高中物理高频考点《交流电有效值问题分析与强化训练》(附详细参考答案)

交流电有效值问题分析与强化训练（附详细参考答案）一、交流电有效值问题分析及例题讲解：1．交变电流有效值的规定：交变电流、恒定电流I直分别通过同一电阻R，在相等时间内产生的焦耳热分别为Q交、Q直，若Q交＝Q直，则交变电流的有效值I＝I直（直流有效值也可以这样算）。2．对有效值的理解：（1）交流电流表、交流电压表的示数是指有效值；（2）用电器铭牌上标的值（如额定电压、额定功率等）指的均是有效值；（3）计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值；（4）没有特别加以说明的，是指有效值；（5）“交流的最大值是有效值的eq\r(2)倍”仅用于正弦式电流。正弦式交流电的有效值：I＝eq\f(Im,\r(2))，U＝eq\f(Um,\r(2))，E＝eq\f(Em,\r(2))。3．求交变电流有效值的方法：（1）公式法：利用E＝eq\f(Em,\r(2))，U＝eq\f(Um,\r(2))，I＝eq\f(Im,\r(2))计算，只适用于正余弦式交流电。【题1】电阻R1、R2与交流电源按照图甲所示方式连接，R1＝10Ω，R2＝20Ω。合上开关S后，通过电阻R2的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示。则（）A．通过R1的电流有效值是1.2AB．R1两端的电压有效值是6VC．通过R2的电流有效值是1.2eq\r(2)AD．R2两端的电压最大值是6eq\r(2)V【答案】B【题2】如图所示，线圈abcd的面积是0.05m2，共100匝，线圈电阻为1Ω，外接电阻R为9Ω，匀强磁场的磁感应强度为B＝eq\f(1,π)T，当线圈以300r/min的转速匀速旋转时，求：（1）若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式；（2）线圈转过eq\f(1,30)s时电动势的瞬时值多大？（3）电路中，电压表和电流表的示数各是多少？（4）从中性面开始计时，经eq\f(1,30)s通过电阻R的电荷量为多少？【答案】（1）e＝50sin（10πt）V（2）43.3V（3）31.86V3.54A（4）eq\f(1,4π)C（2）当t＝eq\f(1,30)s时e＝50sin（10π×eq\f(1,30)）＝43.3V。（3）电动势的有效值为E＝eq\f(Em,\r(2))＝eq\f(50,\r(2))V＝35.4V，电流表示数I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(35.4,9＋1)A＝3.54A，电压表示数U＝IR＝3.54×9V＝31.86V。（4）eq\f(1,30)s内线圈转过的角度θ＝ωt＝eq\f(300,60)×2π×eq\f(1,30)＝eq\f(π,3)。该过程中，ΔΦ＝BS－BScosθ＝eq\f(1,2)BS，由＝eq\f(q,Δt)，＝eq\f(\x\to(E),R＋r)，＝eq\f(nΔΦ,Δt)，得q＝eq\f(nΔΦ,R＋r)＝eq\f(nBS,2(R＋r))＝eq\f(100×\f(1,π)×0.05,2×(9＋1))C＝eq\f(1,4π)C。（2）利用有效值的定义计算（非正弦式交流电）在计算有效值“相同时间”至少取一个周期或周期的整数倍。①计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解。②分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量。【题3】如图所示为一交变电流的电压随时间变化的图象，正半轴是正弦曲线的一个部分，则此交变电流的电压的有效值是（）A．eq\r(34)VB．5VC．eq\f(5\r(2),2)VD．3V【答案】C【题4】在如图甲所示电路中，D为理想二极管（正向电阻为零，反向电阻为无穷大）。R1＝30Ω，R2＝60Ω，R3＝10Ω。在MN间加上如图乙所示的交变电压时，R3两端电压表的读数大约是（）A．3VB．3.5VC．4VD．5V【答案】B【解析】在0～0.01s内，二极管导通，R1、R2并联电阻R12＝eq\f(R1·R2,R1＋R2)＝20Ω，R3两端电压U3＝eq\f(R3,R3＋R12)Um＝4V，在0.01s～0.02s内，二极管截止，R3两端电压U3′＝eq\f(R3,R3＋R1)Um＝3V．