机械工程图学-投影理论的基础知识（直线的投影）

上节课的重点：点的投影规律、相对位置

。

上节课的难点：重影点的判定

。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影若空间的点用某个大写字母表示，则其三个投影分别用什么符号表示？简述点的投影规律。

（1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴，即

a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW若空间的点用大写字母A、B、C、……表示，则其水平投影用a、b、c、……表示；正面投影用a′、b′、c′、……表示；侧面投影用a″、b″、c″、……表示

。（2）点的每一个投影到投影轴的距离，均反映空间点到相邻投影面的距离。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

（c）对于空间的A、B两点，若xA＞xB、yA＜yB、zA

＜zB，则A点在B点对V面的重影点的哪两个坐标相同？若A、B两点的W面投影为b″（a″），则A点在B点的哪一方？两点位于V面的同一条投射线上，X坐标和Z坐标分别相同（xA=

xB，zA=

zB），只有Y坐标不同。

（a）之左、前、下。（b）之右、后、上。（c）之左、后、下。（d）之右、前、上。A点在B点的右方。作业《机械工程图学基础教程习题集》P9

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影作业《机械工程图学基础教程习题集》P9

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（a）两个端点的投影图只要能作出直线上任意两个不重合的点（通常是直线的两个端点）的三面投影，那么连接两点的同面投影，就可得到直线的三面投影。（b）直线的投影图图2-12直线的投影投影面倾斜线与三个投影面都倾斜的直线对H面的倾角α

对V面的倾角β

对W面的倾角γ投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）垂直于某一投影面而与其余两投影面平行正平线（平行于Ｖ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）特殊位置直线1.各种位置直线的投影特性

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影直线与投影面倾斜的程度，可用直线与投影面之间的倾角表示。图2-13直线的投影及直线与投影面的夹角对H面的倾角α

对V面的倾角β

对W面的倾角γ若直线平行（垂直）于投影面，则倾角为0°（90°）。只平行于某一投影面的直线。（1）投影面平行线正平线实长水平线实长侧平线实长水平线侧平线正平线

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-14投影面平行线投影面平行线的投影特性：

（1）在所平行的投影面上，投影反映实长。（投影与投影轴之间的夹角表示直线与另外两个投影面之间的实际倾角）

（2）在另外两个投影面上，投影均平行于相应的投影轴，呈水平或铅垂状态。正平线实长水平线实长侧平线实长可简单地记为一实长、二平行。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（2）投影面垂直线垂直于一个投影面的直线。投影特性:

（1）在所垂直的投影面上，投影积聚成一点。如直线AB的水平面投影a（b）。

（2）在另外两个投影面上，投影均垂直于相应的投影轴，呈铅垂或水平状态，且反映实长。如直线AB的正面投影a′b′⊥OX,侧面投影a″b″⊥OY。●●●侧垂线正垂线铅垂线一积聚、二垂直。必平行于另外两个投影面。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-15投影面垂直线

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影Z

YHaOXabbaYWb

（2）三个投影的长度都小于实长。投影特性:HaγaAb

VBbWβa

b

ZXOY（3）投影面倾斜线与三个投影面都倾斜的直线。（1）三个投影都倾斜于投影轴。（3）投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的实际倾角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影也称为“一般位置直线”。（a）立体图图2-16投影面倾斜线（一般位置直线）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（b）投影图

【例2-3】如图2-17（a）、（c）所示，已知直线AB和CD的两面投影，试求作第三面投影，并指出直线AB、CD各属于哪一种位置的直线。（c）题图（d）作图结果（a）题图（b）作图结果

先求出a″和b″，连接a″、b″，即为直线AB的第三面投影。AB为正平线。

作出CD的侧面投影c″（d″），由于c″（d″）积聚成一点，可知CD是侧垂线。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-17根据直线的两面投影求其第三面投影2.投影面倾斜线的实长及其对投影面的倾角直角三角形法

在直角三角形ABB0中，一条直角边AB0=ab（直线的投影），

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影空间问题分析斜边AB即为其实长，AB与AB0的夹角即为AB对H面的倾角α。

另一条直角边BB0为两端点A、B的Z坐标之差（zB-

zA），【例2-4】试求投影面倾斜线AB的实长和对H面的倾角α。

方法1：以水平投影为直角边，过b（或a）作ab的垂线，在此垂线上量取bb0=zB-zA，则ab0即为投影面倾斜线AB的实长，∠b0ab即为α角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-18求作投影面倾斜线的实长及其对H面的倾角α方法2：过a′作OX轴的平行线与b′b

