程：3（x-4）2=-2（x-4）

18.（6分）已知：点尸是正方形内一点，△ABP旋转后能与△CBE重合.

（1）AAB尸旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度?

(2)若BP=2,求PE的长.

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19.（6分）袋中有一个红球和两个白球，它们除颜色外其余都相同，任意摸出一球，记下

球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一球，记下它的颜色.

（1）请把树状图填写完整.

（2）根据树状图求出两次都摸到白球的概率.

四、解答题（每小题7分，共21分）

20.（7分）如图，C。是RtA4BC斜边AB上的中线，过点。垂直于的直线交于E,

交AC延长线于F.

求证：（1）△ADFsLEDB；

（2）CD1=DE-DF.

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21.（7分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，AABC的顶点均落在格点上.

（1）将△ABC绕点。顺时针旋转90°后，得到△AbBiCi.在网格中画出△4B1C1；

（2）求线段。4在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留冗）

22.（7分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某

市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为

2.88亿元.

（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；

（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.5

亿元？

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五、解答题(每小题9分，共27分)

23.(9分)如图，直线y=2x与反比例函数y=K(x>0)的图象交于点A(4,n),AB±x

x

轴，垂足为3.

(1)求一的值;

(2)点C在A2上，若OC=AC,求AC的长；

(3)点。为x轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S4OCD=S"CD，求点。的坐标.

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24.(9分)如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,BO是角平分线，以点。为圆心，D4为

半径的。。与AC相交于点E

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若A2=5,3c=13,求CE的长.

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25.(9分)如图，在直角坐标系中，抛物线y=-7-2x+3与x轴交于点A、B,与y轴交

于点C.

(1)写出抛物线顶点D的坐标

(2)点。1是点。关于y轴的对称点，判断点是否在直线AC上，并说明理由；

(3)若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作功_Lx轴交线段AC于点

F,求线段所的最大值.

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2021-2022学年广东省珠海市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.方程/=2x的解是（）

A.x=2B.x=0C.xi=2,X2=0D.xi=&,X2=0

【分析】先移项，再提公因式，解两个一元一次方程即可.

解：移项得，%2-2%=0,

提公因式得x（%-2）=0,

x=0或x-2=0,

=0,冗2=2,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,

配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

2.下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.3B.□C.ED.§

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

3、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分

重合.

3.。、b是实数，点A（2,a）、B（3,b）在反比例函数y=-2的图象上，则（）

X

A.a<b<0B.b<a<0C.a<0<bD.b<0<a

【分析】根据反比例函数的性质可以判断。、匕的大小，从而可以解答本题.

解：•••>=-1,

X

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反比例函数y=-2的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，

X

;点A(2,a)、B(3,b)在反比例函数y=-2■的图象上，

x

故选：A.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数

的性质.

4.在平面直角坐标系中，点A(6,-7)关于原点对称的点的坐标为()

A.(-6,-7)B.(6,7)C.(-6,7)D.(6,-7)

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案.

解：点A(6,-7)关于原点对称的点的坐标为：(-6,7).

故选：C.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

5.从正,0,it,22,6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是()

7

A.1B.2C.3D.A

5555

【分析】先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案.

解：•.•在加，0,TT,迎,6中，只有0、殁和6是有理数，

77

抽到有理数的概率是3；

5

故选：C.

【点评】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的

个数是解题的关键.

6.反比例函数y=-3(x<0)如图所示，则矩形。4尸2的面积是()

【分析】可设出点P的坐标，则可表示出矩形。4PB的面积.

解:

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•.,点尸在反比例函数y=-旦（x<0）的图象上，

X

可设尸（X,-工），

X

0A=-x,PA=-—,

x

•'•S矩形。APB=0A・B4=-尤'（-3）=3,

x

故选：A.

【点评】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，利用P点坐标表示出矩形OAPB的

面积是解题的关键.

7.如图，在△ABC中，DE//BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=1,DB=2,则△/1£>£

的面积与△ABC的面积的比等于（）

2489

【分析】根据DE〃BC,即可证得然后根据相似三角形的面积的比等于

相似比的平方，即可求解.

解：VAD=bDB=2,

：.AB=AD+DB=3,

'：DE//BC,

：.△ADEsAABC,

S

•AADE（AD）2=（L）2=工.

SAABC研39

【点评】本题考查了三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的

平方是解题的关键.

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8.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,ZCAB=36°,则/BCD的大小是（

A.18B.36°C.54°D.72°

【分析】根据垂径定理推出前=俞，推出NCAB=NBAD=36°,再由

即可解决问题.

解：TAB是直径，AB±CD,

.••BC=BD>

：.ZCAB=ZBAD=36°,

'：ZBCD=ZBAD,

：.ZBCD=36°,

故选：B.