根据交流电有效值的定义得eq\f(U\o\al(2,3),R3)×eq\f(T,2)＋eq\f(U2′3,R3)×eq\f(T,2)＝eq\f(U2,R3)×T，解得电压表示数U≈3.5V，B正确。【题5】如图所示，矩形线圈面积为S，匝数为n，线圈总电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，当线圈由图示位置转过60°的过程中，下列判断正确的是（）A．当线圈由图示位置转过60°时的电流为eq\f(nBSω,2(R＋r))B．电压表的读数为eq\f(nBSω,\r(2)(R＋r))C．通过电阻R的电荷量为q＝eq\f(nBS,2(R＋r))D．电阻R所产生的焦耳热为Q＝eq\f(n2B2S2ωRπ,4(R＋r)2)【答案】C【解析】线圈由题图所示位置转过60°时的电流为瞬时值，则i＝eq\f(nBSω,R＋r)sinωt＝eq\f(nBSω,R＋r)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3)nBSω,2(R＋r))，故选项A错误；线圈在磁场中转动产生了正弦式交流电，其电动势的最大值Em＝nBSω，电动势的有效值E＝eq\f(nBSω,\r(2))，电压表的读数等于交流电源的路端电压，且为有效值，则U＝eq\f(nBSω,\r(2)(R＋r))R，选项B错误；求通过电阻R的电荷量要用交变电流的平均电流，则q＝Δt＝eq\f(nΔΦ,R＋r)＝eq\f(n(BS－\f(1,2)BS),R＋r)＝eq\f(nBS,2(R＋r))，故选项C正确；电阻R上产生的热量应该用有效值来计算，则电阻R产生的热量Q＝I2Rt＝[eq\f(nBSω,\r(2)(R＋r))]2R·eq\f(\f(π,3),ω)＝eq\f(π2n2B2S2ω,6(R＋r))，故选项D错误。【题6】图是表示一交变电流随时间变化的图象，其中，从t＝0开始的每个eq\f(T,2)时间内的图象均为半个周期的正弦曲线。求此交变电流的有效值。【答案】eq\r(5)A设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得I2RT＝Ieq\o\al(2,1)Req\f(T,2)＋Ieq\o\al(2,2)Req\f(T,2)即I2＝（eq\f(2,\r(2))）2×eq\f(1,2)＋（eq\f(4,\r(2))）2×eq\f(1,2)。（3）利用能量关系：当有电能和其他形式的能转化时，可利用能的转化和守恒定律来求有效值。（4）利用两个公式Q＝I2Rt和Q＝eq\f(U2,R)t可分别求得电流有交值和电压有效值。【题7】如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去，则现在电灯上电压的有效值为（）A．UmB．eq\f(Um,\r(2))C．eq\f(Um,3)D．eq\f(Um,2)【答案】D（5）若图象部分是正弦（或余弦）式交变电流，其中的eq\f(1,4)（但必须是从零至最大值或从最大值至零）和eq\f(1,2)周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝eq\f(Im,\r(2))、U＝eq\f(Um,\r(2))求解。【题8】（多选）如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图2中曲线a、b所示，则A．两次t＝0时刻线圈平面与中性面重合B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2︰3C．曲线a表示的交变电动势频率为25HzD．曲线b表示的交变电动势有效值为10V【答案】AC【题9】（多选）如图所示，某玩具电磁驱动发电机可简化为在匀强磁场中的一匝闭合金属线圈，线圈平面与磁感应强度方向垂直，磁场的磁感应强度大小为B，线圈面积为S，电阻为R。当线圈以右边为轴，以恒定的角速度ω匀速转动时，下列叙述中正确的是A．产生的感应电流的有效值为eq\f(\r(2)BSω,2R)B．转过30°时，线圈中的电流方向为逆时针C．转过90°的过程中，通过线圈导线某一横截面的电荷量为eq\f(BS,R)D．