相交于b0′（b′b0′=zB-zA

），量取b0′a0′=ab，则b′a0′也是所求直线AB的实长，∠b′a0′

b0′即为α角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-18求作投影面倾斜线的实长及其对H面的倾角α

【例2-5】试求投影面倾斜线AB对V面、W面的倾角β、γ。

以正面投影为直角边，过a′（或b′）作a′b′的垂线，在此垂线上量取a′a0′=

yA-

yB，则b′a0′即为投影面倾斜线AB的实长,∠a0′

b′a′即为β角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-19求作投影面倾斜线对V面、W面的倾角β、γ按照同样的分析和作图过程，还可求出AB对W面的倾角γ。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影只要掌握了直角三角形各元素表示的空间关系，就能根据直线的实长、倾角、投影长度和端点的坐标差这四个元素中的任意两个已知元素，作出直角三角形，求出其余的两个未知元素。由上述作图过程可以总结出直角三角形法的作图规律。利用直角三角形法，不仅可以由直线的已知投影求出其实长和倾角，也可反过来运用，由已知的直线的实长或倾角求出其投影。

【例2-6】已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a′，α角为30º，试求作直线的正面投影a′b′。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-20求作直线AB的正面投影在H面投影中作直角三角形abb0，则直角边bb0反映AB两端点至H面的距离差，即Z坐标之差，将其量到V面投影中，即可作出a′b1′（有两个解，另一个为a′b2′）。

【例2-7】已知直线CD的水平投影cd

和实长（22mm）以及C点的正面投影c′，试求作直线CD的正面投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-21求作直线CD的正面投影作出直角三角形cdd0，其中斜边cd0=22mm，直角边dd0即为所求的Z坐标之差，将其量到V面投影中，即可求得D点的正面投影d1′、d2′（有两个解），从而作出直线CD的正面投影。3.直线上点的投影直线上点的投影特性即：AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″“从属性”：直线上的点的三面投影，必在该直线的同面投影上。“定比性”：点分直线的比，投影后保持不变。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-22直线上点的投影

点S的三面投影中，有一个（s″）不在直线AB的同名投影（a″b″）上，则点S肯定不在直线AB上。【例2-8】判断点S是否在直线AB上。（a）题图（b）判断方法1（c）判断方法2

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影用定比性作出第三面投影图2-23判断点S是否在直线AB上本节课的重点：各种位置直线的投影特性及作图。

直线上点的投影特性及其判定与作图。本节课的难点：

利用直线的投影求其实长及真实倾角的直角三角形法。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

特殊位置直线有哪几种？各有什么投影特性？一般位置直线又有什么投影特性？

1.投影面平行线：水平线、正平线、侧平线在所平行的投影面上，投影反映实长，投影与投影轴之间的夹角表示直线与另外两个投影面之间的实际倾角；在另外两个投影面上，投影均平行于相应的投影轴。一实长、二平行

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影特殊位置直线有哪几种？各有什么投影特性？一般位置直线又有什么投影特性？

2.投影面垂直线：正垂线、铅垂线、侧垂线在所垂直的投影面上，投影积聚成一点；在另外两个投影面上，投影均垂直于相应的投影轴，且反映实长。一积聚、二垂直一般位置直线又叫投影面倾斜线三个投影都倾斜于投影轴，其长度均小于实长；投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的实际倾角。三类似

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影该直线是水平线，其侧面投影应该平行于OYW轴。若直线平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影一直线的正面投影平行于OX轴，水平投影倾斜于OX轴，那么该直线是哪一种特殊位置直线？其侧面投影应该有什么特征？

a.反映实长且平行于相应的坐标轴。

b.小于实长且平行于相应的坐标轴。

c.反映实长且倾斜于相应的坐标轴。

d.小于实长且倾斜于相应的坐标轴。C.反映实长且倾斜于相应的坐标轴。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（a）X坐标差。（b）Y坐标差。（c）Z坐标差。（d）正面投影a′b′。已知一般位置直线AB的水平投影ab

和正面投影a′b′，用直角三角形法求其实长时，（1）若以ab为一直角边，则另一直角边应为端点A、B的（2）若以a′b′为一直角边，则（可多选）

（a）另一直角边为端点A、B的Y坐标差。（b）X坐标差。（c）斜边为AB的实长。（d）斜边