机械工程图学-基本立体的投影（棱锥）

上节课的重点：平面与棱柱相交。上节课的难点：平面与棱柱相交的截交线的求法。简述求作平面与基本平面立体（棱柱）截交线的方法和步骤。具体的方法有以下两种，可根据平面立体的形状以及截平面与立体的相对位置等具体情况灵活选用。（1）求出各侧面与截平面的交线，并判断交线各个投影的可见性。（2）求出各棱线与截平面的交点，依次连接各个交点，并判断各个投影的可见性。当截平面与平面立体的底面相交时，还要求出底面与截平面的交线，最后还应补齐立体的轮廓线。如果有两个及以上的截平面，还要画出截平面之间的交线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

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3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

1.棱锥（棱台）的三面投影图（1）正三棱锥的三面投影投影特性：3.2.2棱锥的投影

①底面△ABC的水平投影为△abc，反映实形，其他两个投影积聚为直线;

②后侧面△SAC的侧面投影积聚为直线，其他两个投影为类似形;

③侧面△SAB和△SBC的三个投影均为类似形。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（a）正三棱锥的立体图

3.2基本平面立体的投影①画出棱锥底面的俯视图、主视图、左视图。②作出锥顶S的三个投影。③将S点与底面三角形的端点A、B、C的同面投影连线。abcb'c'b''(c'')a''ss's''a'正三棱锥的作图步骤：

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（2）其他正棱锥的三面投影图图3-11其他正棱锥的三面投影注意放置的位置对投影的影响。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影画正四棱锥三面投影图的方法和步骤。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（3）一般三棱锥的三面投影图图3-12一般三棱锥的三面投影

与正三棱锥一样，也是首先画出三棱锥底面△ABC的三个投影，再画出锥顶S的三个投影，然后连接SA、SB、SC各棱线即可。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（4）棱台的三面投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影图3-13四棱台的三面投影画棱台三面投影的步骤2.棱锥表面上点和线的投影

【例3-4】已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′，试求作其水平投影和侧面投影。图3-14棱锥表面上点的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

一般位置表面上点的投影，可先在平面上过点的已知投影作辅助线，然后利用点从属于线的关系，求作其他两个投影。特殊位置表面上点的投影可利用平面的积聚性作图。先作线、后求点

与圆柱类比

还有别的作辅助线的方法吗？

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影图3-14棱锥表面上点的投影（续）过点M作底边AB的平行线作为辅助线。即过m′作平行于a′b′的直线。图3-14棱锥表面上点的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影方法二常用，方法一少用、方法三基本不用。三种方法的比较：过锥顶和已知点作辅助线过已知点作任意的辅助线m''m'm（1）SAB面是一般位置平面。（2）SAC面是侧垂面。

N点的投影如何画？

SB线是一般位置直线吗？nM

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

【例】求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC上的点D、E、F的另二面投影。a)题图空间分析：

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影解题过程（b）作点D、E、F的投影（c）运用定比性求点E的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

【例3-5】已知正三棱锥表面上直线KL的正面投影k′l′，试求作其水平投影和侧面投影。图3-15棱锥表面上线的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影分别求出两个端点K、L的投影、判断可见性并连接即可。3.平面与棱锥相交

【例3-6】试完成三棱锥被水平面截切后的投影。图3-16求三棱锥被水平面截切后的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影求出各棱线与截平面交点的投影并顺次连接即可。图3-16求三棱锥被水平面截切后的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影求四棱锥被截切后的三面投影。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空间问题分析交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析补画棱线的投影★检查尤其注意检查截交线投影的类似性截平面与立体的几个棱面相交？截交线在水平、侧面投影上的形状？

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影我们采用的是哪种解题方法？棱线法！

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

【例3-7】试完成三棱锥被两个平面截切后的投影。图3-17求三棱锥被两个平面截切后的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影分析

三棱柱被一个水平面和一个正垂面截切，但都只切割了部分三棱锥。

（1）分别求出每个截平面与立体的截交线，再求出截平面与截平面之间的交线。（2）可采用“扩大截平面”的方法，先求出一个截平面将立体全部截切的投影，再留取截平面实际范围内的投影。图3-17求三棱柱被两个平面截切后的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影与【例3-6】相同。由g′可直接求出g、g″。

图3-17求三棱柱被两个平面截切后的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影由d′先直接求出d″，再求出d。本节课的重点：棱锥的三面投影图、棱锥表面上点和线的投影、平面与棱锥相交。本节课的难点：平面与棱锥相交的截交线的求法。求棱锥表面（一般位置平面）上点的投影时，需要先在平面上过点的已知投影作辅助线，辅助线的作法有哪几种？简述求作平面与棱锥截交线的方法和步骤。有三种：过点的已知投影作底边的平行线、连接顶点和点的已知投影、过点的已知投影作侧面上的任意直线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影求出各棱线与截平面交点的投影，判断可见性并顺次连接。

当截平面与棱锥的底面相交时，还要求出底面与截平面的交线，最后还应补齐棱锥的轮廓线。如果有两个及以上的截平面，还要画出截平面之间的交线。作业《机械工程图学基础教程习题集》

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3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影作业《机械工程图学基础教程习题集》

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3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

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