线圈转动一周产生的热量为eq\f(2πωB2S2,R)【答案】AC【解析】线圈中产生的感应电动势最大值为Em＝BSω，电动势有效值为E＝eq\f(\r(2),2)Em＝eq\f(\r(2),2)BSω，则电流的有效值为I＝eq\f(E,R)＝eq\f(\r(2)BSω,2R)，选项A正确；据楞次定律可知转过30°时，线圈中感应电流方向为顺时针，选项B错误；由eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)，eq\x\to(I)＝eq\f(\x\to(E),R)，q＝eq\x\to(I)Δt，得到电荷量q＝eq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(BS,R)，故选项C正确；线圈转一周的过程中，产生的热量为Q＝I2Rt＝eq\f(πωB2S2,R)，选项D错误。4．几种典型的交变电流的有效值：电流名称电流图象有效值的计算正弦半波电流eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Um,\r(2))))2,R)·eq\f(T,2)＝eq\f(U2,R)·T正弦单向脉冲电流eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Um,\r(2))))2,R)·T＝eq\f(U2,R)·T矩形脉冲电流eq\f(U\o\al(2,m),R)·t1＝eq\f(U2,R)·T非对称性交变电流eq\f(U\o\al(2,1),R)·eq\f(T,2)＋eq\f(U\o\al(2,2),R)·eq\f(T,2)＝eq\f(U2,R)·T【题10】（多选）先后用不同的交流电源给同一盏灯泡供电。第一次灯泡两端的电压随时间按正弦规律变化，如图甲所示；第二次灯泡两端的电压变化规律如图乙所示。若图甲、乙中的U0、T所表示的电压、周期值是相等的，则以下说法正确的是A．第一次灯泡两端的电压有效值是eq\f(\r(2),2)U0B．第二次灯泡两端的电压有效值是eq\f(3,2)U0C．第一次和第二次灯泡的电功率之比是2∶9D．第一次和第二次灯泡的电功率之比是1∶5【答案】AD【解析】第一次所加正弦交流电压的有效值为U1＝eq\f(\r(2),2)U0，A项正确；设第二次所加交流电压的有效值为U2，则根据有效值的定义有eq\f(U\o\al(2,2),R)T＝eq\f(2U02,R)·eq\f(T,2)＋eq\f(U\o\al(2,0),R)·eq\f(T,2)，解得U2＝eq\f(\r(10),2)U0，B项错；根据电功率的定义式P＝eq\f(U2,R)可知，P1∶P2＝1∶5，C项错、D项正确。【题11】如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动（O轴位于磁场边界）。则线框内产生的感应电流的有效值为A．eq\f(BL2ω,2R)B．eq\f(\r(2)BL2ω,2R)C．eq\f(\r(2)BL2ω,4R)D．eq\f(BL2ω,4R)【答案】D【题12】如图甲所示，长、宽分别为L1、L2的矩形金属线框位于竖直平面内，其匝数为n，总电阻为r，可绕其竖直中心轴O1O2转动。线框的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D（集流环）焊接在一起，并通过电刷和定值电阻R相连。线框所在空间有水平向右均匀分布的磁场，磁感应强度B的大小随时间t的变化关系如图乙所示，其中B0、B1和t1均为已知。在0～t1的时间内，线框保持静止，且线框平面和磁场垂直；t1时刻后线框在外力的驱动下开始绕其竖直中心轴以角速度ω匀速转动。求：（1）0～t1时间内通过电阻R的电流大小；（2）线框匀速转动后，在转动一周的过程中电流通过电阻R产生的热量；（3）线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量。【答案】（1）eq\f(nL1L2(B1－B0),(R＋r)t1)（2）πRω（eq\f(nB1L1L2,R＋r)）2（3）eq\f(nB1L1L2,R＋r)（2）线框产生感应电动势的最大值Em＝nB1L1感应电动势的有效值E＝eq\f(\r(2),2)nB1L1L2ω通过电阻R的电流的有效值I＝eq\f(\r(2)nB1L1L2ω,2(R＋r))线框转动一周所需的时间t＝eq\f(2π,ω)此过程中，电阻R产生的热量Q＝I2Rt＝πRω（eq\f(nB1L1L2,R＋r)）2。