【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆

周角定理，属于中考常考题型.

9.若关于x的一元二次方程f-2x+m=0没有实数根，则实数加的取值是（）

A.m<lB.m>-1C.m>lD.m<-1

【分析】方程没有实数根，则△<（）,建立关于7"的不等式，求出机的取值范围.

解：由题意知，△=4-4"z<0,

故选：C.

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）△<（）=方程没有实数根.

10.如图，若a<0,b>0,c<0,贝惋物线尸办的大致图象为（）

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【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然

后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：Va<0,

抛物线的开口方向向下，

故第三个选项错误；

Vc<0,

•••抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，

故第一个选项错误；

Va<0>b>0,对称轴为尤=-L>0,

2a

.♦.对称轴在y轴右侧，

故第四个选项错误.

故选：B.

【点评】考查二次函数y=/+bx+c系数符号的确定.

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.（4分）反比例函数y=k经过点（2,3）,则仁6.

X

【分析】直接把点（2,3）代入反比例函数y=k求出发的值即可.

X

解：..•反比例函数y=K经过点（2,3）,

X

.".3=—,解得左=6.

2

故答案为：6.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的

坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

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12.（4分）二次函数y=4（x-3）2+7的图象的顶点坐标是（3,7）.

【分析】由抛物线解析式可求得答案.

解：

\>=4（%-3）2+7,

；•顶点坐标为（3,7）,

故答案为：（3,7）.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y

=a（x-/z）?+左中，对称轴为x=/z,顶点坐标为（h,k）.

13.（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都

相同，如果摸到红球的概率是工，那么口袋中有白球12个

4

【分析】设白球有尤个，根据摸到红球的概率为工列出方程，求出x的值即可.

4

解：设白球有X个，根据题意列出方程，

4_1

4+xT

解得x=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查概率的基本计算，根据题意列出方程就可以得出答案.用到的知识点

为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.（4分）机是方程/+x-1=0的根，则式子石+加+2018的值为2019.

【分析】利用一元二次方程解的定义得到加2+初=1,然后利用整体代入的方法计算

m2+m+2018的值.

解：是方程/+x-1=0的根，

..m+m-1=0,

即m2+m=l,

n^+m+lO18=1+2018=2019.

故答案为2019.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

15.（4分）如图，路灯距离地面8米，身高L6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米

的A处，则小明的影子AM长为5米.

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4

【分析】易得：AABMSAOCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.

解：根据题意，易得△MBAsAMCO,

根据相似三角形的性质可知旭=3—,即工@=3_,

OCOA+AM820+AM

解得AM=5"z.则小明的影长为5米.

4

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出

小明的影长.

16.（4分）如图，与。。相切于点2,A。的延长线交。。于点C,连接BC,若NABC

=120°,OC=3,则弧BC的长为2TT（结果保留n）.

【分析】根据切线的性质得到NOBA=90°,求出N02C,根据三角形内角和定理求出

/BOC=120°,根据弧长公式计算即可.

解：连接02,

与。。相切于点8,

AZOBA=90°,

ZOBC=ZABC-ZABO=30°,

：OB=OC,

AZC=ZB=30°,

AZBOC=120°,

弧BC的长=12°7T*3=2n,

180

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故答案为：2n.

【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、

弧长的计算公式是解题的关键.

三、解答题(每小题6分，共18分)

17.(6分)解方程：3(x-4)2=-2(尤-4)

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

解：3(x-4)2=-2(x-4),

3(x-4)2+2(x-4)=0,

(x-4)[3(x-4)+2]=0,

x-4=0,3(x-4)+2=0,

XI=4,%2=也-

3

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关

键，注意：解一元二次方程的方法有因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法.

18.(6分)已知：点P是正方形内一点，AAB尸旋转后能与△CBE重合.

(1)△ABP旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？

(2)若BP=2,求PE的长.

【分析】(1)根据正方形的性质得BA=3C,ZABC=90°,然后根据旋转的性质求解；

(2)根据旋转的性质得BP=BE=2,NPBE=90。，然后根据等腰直角三角形的性质求

解.

解：(1)•四边形4BC。为正方形，

：.BA=BC,ZABC=9Q°,

：AABP旋转后能与△CBE重合，

旋转的旋转中心是点8,按顺时针方向旋转90°；

(2)...△A2P旋转后能与△CBE重合，

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：.BP=BE=2,ZPBE=9Q°,

:.PE=MPB=2版.

答：（1）△ABP旋转的旋转中心是点8,按顺时针方向旋转90°；（2）PE为2®

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所

连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质.

19.（6分）袋中有一个红球和两个白球，它们除颜色外其余都相同，任意摸出一球，记下

球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一球，记下它的颜色.