（3）线框从图甲所示位置转过90°的过程中，平均感应电动势＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(nB1L1L2,Δt)平均感应电流＝eq\f(\x\to(E),R＋r)＝eq\f(nB1L1L2,Δt(R＋r))通过电阻R的电荷量q＝Δt＝eq\f(nB1L1L2,R＋r)。二、强化训练：1．一个单匝矩形线框的面积为S，在磁感应强度为B的匀强磁场中，从线圈平面与磁场垂直的位置开始计时，转速为n转/秒，则（）A．线框交变电动势的最大值为nπBSB．线框交变电动势的有效值为eq\r(2)nπBSC．从开始转动经过eq\f(1,4)周期，线框中的平均感应电动势为2nBSD．感应电动势瞬时值为e＝eq\r(2)nπBSsin2nπt【答案】B2．如图所示，一个“］”形线框处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，OO′为磁场的边界。现使线框以角速度ω绕轴OO′匀速转动，通过金属转轴和电刷与阻值为R的外电阻相连。已知线框各边长为L，总电阻为r，不计转轴与电刷的电阻，则电路中电流的有效值为（）A．eq\f(BωL2,R＋r) B．eq\f(\r(2)BωL2,2R＋r)C．eq\f(\r(2)BωL2,4R＋r) D．eq\f(BωL2,2R＋r)【答案】D【解析】由交流电产生的原理可知，线框以图示位置为起点，以转过角度为阶段分析，在0～eq\f(π,2)内产生顺时针方向的电流，eq\f(π,2)～eq\f(3,2)π内无电流产生，eq\f(3,2)π～2π内产生逆时针方向的电流，eq\f(π,2)、eq\f(3,2)π时产生的电流值最大为Im＝eq\f(BL2ω,R＋r)。由交流电有效值定义可得：（）2R总·eq\f(T,4)＋0＋（）2R总·eq\f(T,4)＝Ieq\o\al(2,x)R总T，得Ix＝eq\f(Im,2)＝eq\f(BL2ω,2R＋r)，所以D正确。5．如图所示区域内存在匀强磁场，磁场的边界由x轴和y＝2sineq\f(π,2)x曲线围成（x≤2m），现把一边长为2m的正方形单匝线框以水平速度v＝10m/s匀速地拉过该磁场区，磁场区的磁感应强度为0.4T，线框电阻R＝0.5Ω，不计一切摩擦阻力，则（）A．水平拉力F的最大值为8NB．拉力F的最大功率为12.8WC．拉力F要做25.6J的功才能让线框通过此磁场区D．拉力F要做12.8J的功才能让线框通过此磁场区【答案】C6．如图所示，一理想变压器原、副线圈匝数之比为41，原线圈两端接入一正弦交流电源，副线圈电路中R为负载电阻，交流电压表和交流电流表都是理想交流电表。下列结论正确的是（）A．若电压表读数为6V，则输入电压的最大值为24VB．若输入电压不变，副线圈匝数增加到原来的2倍，则电流表的读数减小到原来的一半C．若输入电压不变，负载电阻的阻值增加到原来的2倍，则输入功率也增加到原来的2倍D．若保持负载电阻的阻值不变，输入电压增加到原来的2倍，则输出功率增加到原来的4倍【答案】D7．如图所示，矩形线圈abcd绕轴OO′匀速转动产生交流电，在图示位置开始计时，则下列说法正确的是（）A．t＝0时穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电流最大B．t＝eq\f(T,4)（T为周期）时感应电流沿abcda方向C．若转速增大为原来的2倍，则交变电流的频率是原来的2倍D．若转速增大为原来的2倍，则产生的电流有效值为原来的4倍【答案】BC【解析】图示时刻，ab、cd边切割磁感线的有效速率为零，产生的感应电动势为零，感应电流为零，A错误；根据线圈的转动方向，确定eq\f(T,4)时线圈的位置，用右手定则可以确定线圈中的感应电流沿abcda方向，B正确；根据转速和频率的定义ω＝2πf可知C正确；根据Em＝nBSω，E＝eq\f(Em,\r(2))，I＝eq\f(E,R总)可知电流有效值变为原来的2倍，D错误。8．图甲、图乙分别表示两种电压的波形，其中图甲所示电压按正弦规律变化，下列说法正确的是（）A．图甲表示交流电，图乙表示直流电B．两种电压的有效值相等C．图甲所示电压的瞬时值表达式为u＝311sin100πtVD．图甲所示电压经匝数比为101的变压器变压后，频率变为原来的eq\f(1,10)【答案】C9．（多选）如图甲所示，将阻值为R＝5Ω的电阻接到内阻不计的正弦交变电源上，电流随时间变化的规律如图乙所示，电流表串联在电路中测量电流的大小。对此，下列说法正确的是（）A．电阻R两端电压变化规律的函数表达式为μ＝2.5sin（200πt）VB．电阻R消耗的电功率为1.25WC．如图丙所示，若此交变电流由一矩形线框在匀强磁场中匀速转动产生，当线圈的转速提升一倍时，电流表的示数为1AD．这一交变电流与图丁所示电流比较，其有效值之比为eq\f(1,\r(2))【答案】AD10．（多选）如图所示，矩形线圈abcd面积为S，匝数为N，电阻为R，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，当线圈由图示位置转过60°的过程中，下列判断正确的是（）A．电压表的读数为eq\f(NBSωR,\r(2)R＋r)B．通过电阻R的电荷量为q＝eq\f(NBS,2R＋r)C．电阻R所产生的焦耳热为Q＝eq\f(N2B2S2ωRπ,4R＋r2)D．当线圈由图示位置转过60°时的电流为eq\f(NBSω,2R＋r)【答案】AB【解析】线圈在磁场中转动产生了正弦式交流电，其电动势的最大值Em＝NBSω，电动势的有效值E＝eq\f(NBSω,\r(2))，电压表的读数等于交流电源路端电压，且为有效值，则U＝eq\f(NBSω,\r(2)R＋r)R，A正确；求通过电阻R的电荷量要用交流电的平均电流，则q＝eq\x\to(I)Δt＝eq\f(NΔΦ,R＋r)＝eq\f(NBS－BScos60°,R＋r)＝eq\f(NBS,2R＋r)，B正确；电阻R上产生的热量应该用有效值来计算，但由于从图示位置转过60°过程中，小于eq\f(1,4)周期，且感应电动势始终未达到最大值，则电阻R产生的热量Q＜I2Rt＝（）2R·eq\f(\f(π,3),ω)＝eq\f(πN2B2S2Rω,6R＋r2)，C错误；线圈由图示位置转过60°时的电流为瞬时值，则i＝eq\f(NBSω,R＋r)sinωt＝eq\f(NBSω,R＋r)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3)NBSω,2R＋r)，D错误。11．如图所示，在xOy直角坐标系中的第二象限有垂直坐标平面向里的匀强磁场，第四象限有垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。直角扇形导线框半径为L、总电阻为R，在坐标平面内绕坐标原点O以角速度ω匀速转动。线框从图中所示位置开始转动一周的过程中，线框内感应电流的有效值是（0A．I＝eq\f(BL2ω,R)B．I＝eq\f(BL2ω,2R)C．I＝0D．I＝eq\f(BLω,2R)【答案】B12．（多选）如图所示的正方形线框abcd边长为L，每边电阻均为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕cd轴以角速度ω转动，c、d两点与外电路相连，外电路电阻也为r，则下列说法中正确的是（）A．S断开时，电压表读数为eq\f(\r(2),2)BωL2B．S断开时，电压表读数为eq\f(\r(2),8)BωL2C．S闭合时，电流表读数为eq\f(\r(2),10r)BωL2D．S闭合时，线框从图示位置转过eq\f(π,2)过程中流过电流表的电荷量为eq\f(BL2,7r)【答案】BD13．如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里（与ab垂直）的匀强磁场，磁感应强度为B.M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：（1）感应电动势的最大值；（2）从图示位置起转过eq\f(1,4)转的时间内，负载电阻R上产生的热量；（3）从图示位置起转过eq\f(1,4)转的时间内，通过负载电阻R的电荷量；（4）电流表的示数。【答案】（1）π2Bnr2（2）eq\f(π4B2r4n,8R)（3）eq\f(πBr2,2R)（4）eq\f(π2r2nB,2R)【解析】（1）线圈绕轴匀速转动时，在电路中产生如图所示的交变电流。此交变电动势的最大值为Em＝BSω＝B·eq\f(πr2,2)·2πn＝π2Bnr2。（2）在线圈从图示位置转过eq\f(1,4)转的时间内，电动势的有效值为E＝eq\f(Em,\r(2))＝eq\f(\r(2)π2Bnr2,2)电阻R上产生的热量为Q＝（）2R·eq\f(T,4)＝eq\f(π4B2r4n,8R)。（3）在线圈从图示位置转过eq\f(1,4)转的时间内，电动势的平均值为eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)通过R的电荷量q＝eq\x\to(