（1）请把树状图填写完整.

（2）根据树状图求出两次都摸到白球的概率.

【分析】（1）利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，

（2）找出两次都是白球的结果数，然后根据概率公式求解.

解：（1）画树状图为：

红白白

4V白白

（2）由树状图知，共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到白球的结果数为4,

所以两次都摸到白球的概率=2.

9

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果小

再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

四、解答题（每小题7分，共21分）

20.（7分）如图，CD是Rt^ABC斜边AB上的中线，过点。垂直于AB的直线交于E,

交AC延长线于足

求证：（1）AADFs^EDB；

（2）CD2=DE'DF.

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3

【分析】(1)根据题意可得/B+/A=90°,ZA+ZF=90°,则/8=/歹，从而得出

△ADFsAEDB；

(2)由(1)得/B=NF,再CD是RtZkABC斜边AB上的中线，得出CD=Z)B,根据

等边对等角得/QCE=/R则可证明△CDEs从而得出型=还，化为乘积式

DFDC

即可CD1=DF'DE.

证明：(1)在Rtz^ABC中，

ZB+ZA=90°

'：DF±AB

：.ZBDE=ZADF=90°

：.ZA+ZF=90°,

：.ZB=ZF,

：.AADFsAEDB；

(2)由(1)可知△AOFs/vEDB

NB=/F,

,:CD是RtAABC斜边AB上的中线

:.CD=AD=DB,

：.ZDCE=ZB,

.\ZDCE=ZF,

，丛CDEs丛FDC,

•CD=DE；

"DFDC，

:.CD2=DF-DE.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半.

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21.（7分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，AABC的顶点均落在格点上.

（1）将△ABC绕点。顺时针旋转90°后，得到△AbBiCi.在网格中画出△4B1C1；

（2）求线段。4在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留冗）

【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；

（2）先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA

为半径，/AO4为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可；

解：⑴如图.

△AiBiCi即为所求三角形；

（2）由勾股定理可知。4=五孽7=2被，

线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，ZAOAi为圆心角的扇形,

则S扇形。.=90•兀X（2加）2

=2n.

答：扫过的图形面积为2n.

【点评】本题考查的是作图-旋转变换、扇形的面积公式，熟知图形旋转后所得图形与

原图形全等的性质是解答此题的关键.

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22.(7分)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某

市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为

2.88亿元.

(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；

(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.5

亿元？

【分析】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意得2(1+x)2=2.88,解

方程即可求得增长率；

(2)根据该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率来解答.

解：(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意得

2(1+x)2=2.88,

解得xi=0.2=20%,切=-2.2(不合题意，舍去).

答：这两年该企业年利润平均增长率为20%；

(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为：

2.88(1+20%)=3.456,

3.4560.5

答：该企业2018年的利润不能超过3.5亿元.

【点评】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不

大.

五、解答题(每小题9分，共27分)

23.(9分)如图，直线y=2x与反比例函数y=k(%>0)的图象交于点A(4,w),AB±x

x

轴，垂足为8.

(1)求上的值；

(2)点C在上，若OC=AC,求AC的长；

(3)点。为x轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若SAOCD=SAACD，求点。的坐标.

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【分析】（1）把点A坐标代入两个函数解析式即可解决问题.

（2）设AC=x,利用勾股定理列方程可得AC的长；

（3）分类讨论。的位置，根据已知三角形的面积相等列等式可得结论.

解（1）,直线y=2x与反比例函数y=k（ZWO,尤＞0）的图象交于点A（4,n）,

x

.♦."=2X4=8,

(4,8),

；«=4X8=32；

(2)设AC=尤，贝UOC=x,BC=8-x,

由勾股定理得：OC2=OB2+BC?,

.'.X2=42+(8-尤)2,

x=5,

：.AC=5；

(3)设点。的坐标为(尤，0)

分两种情况：

①当x>4时，如图1,

,:S&OCD=SAACD，

：.LOD'BC=^.AC'BD,

22

3x=5(x-4),

x=10,

②当0<x<4时，如图2,

同理得：3x=5(4-x),

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.•.点。的坐标为(10,0)或($,0).

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，学会待定系数法确定函数解析式,

理解反比例函数中点和坐标的关系，属于中考常考题型.

24.(9分)如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,8。是角平分线，以点。为圆心，DA为

半径的与AC相交于点E

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若A2=5,BC=13,求CE的长.

【分析】(1)过点。作。ELBC于点后根据角平分线的性质得到根据切线

的判定定理即可得到结论；

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(2)根据切线的性质得到4?=尸3.根据和勾股定理列方程即可得到结论.

(1)证明：过点。作D